精品解析：2025年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷

2025年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 在图中，轴对称图形共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此作答即可． 【详解】解：左起第一、二、四这三个图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 第三个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 3. 如图，直线，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，B两点，连接，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求角度问题，涉及到尺规作图、等腰三角形性质、平行线的性质，理解尺规作图是解决问题的关键． 根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，再结合平行线的性质得到，最后列式求解即可． 【详解】解：如图所示， 由作图可得，， ， 直线， ， ， 故选：C． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据平移的性质，设直线的解析式，再把代入，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵把直线向上平移后得到直线， ∴直线的解析式可设为 把点代入得， 解得 ， ， 直线的解析式为 故选：A 6. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是. 7. 如图，A、B、C、D为上四点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由圆周角定理得到的度数，则由平行线的性质可得的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0，若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x＝2，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线x＝2的距离大小得到对应函数值的大小． 【详解】解：∵经过点A（﹣2，n），B（6，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵当x＝1时，y＞0， ∴抛物线开口向下， ∵点N（﹣1，y2）到直线x＝2的距离最近，点P（7，y3）到直线x＝2的距离最远， ∴y3＜y1＜y2. 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标就是解方程ax2+bx+c=0．也考查了二次函数的性质． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 10. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 11. 如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，三角形的外角，根据正多边形的内角的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，同理求出的度数，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图， 多边形是正五边形， ，， ， ， ， ， 同理， ， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______. 【答案】16 【解析】 【分析】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，由已知则可得H(-1，0)，DH=4，根据点A(-4，0)，可得AH=3，要卖勾股定理可求得AD长，再根据菱形的性质可得DC=AD=5，DC//AB，根据平移的性质可得C(4，4)，再利用待定系数法即可求得答案. 【详解】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°， 又∵D(-1，4)， ∴H(-1，0)，DH=4， ∵A(-4，0)， ∴AH=3， ∴AD==5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=AD=5，DC//AB， ∴C(4，4)， ∵反比例函数的图象恰好经过点C， ∴4=， ∴k=16， 故答案为16. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，点的平移等知识，求出菱形的边长是解题的关键. 13. 如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，角平分线的性质和相似三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． 作交于点M，根据勾股定理和锐角三角函数，求出，，和，从而求出，，再利用角平分线的性质得，利用“”证明，求出，，，最后根据，，得，利用对应边成比例性质计算即可求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M， 在中，，，， ， ，，， ， 则在中，， ，， 即，， ，， 平分， ， 在和中， ， （）， ， ， 在中，， 则，即， ， ，， ， ， ，即 ， ． 故答案为：3． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先求出立方根及负指数幂，化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得到答案． 【详解】解：原式， ， 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴， ∴， ∴不等式组的解集为． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解：原方程两边都乘以得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 17. 如图，在中，，，利用圆规和无刻度的直尺在上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，三角形内角和定理，先作的平分线，再在的上方作，交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：先作的平分线，再在的上方作，交于点P， 此时， ， 则点P即为所求． 18. 如图，是上一点，，，平分，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得． 【详解】略 19. 如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】应该安排10人编织花心，有20人编织花瓣， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的配套问题，设安排x人编织花心，则编织花瓣的有人，根据一朵花由1个花心和8个花瓣构成，列方程解答即可，正确理解配套的意义是列方程的关键． 【详解】设安排x人编织花心，则编织花瓣的有人， 依题意得： 解得： 所以 答：应该安排10人编织花心，有20人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套． 20. “宫、商、角、徵、羽”是中国五声音阶中的五个基本音阶，某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中心A处进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率（注：“宫、商、角、徵、羽”分别用“①、②、③、④、⑤”表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式和列表法或树状图法求概率，准确找到所有等可能情况是解题的关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）列表得到所有等可能情况，利用符合题意的情况数除以所有等可能情况数进行解答即可． 【小问1详解】 由题意知，共有5种等可能的结果，其中第一次发出“羽”音的结果有1种， 第一次发出“羽”音的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ①① ①② ①③ ①④ ①⑤ ② ②① ②② ②③ ②④ ②⑤ ③ ③① ③② ③③ ③④ ③⑤ ④ ④① ④② ④③ ④④ ④⑤ ⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ ⑤⑤ 共有25种等可能的结果，其中这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的结果有1种， 这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的概率为 21. 小顺和小明想利用所学知识来测量学校的旗杆高度．如图，小顺站在旗杆（AB）旁的水平地面上D处，小明在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小颖刚好在平面镜内看到旗杆顶端A，此时测得米，小颖眼睛距地面的高度米，然后小明在距离小颖4米的点G处用测角仪测得旗杆顶端A处的仰角为，测角仪米，已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出旗杆AB的高． 【答案】12.4米 【解析】 【分析】过F作FH⊥AB于H，得到四边形BGFH是矩形，求得BH＝GF＝1.4米，BG＝HF，设AB＝x米，根据相似三角形的性质得到BE＝0.5x，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，过F作FH⊥AB于H， ∵AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG， ∴四边形BGFH是矩形， ∴BH＝GF＝1.4米，BG＝HF， 设AB＝x米， 由题意得，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE， ∴△CDE∽△ABE， ∴，即 ， 解得：BE＝0.5x， ∴HF＝BG＝GD+DE+BE＝（4.8+0.5x）米， ∵∠AFH＝45°，AH＝（x﹣1.4）米， ∴4.8+0.5x＝x﹣1.4， 解得：x＝12.4， ∴旗杆AB的高为12.4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般． 22. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】（1） （2）15分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 23. 为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表： 组别 一分钟垫球个数个 频数 4 26 10 请根据所给信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在　　组； （3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数． 【答案】（1）2；18 （2）D （3）270人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图即可得出的值，用总数分别减去其它组的频数即可得出的值； （2）直接根据中位数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故， 故答案为：2；18； 【小问2详解】 解：这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数为270人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ， 又， ，即， ∵为的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1），连接，求出，由圆周角定理得到，再由平行线的性质得到，据此可证明结论； （2）连接，则可证明证明，推出，则，进而得到，，求出，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接如图所示， 为直径， ， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 【小问2详解】 由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 26. （1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 在图中，轴对称图形共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图，直线，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，B两点，连接，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、B、C、D为上四点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0，若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 因式分解：_______． 10. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 11. 如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______. 13. 如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为_____ ． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： 15. 解不等式组： 16. 解分式方程：． 17. 如图，在中，，，利用圆规和无刻度的直尺在上找一点P，使得（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，是上一点，，，平分，求证：． 19. 如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？ 20. “宫、商、角、徵、羽”是中国五声音阶中的五个基本音阶，某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中心A处进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率（注：“宫、商、角、徵、羽”分别用“①、②、③、④、⑤”表示）． 21. 小顺和小明想利用所学知识来测量学校的旗杆高度．如图，小顺站在旗杆（AB）旁的水平地面上D处，小明在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小颖刚好在平面镜内看到旗杆顶端A，此时测得米，小颖眼睛距地面的高度米，然后小明在距离小颖4米的点G处用测角仪测得旗杆顶端A处的仰角为，测角仪米，已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出旗杆AB的高． 22. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 23. 为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表： 组别 一分钟垫球个数个 频数 4 26 10 请根据所给信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在　　组； （3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数． 24. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 26. （1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $