精品解析：2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考中考二模数学试题

2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考中考二模数学试题 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 9. 如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（ ） A. B. C. D. 5 10. 如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 截止2025年4月4日，动画电影《哪吒2》以全球票房突破亿元的佳绩跻身全球影视票房第五位，刷新了中国乃至亚洲电影的票房纪录，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．数据亿用科学记数法表示为____________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的全面积为____． 14. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 15. 如图，点是反比例函数()图象上一点，过点作轴于点，点为的中点，点为轴负半轴上一点，连接、，若，且，则的值为________． 16. 在矩形中，在线段上取点E，构造以为腰的等腰，连接与交于点F．若，，则的长为___________． 17. 如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为______． 三、解答题（本题共7个大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 19. 解方程：． 20. 为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分组：．视力，视力正常；．视力，轻度视力不良；．视力，中度视力不良；．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在组的数据是：，，，，，； 抽取的九年级学生的视力在组的数据是：，，，，，，，； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 （1）填空：________，________，________，并直接补全条形统计图； （2）该校八年级共有学生人，九年级有人，请估计八、九年级学生视力正常总人数； （3）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）． 21. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲从A地到B地的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 23. 如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； （3）如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； （4）如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考中考二模数学试题 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、积的乘方、完全平方公式及合并同类项．因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行排除选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：底层正方体最多有2个正方体，第二层最少有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少有3个． 故选：A． 5. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 6. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 8. 2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数购买排球的总钱数”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得． 【详解】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得， ， 则， ∵x、y均为非负整数， ∴、或、或、或、， 所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理的逆定理及其定理即可求解． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点C处时，如图， ∵，即，此时，即， ∵， ∴为直角三角形， 由等面积得，， ∴，即． ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 利用二次函数的图象和性质及二次函数和一元二次方程的关系逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线图象可知， ∵开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴左侧， ， 交轴于负半轴， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②由图象可知，当时，， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵二次函数的图象过点和， ， 即，代入， 得， 故③正确，符合题意； ④∵二次函数的图象过点和， ， ∴ 由③得，所以，代入上式得， 原式， 由①得， 又， 即， 故④错误，不符合题意； ⑤由③得， 将代入上式得 原式 ∴， 由抛物线与轴有两个交点可得，， ∴， 故⑤正确，符合题意； 故正确的选项为①③⑤， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 截止2025年4月4日，动画电影《哪吒2》以全球票房突破亿元的佳绩跻身全球影视票房第五位，刷新了中国乃至亚洲电影的票房纪录，成为中国文化自信与技术实力的重要象征．数据亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，，为整数，且比原来的整数位数少，正确的确定的值即可． 【详解】解：亿； 故答案为： 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的全面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式、扇形的面积公式，首先求出扇形的面积即为圆锥的侧面积为，根据扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径为，再求出底面圆的面积为，圆锥的底面积加圆锥的侧面积即为圆锥的全面积． 【详解】解：扇形的面积为， 扇形弧长为， 设圆锥底面圆半径为， 则， 解得：， 圆锥底面圆面积为， 这个圆锥的全面积为 故答案为：． 14. 如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，设，则，在中，由三角形内角和定理建立方程求解，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点是反比例函数()图象上一点，过点作轴于点，点为的中点，点为轴负半轴上一点，连接、，若，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质，得到关于的方程是解题的关键． 先证明，设，即可得出，，再根据相似三角形的性质可得，根据，代入数值即可解得． 【详解】解：∵点为的中点，轴， ∴， ∴， 根据题意可设， ∴， ∴， ∴， 故可设点坐标为， ∵，，， ∴， 即， ∴， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 16. 在矩形中，在线段上取点E，构造以为腰等腰，连接与交于点F．若，，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.分两种情况：①当为等腰三角形的底边时，②当为等腰三角形的底边时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为等腰三角形的底边时，如图1． ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当为等腰三角形的底边时，如图2．此时点在线段的垂直平分线上． 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 17. 如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，解直角三角形，一次函数的性质，先根据一次函数的性质求出，，得出，求出，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，同理得出，此时的坐标为；，此时的坐标为；得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴的横坐标为， 同理得：， 此时的坐标为； ， 此时的坐标为； …… 的坐标为； 故答案为：． 三、解答题（本题共7个大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，因式分解． （1）先分别利用特殊角的三角函数，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值化简，再进行加减即可； （2）利用平方差公式分解即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 ， 20. 为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分组：．视力，视力正常；．视力，轻度视力不良；．视力，中度视力不良；．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生的视力在组的数据是：，，，，，； 抽取的九年级学生的视力在组的数据是：，，，，，，，； 被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 （1）填空：________，________，________，并直接补全条形统计图； （2）该校八年级共有学生人，九年级有人，请估计八、九年级学生视力正常的总人数； （3）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1），， （2）人 （3）八年级学生的视力情况更健康，理由见解析（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求扇形统计图的某项数目，频数分布直方图，运用中位数做决策，运用众数做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图和频数分布直方图是解题的关键． （1）由中位数的定义结合题意即可得出、的值，由扇形统计图中各组比例之和为即可得出的值； （2）利用样本估计总体即可得出答案； （3）根据中位数、众数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：∵抽样调查的人数为人， ∴八、九年级学生视力的中位数是从小到大排列后第、人视力的平均数， ∵八年级学生视力频数分布直方图可知组人，组人数为（人），且组视力， ∴八年级学生视力从小到大排列后第、人视力分别是，， ∴； ∵， ∴， ∴九年级学生组人数为（人），组人数为（人）， ∴九年级学生视力从小到大排列后第、人视力分别是，， ∴， 补图如下： 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计八、九年级学生视力正常的总人数约为人； 【小问3详解】 解：八年级学生的视力情况更健康，理由如下：因为八、九年级学生视力情况的平均数相等，而八年级学生视力情况的中位数大于九年级学生视力情况的中位数，同时八年级学生视力情况的众数也大于九年级学生视力情况的众数，所以八年级学生的视力情况更健康（理由不唯一，合理即可）． 21. 如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得，，即可求解； 【小问1详解】 证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，等腰三角形判定及性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，能熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 22. 在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲从A地到B地的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 【答案】（1）240，60； （2）（6≤x≤10）； （3）4分钟或6分钟或分钟； 【解析】 【分析】（1）根据甲到C地的时间和A、C两地的距离可得甲的速度；设A、B两地的距离为x，根据甲的总骑行时间和速度列方程求解可得x的值；再根据乙的步行时间可得乙的速度； （2）求得甲从C地到B地的时间可得G点坐标，再由G、H两点坐标待定系数法求一次函数解析式即可； （3）分情况讨论：①t≤时，②3＜t≤时，③＜t＜时，④≤t≤6时，⑤t＞6时，根据每段时间的速度、位置关系列方程求解即可； 【小问1详解】 解：由图可知，甲在分钟时到达了C地，A、C两地距离为1020米，∴甲从A地到B地的速度为=1020÷=240米/分钟， ∴甲从B地返回A地的速度为240×=300米/分钟， 设A、B两地距离为x， 根据甲骑行的总时间可得：，解得：x=1200， ∴乙的速度为1200÷20=60米/分钟， 故答案为：240，60； 【小问2详解】 解：甲从C地到B地的时间为（1200-1020）÷240=分钟， ∴G点的坐标为（6，1200），H点（10，0） 设y=kx+b，则，解得：， ∴函数关系为（6≤x≤10）， 【小问3详解】 解：由题意得：乙到C地的时间为180÷60=3（分钟）， ①t≤时，1020-240t=180-60t，解得：t=，不符合题意； ②3＜t≤时，1020-240t=60t -180，解得：t=4，符合题意； ③＜t＜时，0=60t -180，解得：t=3，不符合题意； ④≤t≤6时，240（t-）=60t -180，解得：t=6，符合题意； ⑤t＞6时，∵乙离C地的距离大于180米， ∴甲追上乙时300（t-6）=60t，解得：t=，符合题意； 综上所述t的值为：4分钟或6分钟或分钟； 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的实际应用；理清自变量和函数值所表示的意义，根据时间段分情况讨论两人的位置关系是解题关键． 23. 如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得矩形和矩形是正方形，即点A、N、C在同一条直线上，利用勾股定理可得，，再根据，，进行等量代换即可求解； （2）连接，当时，，证得，可得，，进而证得，利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）由题意得，，，利用勾股定理求得，再分类讨论：当点C，N，M三点共线，且点N在上时；当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴，即， ∵，， ∴矩形和矩形是正方形， ∴， ∴点A、N、C在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案：，； （2），理由如下： 如图，连接，当时，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在上时， ∵， ∴， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时， ∵，， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； （3）如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； （4）如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k的最大值． 【答案】（1） （2） （3）或； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q，得，再由相似三角形的性质得出方程求解即可； （4）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即， ∴，即等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点； 【小问3详解】 解：如图，过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q， 则， ∴， 设点，，则， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴或； 【小问4详解】 解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $