精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学期中考试 一、单选题 1. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数的增减性及其导函数的正负之间的关系，对选项逐一判断即可得出结果. 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 2. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到在时恒成立，再利用分离参数法即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以在时恒成立， 即， 记，由，则， 故在上单调递增，故， 故，所以实数的最大值是． 故选：C 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求； 【详解】由得， 则斜率，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C 4. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题可设，，由其导数可知在上为增函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 故选：B. 6. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数表达出数列中的各项，并利用求出答案. 【详解】由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……， . 故选：A. 7. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故选：D 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误 故选：C. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的所有项系数之和为1 C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式中含有常数项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式展开式的性质即可判断A；利用赋值法即可判断B；由二项式系数和的性质即可求解C；根据通项特征即可判断D． 详解】对于A，，所以展开式共有9项，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，展开式的二项式系数之和为，故C正确； 对于D，展开式中的通项是， 令，解得，所以展开式中没有含常数项，故D错误； 故选：BC． 10. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归系数，可判定A正确；根据题意，求得新的经验回归方程为，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得，结合残差的计算，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由回归方程为，可得回归系数， 可得正数知变量具有正相关关系，所以A正确； 对于B中，将，代入，可得， 所以去除点和后，得到新的样本平均数， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以， 所以新的经验回归方程为，所以B正确； 对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系， 又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误； 对于D中，由回归直线方程，当时，可得， 所以样本点似残差为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法 B. 被7除后的余数为5 C. 若，则 D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：采用隔板法共有； 对于B：，展开式中只有最后一项1不是7的倍数； 对于C：分别令得：，令，得，，两式相加除以2，计算可判断； 对于D：点P共有36种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共8种，可得点P在圆内的概率为.继而有，由二项分布的期望公式可判断. 【详解】解：对于A：6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，即每个盒子至少1个，采用隔板法共（种），故A正确； 对于B：，展开式中只有最后一项1不是7的倍数，所以被7除后的余数为2，故B错误； 对于C：在中， 令得：，令，得，， 两式相加除以2，得，故C正确； 对于D：点P共有36种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为.因为，所以的均值为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的有理项共有__________项． 【答案】3 【解析】 【详解】，，因为有理项，所以，共三项．填 3. 13. 已知圆和圆相切，则_________ 【答案】或或 【解析】 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 14. 数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合得到，倒序相加求出答案. 【详解】令， 则有， 结合可有， 倒序相加法得， ，， 即. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间. （2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 17. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为线段中点 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定方法，由线线平行判定线面平行. （2）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角. 法二：构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求角即可. （3）根据空间向量的夹角公式求参数. 【小问1详解】 设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. 【小问2详解】 正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面，， 则平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 因为， ， 所以，所以为平面的一个法向量， 所以，所以与的夹角为． 即所求的二面角的大小为． 法2：在平面中过作于，连接， ，，， 平面， 是在平面上的射影， 由三垂线定理得 是二面角平面角 在中，，， ，， 二面角的大小为； 【小问3详解】 设，（），则， 因为PF与BC所成的角是60°， 所以， 解得或(舍)． 故为线段的中点． 18. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以所求切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以， 设过原点的切线切于点， 则切线方程为：，又其过原点， 所以，所以， 所以切线l的方程为，即为． 19. “停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式：，其中． 【答案】（1）没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关； （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）求出喜欢钉钉直播上课的学生的人数，补充列联表即可，代入计算即可判断； （2）确定抽取的男生人数，确定X的可能取值，分别求出，，的值，求出分布列，从而求出数学期望． 【小问1详解】 由120人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是， 故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下： 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 30 50 不喜欢钉钉直播上课 40 30 70 合计 60 60 120 由已知数据可求得：， 所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为， 按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，抽取男生2人， 则的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 P 的数学期望为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学期中考试 一、单选题 1. 如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上无极值，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….记这个数列的前项和为，则（ ） A. 442 B. 441 C. 364 D. 298 7. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的所有项系数之和为1 C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式中含有常数项 10. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法 B. 被7除后的余数为5 C. 若，则 D. 抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的有理项共有__________项． 13 已知圆和圆相切，则_________ 14. 数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的准线方程为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 17. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 18. 已知函数． （1）求在点处切线方程； （2），若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 19. “停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是． 男生 女生 合计 喜欢钉钉直播上课 20 不喜欢钉钉直播上课 30 合计 120 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？ （2）校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望． 附临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式：，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$