2024年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷

2024年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　） A．﹣4 B．3 C．π D．0 2．（3分）如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与左视图相同 D．都不相同 3．（3分）2024年1月公布，河南经济稳中求进，2023年地区生产总值为59132.39亿元，同比增长4.1%．数据“59132.39亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.5913239×1013 B．5.913239×1013 C．5.913239×1012 D．59.13239×1011 4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝110°，∠BOE＝20°，则∠COE的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 5．（3分）化简：＝（　　） A．1 B．0 C．x D．﹣x 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC+AB＝6，则边AB的长为（　　） A． B． C．2 D． 8．（3分）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2张“立春”和2张“立夏”背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图1，点P从扇形AOB（其中∠AOB＝90°）的顶点O出发，沿直线运动到扇形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P的运动路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A． B．1 C．π D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）化成最简二次根式为 　 　． 12．（3分）不等式组的解集为 　 　． 13．（3分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，则可列方程：　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且AC是⊙O的切线．若半径r＝2，∠CAD＝30°，则AB的长为 　 　． 15．（3分）在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，M为对角线AC的中点，N为边AB上一动点，若△AMN为等腰三角形，则BN的长为 　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 16．（10分）（1）计算：． （2）化简：（2x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）． 17．（9分）为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在七、八年级各抽取50名学生开展团知识竞赛．为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 平均数 中位数 众数 七年级竞赛成绩 8 8 a 八年级竞赛成绩 8.26 b 9 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　． （2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你综合上表中的统计量，判断应该给哪个年级颁奖，请说明理由． （3）若该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，参照以上数据，请估计该校七、八年级学生中得满分的学生共有多少人． 18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°， （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线与边AC交于点D，CD＝3，AB＝8，求△ABD的面积． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象相交于A（﹣5，﹣1），B（a，﹣5）两点． （1）求反比例函数的表达式与a的值． （2）若Q为y轴上的一点，求QA+QB的值最小时点Q的坐标． 20．（9分）如图，一根电线杆CE垂直于地面，电线穿过电线杆顶点C，一端固定在A点，另一端固定在B点．已知点A距离地面2m，点B距离地面6m，点A，B到电线杆的水平距离分别为22m与24m，从点A看点C的仰角为45°． （1）求电线杆CE的高度． （2）求电线的总长度（即AC+BC的长）．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7， 21．（9分）甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物花费累计超过200元后，超出200元的部分打八折； 乙商场的优惠方案：购物花费按90%付费． 若某顾客准备购买标价为x元的商品． （1）若x＞200，则在甲商场购物花费 　 　元．（用含x的代数式表示） （2）若选择甲商场和乙商场的付款金额相等，求x的值． （3）乙商场为了吸引更多的顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过500元，仍按90%付费； 超过500元后，超出的部分改按70%付费．甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择乙商场购物花费更少时，x的取值范围． 22．（10分）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM的长为半径的圆形浇灌区域（区域内均可被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线，经测量，OM＝2m，水流最高处距离地面0.1m． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）当调节水管OP的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 23．（10分）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，3），x轴上有一点P，现将点A绕点P按顺时针方向旋转n°至点B（4，1），则点P的坐标是 　 　，n＝　 　． （2）如图2，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D，E分别在BC，AC上，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转α至DF，点F恰好落在边AB上，求证：BC＝CE+BF． （3）如图3，△ABC是底角为30°的等腰三角形，AB＝6，F为AC的中点，D为射线BF上一个动点．连接AD，将AD绕点D按逆时针方向旋转120°得到DE，连接EA，EF，EC．当△CEF是直角三角形时，请直接写出BD的长． 2024年河南省漯河市召陵区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　） A．﹣4 B．3 C．π D．0 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵π＞3＞0＞﹣4， ∴所给的各数中，最大的数是π． 故选：C． 2．（3分）如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与左视图相同 D．都不相同 【分析】根据三视图的定义求解即可． 【解答】解：主视图和俯视图相同，均为底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形； 左视图的底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 3．（3分）2024年1月公布，河南经济稳中求进，2023年地区生产总值为59132.39亿元，同比增长4.1%．数据“59132.39亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.5913239×1013 B．5.913239×1013 C．5.913239×1012 D．59.13239×1011 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：59132.39亿＝5913239000000＝5.913239×1012， 故选：C． 4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝110°，∠BOE＝20°，则∠COE的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】先根据对顶角定义求出∠BOC＝110°，再根据角平分线定义得出∠BOE＝20°，最后根据角的和即可求出∠COE的度数． 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝110°， ∴∠BOC＝∠AOD＝110°， ∵∠BOE＝20°， ∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝130°． 故选：B． 5．（3分）化简：＝（　　） A．1 B．0 C．x D．﹣x 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝x， 故选：C． 6．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC+AB＝6，则边AB的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB＝AC，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝AC， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝AC， ∵AC+AB＝6， ∴3AB＝6， ∴AB＝2． 故选：C． 8．（3分）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【解答】解：函数y＝ax2﹣a（a≠0）的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则a＞0，与y轴交于正半轴，则﹣a＞0，即a＜0，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则a＞0，与y轴交于负半轴，则﹣a＜0，即a＞0，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则a＜0，与y轴交于负半轴，则﹣a＜0，即a＞0，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则a＜0，与y轴交于正半轴，则﹣a＞0，即a＜0，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 9．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2张“立春”和2张“立夏”背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小豫抽到的两张邮票恰好不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 立春 立春 立夏 立夏 立春 （立春，立春） （立春，立夏） （立春，立夏） 立春 （立春，立春） （立春，立夏） （立春，立夏） 立夏 （立夏，立春） （立夏，立春） （立夏，立夏） 立夏 （立夏，立春） （立夏，立春） （立夏，立夏） 共有12种等可能的结果，其中小豫抽到的两张邮票恰好不同的结果有8种， ∴小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率为． 故选：D． 10．（3分）如图1，点P从扇形AOB（其中∠AOB＝90°）的顶点O出发，沿直线运动到扇形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P的运动路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A． B．1 C．π D． 【分析】由图象得，当0＜x≤时，y＝1，证明出点P在线段AB的垂直平分上，当点P运动到点B处时的x＝2，即PO＝PB，证明出点P位于OB的垂直平分线上，根据勾股定理求出OB，即半径，再利用弧长公式求出答案即可． 【解答】解：由图象得，当0＜x≤时，y＝1， ∴PB＝PA， ∴点P在线段AB的垂直平分上， 当点P运动到点B处时的x＝2， ∴PO＝PB， ∴当x＝时，点P位于OB的垂直平分线上， 作∠AOB的角平分线，OB的垂直平分线，两线交于点M，连接BM，如图， ∴点P先延OM运动到M，后延MB运动到B， 由垂径定理得，点P在∠AOB的角平分线上， ∴∠MOB＝45°， ∵OM＝BM＝， ∴OB＝2， ∴＝＝π． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）化成最简二次根式为 　　． 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：＝＝2． 故答案为：2． 12．（3分）不等式组的解集为 　﹣2＜x≤4　． 【分析】首先分别解出每一个不等式，然后根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可． 【解答】解：解不等式﹣x＜2得：x＞﹣2， 解不等式2x﹣3≤5得：x≤4， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤4． 故答案为：﹣2＜x≤4． 13．（3分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，则可列方程：　　． 【分析】根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”列出二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元， ∴4x+3y＝540． ∵购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元， ∴6x+5y＝860． 由此得到方程组：． 故答案为：． 14．（3分）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且AC是⊙O的切线．若半径r＝2，∠CAD＝30°，则AB的长为 　　． 【分析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到∠OAC＝90°，则可计算出∠OAD＝60°，再判断△OAD为等边三角形得到AD＝OD＝2，接着利用圆周角定理得到∠BAD＝90°，然后根据勾股定理计算AB的长． 【解答】解：连接OA，如图， ∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠OAD＝90°﹣30°＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴AD＝OD＝2， ∵BD为直径， ∴∠BAD＝90°， ∴AB＝＝＝2． 故答案为：2． 15．（3分）在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，M为对角线AC的中点，N为边AB上一动点，若△AMN为等腰三角形，则BN的长为 　或1　． 【分析】由菱形的性质可求∠ABD＝60°，AB＝AD，可证△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝2，BM＝DM＝1，由勾股定理可求AM的长，分AN＝AM，AN＝MN两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴AC与BD互相垂直平分，∠ABD＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2，BM＝DM＝1， ∴AM＝＝＝， 当AN＝MN时，则∠BAM＝∠AMN， ∵AC⊥DB， ∴∠ABM＝∠BMN， ∴BN＝MN， ∴AN＝BN＝MN， ∵AB＝2， ∴BN＝1， 当AM＝AN＝时，BN＝2﹣， 故答案为：或1． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 16．（10分）（1）计算：． （2）化简：（2x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）． 【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质，进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式，先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝； （2）原式＝4x2﹣4x+1+x2﹣9 ＝4x2+x2﹣4x+1﹣9 ＝5x2﹣4x﹣8． 17．（9分）为庆祝中国共产主义青年团成立102周年，学校团委在七、八年级各抽取50名学生开展团知识竞赛．为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 平均数 中位数 众数 七年级竞赛成绩 8 8 a 八年级竞赛成绩 8.26 b 9 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a＝　8和9　，b＝　8.5　． （2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你综合上表中的统计量，判断应该给哪个年级颁奖，请说明理由． （3）若该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，参照以上数据，请估计该校七、八年级学生中得满分的学生共有多少人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数的意义求解即可； （3）总人数分别乘以七、八年级满分人数所占比例即可． 【解答】解：（1）七年级竞赛成绩为8分和9分的人数相等，均为12人，人数最多， 所以七年级竞赛成绩的众数为8分和9分， 八年级竞赛成绩第25、26个数据分别为8分和9分， 所以其中位数b＝（8+9）÷2＝8.5（分）， 故答案为：8和9，8.5． （2）应该给八年级颁奖， 理由：八年级的平均数和中位数均比七年级的高，说明八年级学生的成绩更好，应该给八年级颁奖； （3）800×+1000×＝368（人）， 答：估计该校七、八年级学生中得满分的学生共有368人． 18．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°， （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线与边AC交于点D，CD＝3，AB＝8，求△ABD的面积． 【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可； （2）过点D作DH⊥AB于点H，由角平分线的性质得到DH＝CD＝3，根据三角形的面积公式即可求得答案． 【解答】解：（1）如图，BD即为所求； （2）过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD是∠ABC的平分线，DH⊥AB，DC⊥BC，CD＝3， ∴DH＝CD＝3， ∵AB＝8， ∴△ABD的面积＝AB•BH＝×8×3＝12． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象相交于A（﹣5，﹣1），B（a，﹣5）两点． （1）求反比例函数的表达式与a的值． （2）若Q为y轴上的一点，求QA+QB的值最小时点Q的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再将B（a，﹣5）代入即可求出a的值； （2）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于Q，此时QA+QB的值最小，求出直线A′B的解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过A（﹣5，﹣1）， ∴k＝﹣5×（﹣1）＝5， ∴反比例函数解析式为：y＝， ∵B（a，﹣5）在反比例函数y＝上， ∴﹣5＝， ∴a＝﹣1； （2）如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于Q，此时QA+QB的值最小． ∵A（﹣5，﹣1），B（﹣1，﹣5）， ∴A′（5，﹣1）， 设直线A′B的解析式为y＝mx+n， 把A′（5，﹣1），B（﹣1，﹣5）代入得， 解得， ∴直线BA′的解析式为y＝x﹣， 令x＝0得到，y＝﹣， ∴点Q的坐标为（0，﹣）． 20．（9分）如图，一根电线杆CE垂直于地面，电线穿过电线杆顶点C，一端固定在A点，另一端固定在B点．已知点A距离地面2m，点B距离地面6m，点A，B到电线杆的水平距离分别为22m与24m，从点A看点C的仰角为45°． （1）求电线杆CE的高度． （2）求电线的总长度（即AC+BC的长）．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7， 【分析】（1）过点A作AD⊥CE于点D．在Rt△ACD中，求出CD，即可求出电线杆CE的高度； （2）在Rt△ACD中，由勾股定理可求出AC；过点B作BF⊥CE于点F，在Rt△BCF中，由勾股定理可求出BC，从而可求出电线的总长度． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥CE于点D． 在Rt△ACD中， ． ∵AD＝22m， ∴CD＝22m， ∴CE＝CD+DE＝22+2＝24（m）， ∴电线杆CE的高度为24m； （2）如图，过点B作BF⊥CE于点F． 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AC＝＝＝（m）， ∵CF＝CE﹣6＝18m， 在Rt△BCF中， 由勾股定理，得BC＝＝＝30（m）， ∴电线的总长度 AC+BC＝22+30≈61（m）． 答：电线的总长度约为61m． 21．（9分）甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物花费累计超过200元后，超出200元的部分打八折； 乙商场的优惠方案：购物花费按90%付费． 若某顾客准备购买标价为x元的商品． （1）若x＞200，则在甲商场购物花费 　（0.8x+40）　元．（用含x的代数式表示） （2）若选择甲商场和乙商场的付款金额相等，求x的值． （3）乙商场为了吸引更多的顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过500元，仍按90%付费； 超过500元后，超出的部分改按70%付费．甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择乙商场购物花费更少时，x的取值范围． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意分类当0＜x≤200时，当x＞200时，列出方程，解方程即可； （3）根据题意分类当0＜x≤200时，当200＜x≤500时，当x＞500时，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）200+0.8（x﹣200）＝0.8x+40， 故答案为：（0.8x+40）； （2）当0＜x≤200时，选择甲商场和选择乙商场的付款进而不会相等， 当x＞200时，由题意得：0.8x+40＝0.9x， 解得：x＝400， ∴选择甲商场和乙商场的付款金额相等，x的值为400； （3）当0＜x≤200时，选择甲商场始终高于选择乙商场的付款金额； 当200＜x≤500时，由题意得，0.8x+40＞0.9x， 解得：x＜400， 此时200＜x＜400； 当x＞500时，由题意得，0.8x+40＞0.7（x﹣500）+500×0.9， 解得：x＞600， 综上所述，顾客选择乙商场购物花费更少时，x的取值范围为0＜x＜400或x＞600． 22．（10分）如图1，这是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM的长为半径的圆形浇灌区域（区域内均可被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线，经测量，OM＝2m，水流最高处距离地面0.1m． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）当调节水管OP的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 【分析】（1）以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意知，当OP取最大值1.5时，灌溉区域面积最大，先求出OP＝1.5时的抛物线解析式，再令y＝0，解方程求出x的值，再根据圆的面积公式求出面积． 【解答】解：（1）以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 此时O（0，0），M（2，0），顶点坐标为（1，0.1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+0.1， 将（0，0）代入解析式得：a+0.1＝0， 解得a＝﹣0.1， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.1＝﹣0.1x2+0.2x； （2）∵OP≤1.5， ∴当OP＝1.5时，灌溉的圆形区域面积最大， 当OP＝1.5时，即将抛物线y＝﹣0.1x2+0.2x向上平移1.5个单位，得新抛物线解析式y＝﹣0.1x2+0.2x+1.5， 令y＝0，则﹣0.1x2+0.2x+1.5＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣3（舍去）， ∴以点O为圆心，5为半径的圆形浇灌区域的面积为25π， ∴最大浇灌圆形区域面积为25π m2． 23．（10分）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，3），x轴上有一点P，现将点A绕点P按顺时针方向旋转n°至点B（4，1），则点P的坐标是 　（1，0）　，n＝　90　． （2）如图2，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D，E分别在BC，AC上，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转α至DF，点F恰好落在边AB上，求证：BC＝CE+BF． （3）如图3，△ABC是底角为30°的等腰三角形，AB＝6，F为AC的中点，D为射线BF上一个动点．连接AD，将AD绕点D按逆时针方向旋转120°得到DE，连接EA，EF，EC．当△CEF是直角三角形时，请直接写出BD的长． 【分析】（1）根据题意可设P（x，0），AP＝BP，列出等式求解，即可解答； （2）证明△BDF≌△CED（AAS），即可得证； （3）根据题意，求得，，分情况讨论：①当∠FEC＝90°时，②当∠CFE＝90°时，利用相似三角形的性质与判定及等边三角形的判定与性质，即可解答． 【解答】（1）解：∵将点A绕点P按顺时针方向旋转n°至点B（4，1），点A（0，3），点P在x轴上， ∴设P（x，0），AP＝BP， ∴x2+9＝（4﹣x）2+1， 解得x＝1， ∴P（1，0）， ∵AB2＝20＝AP2+BP2， ∴旋转角为90°， ∴n＝90， 故答案为：（1，0）；90． （2）证明：∵∠B＝∠EDF＝α， ∴∠BFD+∠BDF＝∠BDF+∠CDE＝180°﹣α， ∴∠BFD＝∠CDE． 在△BDF和△CED中， ∴△BDF≌△CED（AAS）， ∴BD＝CE，CD＝BF， ∴BC＝BD+CD＝CE+BF． （3）解：∵△ABC是底角为30°的等腰三角形，AB＝6，F为AC的中点， ∴，， ①当∠FEC＝90°时，如图， ∵∠BAD+DAF＝30°，∠CAE+∠DAF＝30°， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵，， ∴， ∴△BAD∽△CAE， ∴， 又∵∠FEC＝90°， ∴CE＝CF•cos60°＝， ∴BD＝； ②当∠CFE＝90°时，如图， ∵BF⊥AC，AC⊥EF， ∴B，F，D，E四点共线， ∴∠ADE＝120°， ∴∠ADB＝60°， 又∵∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6， 综上所述，BD的长为或6． 学科网（北京）股份有限公司 $$