精品解析：2025年江苏省南通市启东市中考二模数学试题

2025年中考适应性测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 7. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 8. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 9. 如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 10 10. 二次函数，若当时，，则当时，函数值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 量子点是一种重要的低维半导体材料，一般为球形或类球形，直径常在之间．用科学记数法表示是____（其中）． 12. 分解因式：______． 13. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM相交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于______． 14. 将面积为3πcm2扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm． 15. 一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是____． 16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 17. 如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，中，，是斜边上的中线，求作：菱形 小明的作法： （1）取的中点， （2）连接并延长到，使， （3）连接，，四边形就是所求作的菱形； 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 21. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 22. 如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 23. 如图1、图2是某种品牌篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4） 24. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． （1）求线段所表示的与之间的函数表达式； （2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若，该产品获得的利润最大利润是______． 25. 已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 26. 如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设． 【变中不变】 （1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整． ∵，且①_______； ∴； ∴即：； 又∵； ∴②_______； ∴； ∴； 矩形中，； ∴； ∴③_______°，即度数不变． 【尝试应用】 （2）若，求的长； 【思维拓展】 （3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考适应性测试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解． 【详解】解：根据倒数的定义得2025的倒数为， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0， ∴y随着x的增大而增大． ∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键． 5. 在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的知识及中心对称的概念得出结论即可． 【详解】解：根据题意知，A选项左视图为正方形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B选项左视图为圆，是中心对称图形，故该选项不符合题意； C选项左视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故该选项符合题意； D选项左视图为矩形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查左视图和中心对称的知识，熟练掌握三视图和中心对称的知识是解题的关键． 6. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于的一元二次方程得： ， ， 故选：C 7. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 8. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解． 【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 9. 如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的应用． 先证明，得到，推出，再证明，据此即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10. 二次函数，若当时，，则当时，函数值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点，抛物线的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系，二次函数的性质等知识，有一定的综合性．由对称轴公式求出抛物线的对称轴；再由a的范围得，设抛物线与轴交点为，（其中，则可确定t的范围及的范围，再由的范围两端的临界值，得对应的函数值，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线． ， ． ． 设与轴交点为，（其中， 即：， 当时，，且抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线，或1时，， ，． ， 当，即时，随着的增大而减少， 当时，， ， ， 当时，， ， 当时，， 函数值的取值范围为． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 量子点是一种重要的低维半导体材料，一般为球形或类球形，直径常在之间．用科学记数法表示是____（其中）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM相交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程，可知△AOB是等边三角形，然后根据特殊角的三角函数值，即可求解． 【详解】∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A， ∴OA=OB， ∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=． 故答案为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，特殊角的三角函数值．根据作图过程判断△AOB是等边三角形是解题关键． 14. 将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案． 【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm， ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴＝3π， 解得：R＝3， 由题意可得：2πr＝， 解得：r＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键． 15. 一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差、平均数的定义，掌握方差公式是解题的关键． 先根据平均数的定义先求出x的值，再根据方差的定义求出这组数的方差即可． 【详解】解：利用平均数的计算公式可得：，解得， ∴这组数据为4，2，3， ∴这组数据的方差为． 故答案为． 16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 【答案】四丈五尺 【解析】 【分析】设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 17. 如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接， ，， ， 由反比例函数值的几何意义可知： ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，作轴，交于点，求出直线的解析式、的长，设，结合解直角三角形的相关计算求出，当时，取最大值，即可求出点的坐标． 【详解】解：依题得，点在的函数图象上， 且需满足，， 当时，， 当时，， 即定点，为函数与坐标轴的交点， 作轴，交于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 即直线的解析式为， ，， 中，， ， ， ， ， ， 在中，， 当最长时，最长， ，则， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、勾股定理、解直角三角形的相关运算，解题关键是通过作辅助线找出何时取得最大值． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减计算，解一元一次不等式组，掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先通分，化为同分母的分式减法计算； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）由不等式，得， 由不等式，得， ∴不等式组解集为． 20. 【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，中，，是斜边上中线，求作：菱形 小明的作法： （1）取的中点， （2）连接并延长到，使， （3）连接，，四边形就是所求作的菱形； 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论． 【详解】证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）由概率公式求解即可； （2）用树状图法得出9种等可能的结果，小明和小亮都从D出口走出展馆的只有一种，再结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有两个入口，每个入口被选择的概率相同， ∴小明从A入口进入商品博览会的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都从D出口走出博览会的结果数有1种， ∴小明和小亮都从D出口走出博览会的概率为. 22. 如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识． （1）由等腰三角形的性质证出，由平行线的判定可得出结论； （2）连接，交于，由勾股定理求出，由垂径定理求出，得出，证出，得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，交于， 为的直径， ， 在中，，， ， ，， ， ， 在中， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4） 【答案】2.9米 【解析】 【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长FE交CB延长线于M，过A作AG⊥FM于G， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝， ∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22， ∴GM＝AB＝2.22， 在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝， ∴sin60°＝＝， ∴FG＝2.125， ∴DM＝FG+GM﹣DF≈29米． 答：篮筐D到地面的距离是2.9米． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 24. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． （1）求线段所表示的与之间的函数表达式； （2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若，该产品获得利润最大利润是______． 【答案】（1） （2）若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元 （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）先求出时，与x之间的函数关系式，再根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况； （3）用含的式子表示出与之间的函数关系式，根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，再结合判断其最值情况． 【小问1详解】 解：设线段所表示的与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：若，设与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， 设产量为时，获得的利润为元， 根据题意，得：， 当时，取得最大值，最大值为， 答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， ， ， ，， ，即该抛物线对称轴在轴左侧， 当时，随的增大而增大， 当时，的值最大，元． 时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元． 故答案为：元． 25. 已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 【答案】（1）；（2）或4；（3）4． 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； （2），即， ， 则此二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）； ②当，即时， 在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（均不符题设，舍去）； ③当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）， 综上，的值为或4； （3）由（1）可知，， 由得：，即， 令， 在内，随的增大而增大， 要使得当时，总有，则只需当时，即可， 因此有， 解得， 则实数的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 26. 如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设． 【变中不变】 （1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整． ∵，且①_______； ∴； ∴即：； 又∵； ∴②_______； ∴； ∴； 在矩形中，； ∴； ∴③_______°，即度数不变． 【尝试应用】 （2）若，求的长； 【思维拓展】 （3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；；（2）；（3）或或． 【解析】 【分析】（1）证明推出，再证明，得到，据此即可求解； （2）由（1）得到，推出，得到，根据勾股定理求得相关数据，再代入求解即可； （3）分三种情况讨论，①当点与点重合时；②当点落在直线上时，过点作交分别为，证明，用表示出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；③当点落在直线上时，过点作交分别为，用表示出，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，且； ∴； ∴即：； 又∵； ∴； ∴； ∴； 在矩形中，； ∴； ∴，即度数不变． 故答案为：；；； （2）∵矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， 解得； （2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时； ②当点落在直线上时，由旋转得，，， 过点作交分别为， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， 同理， 在中，，即， 整理得， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴； ③当点落在直线上时，过点作交分别为， 同理四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（舍去负值）， ∴， 综上，或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$