精品解析：2024年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考二模数学试题

2023—2024学年度下学期初三数学二模试题 考生注意： 1.本科为闭卷考试，考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于的分式方程无解，则实数的取值是（ ） A. 0或2 B. 2或4 C. 2 D. 4或8 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 7. 如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，动点P从A点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作于点D，则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个． ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 春意盎然，许多地方杨絮漫天飞舞，据测量，杨絮纤维的直径约为，用科学记数法表示杨絮的直径为______． 12. 如图，，于点，，则__________． 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到的这个几何体的形图如图所示，则搭成该几何体的小立方块的个数最少________个． 15. 如图，的顶点在轴上，顶点，在的图像上，顶点在反比例函数的图像上，且轴，若的面积等于11，则的值为____． 16. 在中，，点是线段上的一点，将沿折叠，使点的对称点恰好落在的中位线所在的直线上，则点到的距离为________． 17. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18 （1）计算： （2）因式分解： 19. 解方程：． 20 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，交y轴于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图2，M为抛物线上A左边一动点，若，求M点横坐标； （3）如图3，直线与抛物线交于P，与y轴交于Q，G是抛物线第三象限上一点，D是B右侧抛物线上一点，直线交y轴于H，直线交y轴于F，，若，，求s、t之间关系． 21. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 22. 已知、两地间有地，客车由地驶向地，货车由地经过地去地（客货车在、两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车距地的路程与行驶时间的函数关系的图象． （1）货车的速度为 ；、两地间的路程为 ； （2）求客车距地的路程与的函数关系式，并直接写出货车距地的路程与的函数关系式； （3）求两车相遇时距地的路程； （4）直接写出两车出发多长时间时相距70的路程． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们将直角三角形和的直角顶点重合，来研究几何知识． 实践操作： （一）如图①，和是等腰直角三角形，，，； （二）在图①中，取中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接、，得到图②． （三）如图③，和是直角三角形，，； 问题解决： （一）在图①中，若，， 则 ；＝ ； °； （二）在图②中，（1）与的位置关系为 ； （2）证明． （三）在（1）问条件下，图②中 ； 拓展延伸 （四）在图③中，若，则 ．（用含的代数式表示）． 24. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点，顶点为，连接，． （1）求抛物线解析式． （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点． ①当时，点的坐标为 ． ②求的最大值； ③连接并延长交轴于点，点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期初三数学二模试题 考生注意： 1.本科为闭卷考试，考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是5， 故选：C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟悉掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误； C：既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的混合运算，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的混合运算，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，平方差公式对各个选项进行运算即可． 【详解】A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确； D ，故该选项错误； 故选：C． 4. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异．若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有4种， ∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率为． 故选：D． 5. 若关于的分式方程无解，则实数的取值是（ ） A. 0或2 B. 2或4 C. 2 D. 4或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 先用a表示方程解，再把方程无解时的取值代入运算即可． 【详解】解： 整理得： 去分母得： 解得： ∵， ∴当或时，此方程无解， ∴或， 解得：或， 故选：D． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了圆锥的计算的知识，应用的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；设圆锥的底面圆半径为先根据勾股定理求出扇形的半径，再根据圆锥的弧长等于底面周长列方程求出，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】：设圆锥的底面圆半径为 过圆心O作于点D，连接，如图． ∵， ∴． ∴，， ∴ ∴ ∴圆锥的底面圆的半径． ∴圆锥的高为， 故选：A． 8. 如图，中，，，，动点P从A点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作于点D，则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算以及勾股定理，正确理解题意表示出的面积即可解题．分当点P在上运动，即时，当点P在上运动，即时，两种情况分别表示出的面积即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，由题意得， ∵中，，，， ∴， ∴，， ∴，是二次函数． 当点P在上运动，即时，由题意得， ∴，， ∴， ∴，是二次函数． ∴符合题意的函数图象只有C， 故选：C． 9. 青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题关键是根据题目意思列出含x和y的方程． 设5人一组的有x个，6人一组的有y个，列出方程，再令x为大于等于1的整数，逐一进行计算，即可得出答案． 【详解】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得： ， 当，则（不合题意）； 当，则； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则； 故有2种分组方案． 故选：C． 10. 如图，抛物线（是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是，过一、二、四象限的直线（是常数）与抛物线交于轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个． ①，②，③，④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤为任意实数，则有． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握一次函数与二次函数的交点坐标，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的对称性，顶点坐标，是解题的关键． ①根据直线（k是常数）的过一、二、四象限，得到，根据抛物线的开口向上，对称轴为，推出，得出，判断①正确； ②根据直线与x轴交点为，得到抛物线也交于，根据抛物线的对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为，得到方程的两根为，，根据根与系数的关得到，；得到，，得到，判判断②正确； ③根据，，得到，判断③正确； ④根据抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，得到，得到，结合，得到，判断④正确； ⑤根据抛物线的最小值为：结合时， ，得到，推出，结合，，推出，得到 ，判断⑤正确． 【详解】①∵直线（k是常数）的过一、二、四象限， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴ ， 又抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ②中， 令，得， ∴直线与x轴交点为， ∴抛物线与也交于， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两根为，， ∴，； ∴，， ∴，故②正确； ③由②知，抛物线过点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④根据题意知，当时，直线与抛物线y值相等， ∴， ∴， 由②知，， ∴，故④正确； ⑤当时，抛物线取得最小值，最小值为， 当时，代入， 得， 两边同时加上a， 得， ∴ ∵，， ∴， ∴ ，故⑤正确， ∴正确的结论有5个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 春意盎然，许多地方杨絮漫天飞舞，据测量，杨絮纤维的直径约为，用科学记数法表示杨絮的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故答案为：． 12. 如图，，于点，，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义理解，根据“两直线平行，同旁内角互补”，求出的度数，根据“于点”、平角度数为，计算出的度数，根据“两直线平行，内错角相等”，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且 ∴且， 故答案为：且． 14. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到的这个几何体的形图如图所示，则搭成该几何体的小立方块的个数最少________个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．利用俯视图，在上面写出最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】解：如图所示： 故搭成该几何体的小立方块的个数最少（个）． 故答案为：6． 15. 如图，的顶点在轴上，顶点，在的图像上，顶点在反比例函数的图像上，且轴，若的面积等于11，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点分别向、轴做垂线，所围成的四边形的面积等于，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．如图，连接、，设交轴于，根据平行四边形的性质可得，根据反比例函数的几何意义得出，，根据的面积等于11，列方程求出，根据图像所在象限即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于， ∵轴，顶点在轴上， ∴，轴， ∵在的图象上，顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得：， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴． 故答案为： 16. 在中，，点是线段上的一点，将沿折叠，使点的对称点恰好落在的中位线所在的直线上，则点到的距离为________． 【答案】或或4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．根据对称点落在不同的中位线上，分三种情况分别讨论计算即可． 【详解】解：情况1：如图所示，为的中位线，点关于的对称点落在上，过点作于点， 为的中位线， ，， ， ，又，即， 四边形为矩形， ， 情况2：如图所示，为中位线，点关于的对称点落在的延长线上，连接， 点是点关于的对称点， ， 为的中位线， ，， 又， ，即，为点到距离， ， 情况3：为的中位线，点关于的对称点落在上，过点作于点，作交于点，交过点与垂直的直线于点，连接，如图所示， 根据翻折特征，可得， ，， 四边形为矩形， ，， ，又， ， ， 设，则，， ， 解得，， ， ， ， 整理得， 解得，(舍去) ， ． 故答案为：或或4． 17. 如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据特殊的锐角三角函数值，负指数幂，去绝对值，零指数幂的运算法则进行化简运算即可； （2）提公因式后再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据情况灵活选用解法求解即可． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴，． 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，交y轴于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图2，M为抛物线上A左边一动点，若，求M点横坐标； （3）如图3，直线与抛物线交于P，与y轴交于Q，G是抛物线第三象限上一点，D是B右侧抛物线上一点，直线交y轴于H，直线交y轴于F，，若，，求s、t之间关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用交点式求解即可； （2）设与轴交于点，将转化为，求出坐标，再求出直线解析式，联立二次函数解析式即可； （3）求出点坐标，关键是确定点的对称点正好在直线上，可过点作轴交于点，证，得出坐标，列出直线关系式，再代入坐标即可解决． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴抛物线解析式为， ∴， 得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 设与轴交于点， ∵与同底，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， 设直线解析式为， 得， 解得， 则直线解析式为， 联立， 得， 解得（舍），， 所以点的横坐标为； 【小问3详解】 联立， 解得或， 故，另一交点与点重合， ∵，得， 则， 则， 则， 过点作轴交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 则，， 设直线关系式为， 代入，， 解得，， ∴直线关系式为， 将代入， 得， 化简得：， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法，面积问题，与一次函数综合，角平分线，代数问题，熟练掌握这些性质是解题的关键． 21. 如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，可以证得，，则，即可得到为的切线． （2）连接，则，则，可得，进而求得的长度，再利用三角函数即可求得的长度． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ，为斜边中线， ， ， ， ， ， 为的切线． 【小问2详解】 解：连接， ，，， ，， 是直径， ， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，正确做出辅助线是解题的关键． 22. 已知、两地间有地，客车由地驶向地，货车由地经过地去地（客货车在、两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车距地的路程与行驶时间的函数关系的图象． （1）货车的速度为 ；、两地间的路程为 ； （2）求客车距地的路程与的函数关系式，并直接写出货车距地的路程与的函数关系式； （3）求两车相遇时距地的路程； （4）直接写出两车出发多长时间时相距70的路程． 【答案】（1）； （2）客车与的函数关系式是；货车与的函数关系式是 （3） （4）小时或小时 【解析】 【小问1详解】 解：由图像可得： 客车的速度：，则货车的速度为：， 与两地间的路程为：； 【小问2详解】 解：设客车与的函数关系式为：，代入和得： ， 解得：， 即客车与的函数关系式为：， 当时，设货车与的函数关系式为：， ∵货车的速度为，， ∴该函数过点和，分别代入得： ， 解得：， ∴当时，货车与的函数关系式为：， ∵， ∴货车到达所需的总时间为， 当时，设货车与的函数关系式为：， ∴把点，代入得： ， 解得：， ∴当时，设货车与的函数关系式为：， ∴综上所述：； 【小问3详解】 解：由图象可得，两车相遇时是小时之后， ∴令可得：， 解得：， ∴两车，小时相遇，此时货车从开出的路程为：， ∴两车相遇时距地的路程为：； 【小问4详解】 解：当两车相遇前相距千米时， 解得： 当两车相遇后相距千米时， 解得： ∴出发后小时或小时，两车相距千米． 23. 综合与实践 数学活动课上，同学们将直角三角形和的直角顶点重合，来研究几何知识． 实践操作： （一）如图①，和是等腰直角三角形，，，； （二）在图①中，取中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接、，得到图②． （三）如图③，和是直角三角形，，； 问题解决： （一）在图①中，若，， 则 ；＝ ； °； （二）在图②中，（1）与的位置关系为 ； （2）证明． （三）在（1）问条件下，图②中 ； 拓展延伸 （四）在图③中，若，则 ．（用含的代数式表示）． 【答案】（一），，；（二）（1）垂直；（2）见解析；（三）；（四） 【解析】 【分析】（一）如图①，作于，则，，，则，，，，则，由和是等腰直角三角形，，可得，然后作答即可 （二）（1）证明，则，，，证明，则，，，进而可得， （2）证明过程同理（1）； （三）证明四边形是平行四边形，则，由，可得，计算求解即可； （三）解：，如图③，取中点，延长至点，使，连接、， 同理，，，则，由，可证，则，可得，同理，四边形是平行四边形，则，如图③，作于，则，，，，由，然后求解作答即可． 【详解】（一）解：如图①，作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：，，； （二）（1）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：垂直； （2）证明过程同理（1）； （三）解：由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （三）解：由题意知，， 如图③，取中点，延长至点，使，连接、， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理，四边形是平行四边形， ∴， 如图③，作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正弦，余弦，正切，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点，顶点为，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点． ①当时，点的坐标为 ． ②求的最大值； ③连接并延长交轴于点，点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1） （2）①；②； 【解析】 分析】（1）把点和代入二次函数解析式运算即可； （2）①过作于点，利用相似的性质得到的纵坐标，用待定系数法求出直线的解析式后，代入的纵坐标求解即可； ②利用二次函数和一次函数的表达式，设出点和点的坐标，再列出长度的表达式求解即可； ③过点作于点，过点作于点，用二次函数的解析式求出点坐标，即可运用待定系数法求出直线的解析式，得到的坐标，通过三角函数的比值关系证出，从而得到，故的时候有最小值，通过比值关系运算即可． 【小问1详解】 解：把，，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ①解：过作于点，如图所示： ∵把代入可得：， ∴，， 设直线的函数解析式为：，代入和得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴交于点， ∴的纵坐标为：， ∴把代入可得：， 解得：， ∴； ②解：∵点在上， ∴设点的坐标为，， ∴点的纵坐标为：， 由①得：直线的函数解析式为：， ∴把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为：； ③解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，代入和得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入可得：， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当的时候有最小值， ∵，， ∴． 【点睛】本题为二次函数与几何综合，考查了二次函数的图象性质及点的特征，一次函数的图象性质及点的特征，相似三角形的判定及性质，胡不归等知识点，熟练运用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$