精品解析：2025年江苏省盐城市三校联考中考一模数学试题

2025 届初三年级第一次模拟考试 数 学 试 卷 （卷面总分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为， 以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 2 7 8 6 2 则本次测试成绩中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 6. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管，为后下叉．已 知 ，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 8. 如图，A，B 分别是棱长为 1 的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点 A ，B 之间的最大距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式的值为0，则x的值为_______． 10. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 11. 截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为_______． 12. 已知，两点都在抛物线上，那么__________ ． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 14. 某正多边形一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 15. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是______ ． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y 轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为________． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图， 是等腰直角三角形，， D 为 边上一点， ，．证明：； 20. 列方程或方程组解决问题：某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： 若要从这两种食品中摄入热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？ 21. 为传承民族精神，活化非物质文化遗产，我市举办了端午节赛龙舟活动．活动设置了男子组、女子组两个组别，其中男子组将进行 A：100米直道竞速赛，B：200 米直道竞速赛，C：500 米直道竞速赛，D：3000 米绕标赛．为了了解市民对于这四个比 赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选 择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完 全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 A B C D 关注人数 a b （1）直接写出 a 、b 的值和 C 所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项 目的人数最多？大约有多少人？ 22. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小明和小华都是书法爱好者，他们准备从下列3种书体中分别随机选择一种书体练习写“姜”字． （1）小明选择“楷书”书体的概率为_____； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小华选择同一种书体的概率． 23. 如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． （1）判断与的位置关系；并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 25 代数式，代数式． （1）当时，若，则 x 的取值范围是 ； （2）若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； （3）将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 26. 如图 1 ，一个小球以初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． （1）轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； （2）若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 27. 数学中的相对运动 【理解运用】 （1）如图，平面直角坐标系中 A 、D 、P 三点的坐标分别为．若线段以 2 个单位/秒的速度沿 x 轴方向向右运动 t 秒， ①若将线段看成静止的，则点 P 以 单位/秒的速度沿 x 轴方向向 运动； ②设平移后线段的对应线段为，当的值最小时，求 t 值； （提示： 最小值涉及两个动点有点难，但依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点，就转化成求 的最小值问题．请根据提示写出求解过程．） 【深入思考】 （2）如图，在（1）的条件下，以为边作，其中点 B 为，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段． 当是直角三角形时， 求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 届初三年级第一次模拟考试 数 学 试 卷 （卷面总分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为， 以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减法，根据有理数的加减计算即可． 【详解】解：∵，， ∴铁观音最佳保存的温度为， ∴只有不在范围内，A选项符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标变化特征，解题关键是熟记变化规律，正确解答； 根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变成原来的相反数即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：B． 4. 点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 5. 某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 2 7 8 6 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计知识中中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此求解即可． 【详解】解：在这一组数据中173是出现次数最多的， 故众数是173； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数的是173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是173． 故选：D． 6. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管，为后下叉．已 知 ，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，理解平行线的性质是解答关键． 根据两直线平行内错角相等求出，进而求出的度数，再利用两直线平行内错角相等求出的度数，最后利用两直线平行同旁内角互补求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ． 故选：C． 7. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，A，B 分别是棱长为 1 的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点 A ，B 之间的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可． 【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离， 点A，B之间的最大距离． 故选：C 二、填空题（共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得． 故答案：1． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 10. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举个反例，得出它是错误的即可． 【详解】解：假设，则满足， 但， 因此，这个命题是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握举反例得出一个命题为假命题是解题的关键．判断一个命题为真需要经过证明，但判断一个命题为假，只需要找到一个反例即可． 11. 截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，两点都在抛物线上，那么__________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，、是的两个根，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，两点都在抛物线上， ∴、是的两个根， ∴， 故答案为：2． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算． 【详解】解：由题意得：圆锥侧面积=cm2． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积及扇形面积表达公式． 14. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正多边形的一个内角是其外角的两倍求出外角，结合多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正多边形的一个内角是其外角的两倍， ∴外角度数是：， ∵， ∴该正多边形的边数是6， 故答案为：6； 【点睛】本题考查正多边形性质：每个内角（外角）都相等，多边形外角和． 15. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，菱形的判定和性质等，根据题意可得和都是等腰直角三角形，四边形是菱形，设，则，然后代入求解即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意可得，和都是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，， ∵点到距离与点到距离相等， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 设， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y 轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过作轴于，连接，证明，根据对应边成比例得到解题即可． 【详解】解：过作轴于，连接，如图： ∵， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵以点为旋转心把直线逆时针旋转得直线， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂分别运算，最后合并即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 19. 如图， 是等腰直角三角形，， D 为 边上一点， ，．证明：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质．根据可证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 列方程或方程组解决问题：某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： 若要从这两种食品中摄入热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？ 【答案】选用A种食品3包，B种食品1包 【解析】 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决实际问题，找准等量关系，列出正确的方程组是解题的关键． 设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和45g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包． 由题意得，， 解得：， 答：选用A种食品3包，B种食品1包． 21. 为传承民族精神，活化非物质文化遗产，我市举办了端午节赛龙舟活动．活动设置了男子组、女子组两个组别，其中男子组将进行 A：100米直道竞速赛，B：200 米直道竞速赛，C：500 米直道竞速赛，D：3000 米绕标赛．为了了解市民对于这四个比 赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选 择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完 全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 A B C D 关注人数 a b （1）直接写出 a 、b 的值和 C 所在扇形圆心角的度数； （2）若当天观看比赛的市民人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项 目的人数最多？大约有多少人？ 【答案】（1），， （2）观看3000米绕标赛的人数最多，大约有为人； 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据的条形统计图和扇形统计图的数据，求出总人数即可求解； （2）计算出样本中所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：总人数为：（人）， ∴，； C类所对应扇形的圆心角的度数为： 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知：观看3000米绕标赛的人数最多， （人） 即：观看3000米绕标赛的人数大约有为人； 22. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小明和小华都是书法爱好者，他们准备从下列3种书体中分别随机选择一种书体练习写“姜”字． （1）小明选择“楷书”书体的概率为_____； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小华选择同一种书体的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到二人选择同一种书体的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3种字体，每种字体被选择的概率相同， ∴小明选择“楷书”书体的概率为； 【小问2详解】 解：分别用A、B、C表示行书，楷书和隶书，列表如下： 小明 小华 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小华选择同一种书体的结果数有3种， ∴小明和小华选择同一种书体的概率为． 23. 如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． （1）判断与的位置关系；并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弦与圆周角之间的关系，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明是等边三角形，，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论； （2）以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点D即为所求． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点； 可证明，则在以A为圆心，半径为的圆上， 则， 可证明，则，则是等边三角形， 由可得，即． 24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6 （2）线段的长度为21.8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为21.8 ． 25. 代数式，代数式． （1）当时，若，则 x 的取值范围是 ； （2）若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由； （3）将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差． （1）将代入A、B的式子中，求出，利用，得出不等式3，求出x的取值范围； （2）因为，所以，因为，所以，所以，得出； （3）求出，分成、、三种情况讨论，确保，，求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：因为， 当时，， 因为， 所以， 解得． 【小问2详解】 解：因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即． 【小问3详解】 解：因为， 所以， 因为， ①当时，C随着x的增大而增大， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得：， 解得：， ②当时，，满足， 所以满足题意． ③当时，C随着x的增大而减小， 则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是， 可得， 解得：， 综上所述，． 26. 如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． （1）轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； （2）若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）线段与抛物线能光滑连接 （3）存在，这节轨道的起点与点A之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）由图2可以得出轨道初段的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）设出抛物线的顶点式，再把点代入解析式求解即可；求出解析式，再联立直线和抛物线所组成的方程组，根据判别式得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【小问1详解】 解：由图2可知，轨道初段的总长为； 设， 则， 解得， ∴， 故答案为：40；； 【小问2详解】 解：由题意，Q为顶点，设， 则， 把代入解析式得：， 解得（舍去）， ∴； 设直线表达式：，代入，有， 即， 联立， 得， ∵， ∴直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，故线段与抛物线光滑连接； 【小问3详解】 解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 27. 数学中的相对运动 【理解运用】 （1）如图，平面直角坐标系中 A 、D 、P 三点的坐标分别为．若线段以 2 个单位/秒的速度沿 x 轴方向向右运动 t 秒， ①若将线段看成静止的，则点 P 以 单位/秒的速度沿 x 轴方向向 运动； ②设平移后线段的对应线段为，当的值最小时，求 t 值； （提示： 的最小值涉及两个动点有点难，但依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点，就转化成求 的最小值问题．请根据提示写出求解过程．） 【深入思考】 （2）如图，在（1）的条件下，以为边作，其中点 B 为，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段． 当是直角三角形时， 求 的长． 【答案】（1）①2，左；②（2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据“相对运动”的概念和性质，即可获得答案；②依据相对运动，将看成静止的，则点P为动点，取点关于直线轴的对称点，则，利用待定系数法解得直线的解析式；当点运动到直线上，即点，，三点共线时，可有取最小值，确定此时点的横坐标，可确定点运动距离，然后求解即可； （2）过点作于点，首先根据题意确定，的值，结合平行四边形的性质确定，进而可得，的长度，由旋转的性质可得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）①若将线段看成静止的，则点 P 以2单位/秒的速度沿 x 轴方向向左运动． 故答案为：2，左； ②依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点， 如下图，取点关于直线轴的对称点， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当点运动到直线上，如图，即点，，三点共线时， 可有取最小值， 此时，将其代入直线， 可得，解得， ∴点运动路程， ∴； （2）过点作于点，如下图， ∵， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 根据题意，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段， 则， ∴， ∵是直角三角形， 可分三种情况讨论， ①当时，如下图， ∵， ∴点与点重合， ∴； ②当时，如下图，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，； ③当时，点在的延长线上，不符合题意． 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，最短路径、一次函数的应用、平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$