精品解析：2025年贵州省遵义市红花岗区初中学业水平第二次模拟考试数学试卷

红花岗区2025年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号：非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范．在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数：，，0，，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念．解题的关键是理解无理数的定义，能区分有理数和无理数．无理数是无限不循环小数． 根据无理数的定义，对每个选项进行判断，即得． 【详解】解：在，，0，中，是无理数． 故选：A． 2. 中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 下列式子中，的同类项是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小．根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即3和4之间， 故选：C． 6. 学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择，正确理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，方差是描述一组数据离散程度的统计量， ∴全体同学爱吃哪种水果做调查，最值得关注的是众数， 故选：． 7. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的定义，根据平角的定义和平行线的性质得出与的关系，再根据余角的定义判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，，四个角中与互余的角有和，共个， 故选：． 8. 不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（ ） A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、2个球都是黑球是不可能事件，不符合题意； B、2个球都是白球是随机事件，不符合题意； C、2个球中有黑球是随机事件，不符合题意； D、2个球中有白球是必然事件，不符合题意； 故选：D． 9. 如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据芍药园的坐标，月季园的坐标 ，确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴牡丹园的坐标为． 故选：A 10. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 11. 如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，扇形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，连接，根据矩形的性质得出，，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 12. 下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图形求解即可． 【详解】解：①含角的直角三角形中， ∵斜边长， ∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为， ∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意； ②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为， 则，该函数图象开口向下，符合题意； ③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意； ④∵正方体的棱长为，表面积为， ∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 14. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 15. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，可得，，由此即可求解． 【详解】解：∵支柱经过的中点， ∴， 当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，如图所示，点与点对应，点与点对应，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则长__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交延长线于点，延长交于点，过点作于，由，可设，，，，再证明，则，由，得到，那么，由，得到，那么，，解直角三角形得到，在中由勾股定理得，在由勾股定理建立方求解，并检验即可． 【详解】解：延长交延长线于点，延长交于点，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 即， 解得：，（舍），，（舍）， ∴由得到或（均舍负）， ∴当时，此时， ∴，与得到矛盾，故舍， ∴， ∴，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键在于正确构造相似三角形． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）从下列几个式子中任选3个求和：①；②；③；④． （2）化简：． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算，以及分式的化简，注意计算的准确性即可． （1）利用实数的混合运算法则即可求解； （2）利用分式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：（1）①②③：原式； ①②④：原式； ②③④：原式； ①③④：原式； （2）原式 ． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值． （2）横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出，再根据点向下平移横坐标不变带入即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点， ∴， 即， 将点向下平移落在一次函数图象上时， ， ， ∴向下平移的距离为． 19. 某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50名，补充图表见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点． （1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据； （2）利用占比即可求出部分圆心角度数； （3）画出树状图，利用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） 补充条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 20. 如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） （1）根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； （2）连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）图见解析；证明见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图方法作图，再根据证明即可； （2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 连接、，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质、三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法． 21. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键 任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； 任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式； 任务3：利用二次函数的最值求解即可 【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：； 故答案为：； 任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为； 故答案为：； 任务3：设总利润为w元，销售量为y个 ∴ ， ∴当时，元， ∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元． 22. 如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）延长交于，证，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， 垂直于地面，上臂与水平面平行， ， ，， ， ，， ， 即点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点作垂直于地面，垂足为，过作交的延长线于，交于点，过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 点到所在直线的距离为． 23. 如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； （3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 【答案】（1） （2）米 （3）两船不能在桥下顺利交汇 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据题意得，，，设抛物线的解析式为，将代入，然后求解即可； （2）当时，代入解析式得或，即可得解； （3）当时，代入解析式得，可得结论； 确定二次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得：，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，得：， 解得：或， ∴（米）， ∴可通行船只的最大宽度为米； 【小问3详解】 当时，， ∵， ∴两船不能在桥下顺利交汇． 24. 如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接． （1）写出一个与相等角________； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理即可求解； （2）连接，根据三角形三个内角的平分线交于一点，得到平分，再结合三角形的外角性质求得，，得到，根据等角对等边即可得到； （3）作，，垂足分别为，，利用圆周角定理结合三角函数求得，在中，利用勾股定理求得，根据等腰三角形的性质求得，在中，由勾股定理得，证明，推出，，在中，利用正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：连接， ∵平分，平分， ∴平分， ∴，， 由（1）知，即， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，平分， ∴， 在中，， ∴， 又平分， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 （1）如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 （2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或1或4 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，再在利用勾股定理即可求解； （2）作于点，作于点，由旋转的性质得，，，根据等角对等边得出，则有，，通过证明得到，设，在和中分别利用勾股定理，得到关于的方程，解出的值，求出的长，再在中利用正弦的定义即可求解； （3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，画出对应的示意图，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理即可求解． 【小问1详解】 解：矩形， ， ， 由旋转的性质得，，，， ，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，作于点，作于点， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ， 在中，， ． 【小问3详解】 解：①若，连接，如图， 由旋转的性质得，， 点，分别为，中点， ，， ，， ， 三点共线， ， 又， ， ， ； ②若且在的下方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； ③若且在的上方，连接，如图， 点，分别为，中点， ，， ， ， 三点共线， 由旋转的性质得，， ， ； 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、求角的正弦值、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理，结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 红花岗区2025年初中学业水平第二次模拟考试 九年级数学试题卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号：非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，要求书写工整、规范．在试卷上答题无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列实数：，，0，，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，的同类项是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. 3 D. 5. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 7. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 不透明的袋子中只有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球、下列事件是必然事件的是（ ） A. 2个球都黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 9. 如图为某公园中牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 14. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 15. 如图是跷跷板示意图，支柱经过中点，与地面垂直于点，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为，那么支柱的高度为___________． 16. 如图，在矩形中，是边上一点，是上一点，，，则的长__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）从下列几个式子中任选3个求和：①；②；③；④． （2）化简：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值． （2）横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 19. 某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，四边形中，，连接，尺规作图：作出的垂直平分线，交与点，与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合） （1）根据题意补全图形（保留作图痕迹），并证明； （2）连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 21. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 22. 如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点到所在直线的距离．（精确到，） 23. 如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； （3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 24. 如图，是的外接圆，，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，连接． （1）写出一个与相等的角________； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. 数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到． 【探究发现】 （1）如图①，当点落在上，连接，则___________． 【深入探究】 （2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值． 【拓展应用】 （3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$