精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷

蕲春一中2025年春高二年级五月份月考数学试卷 一、单选题 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 3. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设幂函数，则“”是“在定义域内单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若确定，则当时，有最小值 C. 若，，则当或时，取得最大值 D. 若，，则 二．多选题 9. 下列命题正确的是（    ） A. 两个随机变量线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 已知，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有72种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有18种 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在区间单调递减，在区间单调递增 B. 有极小值，且极小值是的最小值 C. 设，若对任意，都存在，使成立，则 D. 三、填空题 12. 奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______. 气温 10 6 2 售出热饮的杯数y 24 42 48 13. 已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是______. 14. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知在展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项． 16. 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应职位概率 0.4 0.3 02 01 （1）若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列． （2）若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率． （3）根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）讨论函数的零点的个数. 18. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蕲春一中2025年春高二年级五月份月考数学试卷 一、单选题 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 2. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 3. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图像，可得函数在和上为正，在为负，再根据函数的单调性，可得在上为负，在为正，又 ，逐项判断即可. 【详解】由，得， 由图像可知， 当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 又当，，当时，，当，， 所以当，，，即， 当，，，即， 综上所述，的解集为，故A正确. 故选：A 4. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 5. 设幂函数，则“”是“在定义域内单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的性质即可作出判断. 【详解】若幂函数在定义域内单调递减，则必有； 但如，不在定义域内单调递减. 故选：B. 6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若确定，则当时，有最小值 C. 若，，则当或时，取得最大值 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据直接计算即可；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于D，根据直接计算即可. 【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，则，故A不正确； 对于B，，当时，取得最大值，故B不正确； 对于C，在次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即，即，解得， 因为且，所以或，取得最大值，故C正确； 对于D，在次射击中击中目标的次数， ，故D不正确. 故选：C 二．多选题 9. 下列命题正确的是（    ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 已知，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，根据相关系数的表示意义即可求解；选项B，分别令，令，即可求解；选项C，根据样本点的中心的性质，即可判断；选项D，利用超几何分布的期望公式即可判断. 【详解】对于选项A，两个随机变量线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故选项A正确； 对于选项B，令，得，令，得．∴，故B错误； 对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确； 对于选项D，一个袋子中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本， 由超几何分布的定义知服从的超几何分布，所以，故选项D错误. 故选：AC. 10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有72种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有18种 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照题目给定的条件排列即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间， 故有 种插法， ，故B错误； 对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ， 故C正确； 对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端， 第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种， 故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在区间单调递减，在区间单调递增 B. 有极小值，且极小值是的最小值 C. 设，若对任意，都存在，使成立，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先确定定义域，根据导数研究函数的单调性以及最值，逐项分析判断即可得解. 【详解】由，可得， 求导可得， 由，可得， 当，时，，为减函数， 当时，，为增函数，故A正确； 对B， 的极小值为，而， 故极小值不是最小值，故B错误； 对C，在上的值域包含在上的值域， 由时， 为减函数， 当时， 为增函数， 故的值域为， 由在上的值域为， 所以，故C正确； 对D，由，所以， 所以，， 即，又，， 故成立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______. 气温 10 6 2 售出热饮的杯数y 24 42 48 【答案】34 【解析】 【分析】利用平均数的定义，结合样本中心点在回归直线上，即可求解. 【详解】设看不清楚的这个数据为，则，, 由于回归直线必过样本中心，所以，解得：. 故答案为： 13. 已知定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性单调性得到，求解即可. 【详解】由题意， 等价于， 又奇函数在上单调递增， 可知在R单调递增， 所以可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 14. 若对于任意，都有成立，则实数取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性得到，再通过参变分离求最值即可. 【详解】由， 可得：， 即， 构造函数，易知单调递增， 所以， 等价于在恒成立， 即在恒成立， 构造函数， ，易得时，， 时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求展开式中的常数项，并指出是第几项； （2）求展开式中的所有有理项． 【答案】（1），第5项； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，再由二项式展开式通项求解即可； （2）根据展开通项，有理项即，求出依次代入即可得有理项. 【小问1详解】 在的展开式中， 第2项与第3项的二项式系数之比是，所以. 所以展开式中的通项公式为， 令，得，所以常数项是第5项，为. 【小问2详解】 由（1）可知，通项公式为， 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故展开式中的所有有理项为：. 16. 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 03 0.2 0.1 获得相应职位概率 04 0.3 0.2 0.1 （1）若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列． （2）若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率． （3）根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． 【答案】（1）分布列见详解 （2）0.49 （3）甲公司，理由见详解 【解析】 【分析】（1）随机变量的可能取值有：0，1，2，分别求其概率；（2）结合题中数据可知满足条件情况有：AA，BA，CA，CB，DA，DB,结合相应概率计算；（3）分别求两家公司月薪的期望和方差以及月薪高于对方的概率，综合解释说明． 【小问1详解】 根据题意可知：随机变量的可能取值有：0，1，2 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.64 0.32 0.04 【小问2详解】小方月薪高于小芳月薪的概率： 【小问3详解】 入职甲公司，月薪的期望为， 方差 入职乙公司，月薪的期望为 方差 乙公司月薪高于甲公司的概率为 即， 即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故选甲公司． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）讨论函数的零点的个数. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为，无极大值；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得极值. （2）由（1）画出大致图象，由此对进行分类讨论，求得的零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令得，则，的变化情况如下表示： 0 单调递减 单调递增 ∴得单调递减区间是，单调递增区间是. 当，有极小值为，无极大值. （2）令有：当时，；当时，，且经过，，. 当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；当时，，，根据以上信息，画出大致图象如下图所示. 函数的零点的个数为与的交点个数. 当时，有极小值. ∴关于函数的零点个数有如下结论： 当时，零点的个数为0个； 当或，零点的个数为1个； 当时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解. 18. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）0.498；（ii）0.15865 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的分布列与数学期望计算即可； （2）（i）两边取对数，得，再求经验回归方程即可； （ii）由（i）及提供的参考数据可知，再由正态分布的性质求解即可. 【小问1详解】 随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且，． X 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 （i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程．其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498． （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865． 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）在R上单调递增； （2）（i）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【小问1详解】 当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； 【小问2详解】 （i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$