精品解析：2025年河南省商丘市梁园区中考二模数学试题

2025年河南省中招考试模拟试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 4月9日，英国《卫报》发表社论评价美国关税施压下的中国．文章指出，尽管近年来面对经济挑战，但中国从中看到了更长远的机会．今年以来，一揽子存量政策和增量政策继续发力显效，中国经济运行起步平稳，发展态势向新向好．截至3月末，我国外汇储备规模较2月末上升134亿美元，国际收支保持基本平衡．将数据“134亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在物理光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由两块互相平行的反射镜，构成，一束激光以一定角度斜射到反射镜上，在反射镜上发生第一次反射，反射光线为，又继续射到反射镜上并发生第二次反射，反射光线为，具体光路如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 中国传统建筑中的榫卯结构是极为精巧的发明，如图是一个古代榫卯构件的实物图，它由两个部分组成，一个是带榫头的长方体，另一个是带有凹槽的类似长方体结构，以下四个选项中，是该榫卯构件的左视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ） A. B. C. D. 6. 河南被称为“文化大省”，拥有众多闻名遐迩的人文景观，如少林寺、龙门石窟、清明上河园等．某旅游公司为了吸引游客，举办了河南旅游景点抽奖活动，设置了少林寺、龙门石窟、清明上河园三个景点，游客从中随机抽取一个，抽中的即可免费到该景点旅游．则参加抽奖活动的甲、乙两位游客抽到同一个景点的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，四边形是一个边长为4的菱形，，以点为圆心，为半径作弧，则阴影部分的面积为：（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，对角线，相交于点，一动点从点出发，沿的边逆时针匀速运动一周后回到点，线段的长与点运动的路程之间的关系如图2，则矩形的面积是（ ） A 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 2025年4月，九年级学生统一进行体育测试，其中对必考项目长跑的要求如下表，某校准备为该项成绩在24分以下的学生提供针对性练习，请你根据表格与扇形统计图估计该校九年级800位学生中共有_____位学生需要参加该练习． 男子1000米成绩（分钟） 女子800米成绩（分钟） 等级 成绩（分） A 25.0 3.57~4.01 3.43~3.47 B 24.5 4.02~4.06 3.48~3.52 B 24.0 4.07~4.11 3.53~3.57 C 23.5 4.12~4.16 3.58~4.02 C 23.0 4.17~4.21 4.03~4.07 C 22.5 4.22~4.26 4.08~4.12 C 22.0 4.27~4.31 4.13~4.17 D 21.5 4.32及以上 4.18及以上 D 21及以下 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 14. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，与对角线相交于点，，分别是，的中点，若的面积为160，则四边形的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，，，是边靠近点三等分点．动点在边上运动，过点作，交射线于点，若是线段的中点，则_____，当点从点运动到点时，点运动的路径长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为落实“双减”政策，丰富学生课余生活，学校举办了机器人编程竞赛．在竞赛过程中，甲、乙两名学生表现突出，他们在近七场比赛中关于程序运行速度（单位：毫秒）、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面的统计结果如下表所示，比赛得分如下图所示： 技术统计表 学生 平均每场程序运行速度 平均每场程序功能完整性得分 平均每场程序漏洞数量 甲 120 9 2 乙 130 8 1 比赛得分统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）这七场比赛中，得分更稳定的是_____（填“甲”或“乙”）学生；甲学生比赛得分的中位数为_____分，乙学生比赛得分的中位数为_____分； （2）请从程序运行速度、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面分析，这七场比赛中，甲、乙两名学生谁的表现更好； （3）规定参赛选手的综合得分为：平均每场程序运行速度平均每场程序功能完整性得分平均每场程序漏洞数量，且综合得分越高表现越好．请从综合得分方面，比较这七场比赛中甲、乙两名学生谁的表现更好． 18. 如图，在等腰三角形中，，是底边上中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交边于点，交于点，交边于点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明（）中得到的四边形是菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； （3）在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，某数学兴趣小组在一个半径为的圆形广场上测量塔的高度．已知圆形广场的圆心为，从圆周上的，两点分别测得塔顶的仰角为和，点，，在同一条直线上，塔底与在同一水平面上（点，，，共面），且塔与地面垂直（即，），如图，，求塔的高． 21. 某城市响应“长江大保护”国家战略，开展水域生态修复工程．施工队需购买甲、乙两种环保型清污设备，其中甲设备用于河道淤泥清理，乙设备用于水面垃圾打捞． （1）已知购买3台甲设备和2台乙设备共需44万元，购买2台甲设备和5台乙设备共需66万元．求甲、乙两种设备的单价； （2）根据工程需求，施工队计划购进这两种设备共100台，且购进甲设备的数量不少于乙设备数量的．为鼓励绿色技术应用，政府对每台甲设备提供2万元补贴，乙设备无补贴，若最大总支出为920万元，求的值． 22. 某生物兴趣小组研究温度对酶活性的影响，实验发现：温度为时，酶活性为（酶活性用0到1之间的数值表示，1为最高活性）；当温度在及以下或者及以上时，酶丧失活性（即酶活性为0）．已知酶活性与所处温度在活性范围内呈二次函数关系，设温度为，酶活性为． （1）求酶活性关于温度的函数解析式； （2）根据函数性质回答： ①酶活性最高时的温度是多少？最高活性是多少？ ②若要求酶活性不低于时，温度应控制在什么范围内?（结果保留根号） 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省中招考试模拟试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 2. 4月9日，英国《卫报》发表社论评价美国关税施压下的中国．文章指出，尽管近年来面对经济挑战，但中国从中看到了更长远的机会．今年以来，一揽子存量政策和增量政策继续发力显效，中国经济运行起步平稳，发展态势向新向好．截至3月末，我国外汇储备规模较2月末上升134亿美元，国际收支保持基本平衡．将数据“134亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：134亿， 故选：C． 3. 在物理光学实验课上，老师为同学们展示了一个激光反射实验装置．该装置由两块互相平行的反射镜，构成，一束激光以一定角度斜射到反射镜上，在反射镜上发生第一次反射，反射光线为，又继续射到反射镜上并发生第二次反射，反射光线为，具体光路如图所示，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据反射角等于入射角得出，根据平行线的性质可得，根据反射角等于入射角得出，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 又， ∴， 故选：B． 4. 中国传统建筑中的榫卯结构是极为精巧的发明，如图是一个古代榫卯构件的实物图，它由两个部分组成，一个是带榫头的长方体，另一个是带有凹槽的类似长方体结构，以下四个选项中，是该榫卯构件的左视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法（看不见的线条用虚线）．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：该榫卯构件的左视图的是： 故选：C． 5. 在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 6. 河南被称为“文化大省”，拥有众多闻名遐迩的人文景观，如少林寺、龙门石窟、清明上河园等．某旅游公司为了吸引游客，举办了河南旅游景点抽奖活动，设置了少林寺、龙门石窟、清明上河园三个景点，游客从中随机抽取一个，抽中的即可免费到该景点旅游．则参加抽奖活动的甲、乙两位游客抽到同一个景点的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先画树状图展示所有等可能的结果数，找出甲、乙两位游客抽到同一景点的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：记少林寺、龙门石窟、清明上河园分别为A，B，C， 根据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位游客抽到同一个景点的结果有3种， 所以甲、乙两位游客抽到同一景点的概率为， 故选：D． 7. 已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先由点坐标和长度求出，然后根据折叠性质可知，，在中求出（即），最后在中设未知数，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形OADH，四边形OBCH都是矩形， ∴DH=OA，CH=OB，OH=AD=BC， ∵点的坐标为，， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴点坐标为，点纵坐标为， 由折叠性质可知．． ∴HF=OH-OF=4 设，则，． 在中，根据勾股定理 ∴，即． 展开式子得， 移项化简得， 解得． ∵， ∴点的横坐标为． 故选：B 【点睛】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及平面直角坐标系的相关知识．解题关键在于利用折叠性质得到相等的线段，结合勾股定理建立方程求解线段长度，进而确定点的坐标． 9. 如图，四边形是一个边长为4的菱形，，以点为圆心，为半径作弧，则阴影部分的面积为：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，根据“”求解即可． 详解】解：过点作于点，如图， ∵四边形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，对角线，相交于点，一动点从点出发，沿的边逆时针匀速运动一周后回到点，线段的长与点运动的路程之间的关系如图2，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图像以及矩形的面积，观察图像，求出矩形的长和宽的长度是解题的关键．根据矩形的性质结合函数图像，即可得出是等边三角形，可求得的长度，再利用矩形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由函数图像可得，当点P运动到点D时，， 当点P运动到点O时，，则， 当点P运动返回到点A时，，则， ∴是等边三角形， 在矩形中，， ， ∴矩形的面积是． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12. 2025年4月，九年级学生统一进行体育测试，其中对必考项目长跑的要求如下表，某校准备为该项成绩在24分以下的学生提供针对性练习，请你根据表格与扇形统计图估计该校九年级800位学生中共有_____位学生需要参加该练习． 男子1000米成绩（分钟） 女子800米成绩（分钟） 等级 成绩（分） A 25.0 3.57~4.01 3.43~3.47 B 24.5 4.02~4.06 3.48~3.52 B 24.0 4.07~4.11 3.53~3.57 C 23.5 4.12~4.16 358~4.02 C 23.0 4.17~4.21 4.03~4.07 C 22.5 4.22~4.26 4.08~4.12 C 22.0 4.27~4.31 4.13~4.17 D 21.5 4.32及以上 4.18及以上 D 21及以下 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体数量，由扇形统计图求某项的百分比；由扇形统计图可求得B等级的占比，从而利用总数与C、D等级的占比的积即可求解． 【详解】解：由扇形统计图知，B等级占， 则； 即该校九年级800位学生中共有200位学生需要参加该练习． 故答案为：200． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或 故答案为：或3． 14. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，与对角线相交于点，，分别是，的中点，若的面积为160，则四边形的面积为_____． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，先证明四边形是平行四边形，再证明，推出即可解答，熟练利用平行四边形的性质求面试是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， 即， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的面积为160， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是边靠近点的三等分点．动点在边上运动，过点作，交射线于点，若是线段的中点，则_____，当点从点运动到点时，点运动的路径长为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 24 【解析】 【分析】过点F作交延长线于点G，则得，则可求得，从而求得；确定出点M的运动路径为线段，利用相似三角形的判定与性质求得的长，由三角形中位线定理即可求得运动路径的长． 【详解】解：如图，过点F作交延长线于点G， 则； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵是边靠近点的三等分点， ∴， ∴； ∵M点是的中点， ∴， ∴， 即； 如下图，当点P与点A重合时，由前面证明知，则， ∴； 当点P与点D重合时，此时点F运动到点H，则四边形是矩形， ∴； 设的中点分别为N，Q，连接，则点M的运动路径为线段， ∵． 故答案为：2；24． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，动点问题等知识，利用三角形相似、确定出点M的运动路径是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（1）1 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、乘方的运算法则，计算各项的值，再进行加减运算． （2）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，然后对括号内式子通分计算，最后约分得出化简结果． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、乘方运算、因式分解、分式的乘除运算等知识点．解题关键在于准确运用相关运算法则计算，对于零指数幂和负整数指数幂要牢记底数的限制条件；在分式运算中，熟练进行因式分解、将除法转化为乘法以及约分等操作． 17. 为落实“双减”政策，丰富学生课余生活，学校举办了机器人编程竞赛．在竞赛过程中，甲、乙两名学生表现突出，他们在近七场比赛中关于程序运行速度（单位：毫秒）、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面的统计结果如下表所示，比赛得分如下图所示： 技术统计表 学生 平均每场程序运行速度 平均每场程序功能完整性得分 平均每场程序漏洞数量 甲 120 9 2 乙 130 8 1 比赛得分统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）这七场比赛中，得分更稳定的是_____（填“甲”或“乙”）学生；甲学生比赛得分的中位数为_____分，乙学生比赛得分的中位数为_____分； （2）请从程序运行速度、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面分析，这七场比赛中，甲、乙两名学生谁的表现更好； （3）规定参赛选手的综合得分为：平均每场程序运行速度平均每场程序功能完整性得分平均每场程序漏洞数量，且综合得分越高表现越好．请从综合得分方面，比较这七场比赛中甲、乙两名学生谁的表现更好． 【答案】（1）甲；17 ；18 （2）乙学生的表现更好 （3）乙学生的表现更好 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，正确理解题意是解题的关键． （1）由折线统计图可知，甲同学的得分波动更小，即稳定性更好；再由中位数的定义求出两名同学的成绩的中位数即可； （2）根据甲的漏洞数量多于乙即可得到结论； （3）根据最后得分的计算方法分别求出两名同学的得分即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，甲同学的得分波动更小，即稳定性更好； 按照得分高低，把两人七场比赛成绩按照从低到高排列，甲：15分，15分，16分，17分，17分，17分，18分，乙：13分，15分，17分，18分，18分，19分，19分， ∴甲的中位数为17分，乙的中位数为18分； 【小问2详解】 解：虽然甲的运行速度比乙的快，且功能完整性得分甲也比乙高，但是甲的漏洞数量多于乙，故乙学生的表现更好； 【小问3详解】 解：甲的得分为， 乙的得分为， ∵， ∴乙学生的表现更好． 18. 如图，在等腰三角形中，，是底边上的中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交边于点，交于点，交边于点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明（）中得到的四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由线段垂直平分线的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即得，进而由平行线等分线段定理可得，即得到，即可求证． 【小问1详解】 解：作图如图所示: 【小问2详解】 证明：由（）得，直线垂直平分线段， ，，， ，是底边上的中线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线等分线段定理，菱形的判定，正确画出图形是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，若平移后点落在反比例函数的图象上，求的值； （3）在平面直角坐标系中是否存在点，使得是，的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即即可； （2）根据平移后点的对应点坐标为，代入反比例函数解析式即可求出答案； （3）求出，，是，的直角三角形，则点P在直线上，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，反比例函数的图象经过点． ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 将矩形沿轴的正方向平移个单位长度，平移后点的对应点坐标为， ∵平移后点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 【小问3详解】 解：存在点，使得是，的直角三角形， ∵四边形是矩形，顶点，， ∴，， ∵是，的直角三角形， ∴点P在直线上， ∵， ∴， ∴点P的坐标为或 20. 如图，某数学兴趣小组在一个半径为的圆形广场上测量塔的高度．已知圆形广场的圆心为，从圆周上的，两点分别测得塔顶的仰角为和，点，，在同一条直线上，塔底与在同一水平面上（点，，，共面），且塔与地面垂直（即，），如图，，求塔的高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意知，，，设，在中，由三角函数可得，在中，由三角函数得，如图，过点作于点，解可得，，即得，，最后利用勾股定理列出方程解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，，， 设， ，， ， 在中，， 在中，， 如图，过点作于点， ， ， 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， 答：塔的高为． 21. 某城市响应“长江大保护”国家战略，开展水域生态修复工程．施工队需购买甲、乙两种环保型清污设备，其中甲设备用于河道淤泥清理，乙设备用于水面垃圾打捞． （1）已知购买3台甲设备和2台乙设备共需44万元，购买2台甲设备和5台乙设备共需66万元．求甲、乙两种设备的单价； （2）根据工程需求，施工队计划购进这两种设备共100台，且购进甲设备的数量不少于乙设备数量的．为鼓励绿色技术应用，政府对每台甲设备提供2万元补贴，乙设备无补贴，若最大总支出为920万元，求的值． 【答案】（1）甲设备的单价为每台8万元，乙设备的单价为每台10万元 （2）的值为25 【解析】 【分析】（1）设甲设备的单价为每台万元，乙设备的单价为每台万元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进甲设备台，则购进乙设备台，购进甲、乙这两种设备的总支出为万元，根据题意得到，，即当时，最大，计算即可. 【小问1详解】 解：设甲设备的单价为每台万元，乙设备的单价为每台万元． 根据题意，得， 解得， 答：甲设备的单价为每台8万元，乙设备的单价为每台10万元． 【小问2详解】 解：设购进甲设备台，则购进乙设备台，购进甲、乙这两种设备的总支出为万元． 根据题意，得． 解得． ∵政府对每台甲设备提供2万元补贴， ∴． ， 随的增大而减小． 当时，最大． ． 解得． 经检验，是该分式方程的解且符合题意． 的值为25． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，分式方程的应用，熟练掌握各知识点是解题的关键. 22. 某生物兴趣小组研究温度对酶活性的影响，实验发现：温度为时，酶活性为（酶活性用0到1之间的数值表示，1为最高活性）；当温度在及以下或者及以上时，酶丧失活性（即酶活性为0）．已知酶活性与所处温度在活性范围内呈二次函数关系，设温度为，酶活性为． （1）求酶活性关于温度的函数解析式； （2）根据函数性质回答： ①酶活性最高时的温度是多少？最高活性是多少？ ②若要求酶活性不低于时，温度应控制在什么范围内?（结果保留根号） 【答案】（1） （2）①酶活性最高时的温度是，最高活性是；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意知，，，在该二次函数图象上，因此可设该二次函数的解析式为，将代入解得值即可得到答案； （2）①将（1）中解析式化成顶点式，可知该函数图象开口向下，顶点坐标为，即可得到答案； ②解出当时，的值，根据该函数图象开口向下，可推出当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，，，在该二次函数图象上， 设该二次函数的解析式为， 将代入， 得， 解得， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①， ， 该函数图象开口向下，顶点坐标为， 酶活性最高时的温度是，最高活性是， ②酶活性不低于， ， 当时，， 解得，， 该函数图象开口向下， 当时，， 温度的范围为． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）四边形是矩形，理由见解析； （4）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用勾股定理是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （）由四边形是垂美四边形，则，然后用勾股定理即可求解； （）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形； （）设与交于点，与交于点，连接，，由正方形性质可得，，，证明，则，通过三角形内角和定理可得，所以，证明四边形是垂美四边形，然后分当时，当时，再结合勾股定理和（）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义，  菱形的对角线互相垂直平分符合垂美四边形定义，  矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等符合垂美四边形定义， 故选：； 【小问2详解】 解：，理由如下， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问4详解】 解：如图，设与交于点，与交于点，连接，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴.，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 综上可知：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$