精品解析：天津市滨海新区大港第三中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

大港三中2024-2025高二数学第二次月考 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题，故A错； ∵，，∴，B正确； ，C错； ，D错； 故选:B 2. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 3. “”是“且”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的. 【分析】令，，，则满足，但“且”不成立， 则“”不是“且”的充分条件； 由且，得，因此“”是“且”的必要条件， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：A 4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 【答案】C 【解析】 【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解. 【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况. 若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况. 所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有 故选C. 【点睛】本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与无关 C. 对具有线性相关关系变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个随机变量的线性相关性的强弱与相关系数的关系即可判断A；根据卡方检验即可判断B，利用线性回归方程必过样本中心点，即可判断选C；利用二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质，即可判断D． 【详解】对于A，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 对D，由可判断X与Y有关，故B错误； 对于C：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故C正确； 对于D：因为随机变量服从二项分布，所以， 则， 因为，则，所以，故D错误． 故选：C. 7. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案. 【详解】记事件为第二次抽到一等品，事件为第一次抽到一等品， 则由条件概率公式可知： 故选：C. 【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件发生条件下事件发生的概率公式为：. 8. 已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　） A a＜b＜c B. c＜a＜b C. a＜c＜b D. c＜b＜a 【答案】B 【解析】 【详解】画出f(x)的图像如下图，c=1,，，，所以，选B. 9. 已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ） A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2] 【答案】D 【解析】 【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可. 【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得. 故选：D. 10. 已知在R上是奇函数，且，当时，，则 A. -2 B. 2 C. -98 D. 98 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知函数的周期为，即可利用周期性和奇偶性将转化为，即可求出． 【详解】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数， ∴，而，即. 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题． 11. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论． 【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0， 令h(x)=,令h′（x）=，则x=， 所以h(x)在（0，）单调递增，在（）上单调递减， ∴y的大致图像如图： 又h()= 若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则， 故选B. 【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题． 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可. 【详解】由题设，若，则，可得， ∴，故. 故答案为： 14. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 【答案】 ①. 9 ②. -84 【解析】 【分析】由二项式系数和为，即可求解的值，利用通项公式即可求得展开式中的系数． 【详解】由已知可得，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 展开式中的系数为． 故答案为：9，． 15. 已知函数，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列不等式组求解即可． 【详解】由题意，解得， 所以函数的定义域为． 故答案：． 16. ___________ 【答案】11 【解析】 【分析】根据指对运算公式求解. 【详解】 故答案为：11 17. 设，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及指数 式与对数式互化关系求出的值. 【详解】依题意，，由，得， 则，又，于是， 因此，而，所以 故答案为： 18. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且, ，，， 设任取一件产品，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为 , 故答案为：； 19. 已知随机变量,且，若,则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为， 又，，即． 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 20. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 三、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可 【小问1详解】 ，则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. 【小问2详解】 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. 【小问3详解】 令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 22. 2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了人作出调查，所得数据统计如下表所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 男性 女性 （1）判断是否有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？ （2）若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取人，再从这人中任取人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1）有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完成联表，计算，进而可判断； （2）根据分层抽样判断人数，再根据超几何分布计算概率及分布列，进而得期望. 【小问1详解】 （1）完善表格如下所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计 男性 女性 总计 则， 有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关； 【小问2详解】 依题意，这人中男生有人，女生有人，则的可能取值为，，，， 故， ， ， ， 故X的分布列为： 则． 23. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. （1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望； （2）求乙至多击目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】（1）分布列见解析，；（2）； （3）. 【解析】 【分析】(1) 的可能取值为，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；(2) 根据独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(3) 根据互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式求解即可. 【详解】(1)的概率分布列为 0 1 2 3 P ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或 ＝3×＝1.5. (2)乙至多击中目标2次的概率为1－C ()3＝. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件， P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝. 24. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据导数的几何意义求出，将原问题转化为对，恒成立，利用导数分类讨论研究的性质求出，令即可. 【小问1详解】 当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为， 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是； 【小问2详解】 当时，令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. 【小问3详解】 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 设，则， 令，得. 当即时， 由，得；由，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，需，得. 当时，，成立；当时，，不成立；当时，都不成立， 所以实数的最大整数值为3. 当即时，，，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上，实数的最大整数值为3. 【点睛】方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大港三中2024-2025高二数学第二次月考 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 3. “”是“且”的（    ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断与无关 C. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是． D. 已知随机变量服从二项分布，若，则． 7. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是 A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　） A a＜b＜c B. c＜a＜b C. a＜c＜b D. c＜b＜a 9. 已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ） A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2] 10. 已知在R上是奇函数，且，当时，，则 A. -2 B. 2 C. -98 D. 98 11. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________ 14. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 15. 已知函数，则函数的定义域为______． 16. ___________ 17. 设，且，则________ 18. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________． 19. 已知随机变量,且，若,则的最小值为_________． 20. 已知函数，若，则不等式解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 三、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围. 22. 2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了人作出调查，所得数据统计如下表所示： 热爱电子竞技 对电子竞技无感 男性 女性 （1）判断是否有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？ （2）若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取人，再从这人中任取人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望． 附：，其中． 23. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. （1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望； （2）求乙至多击目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 24. 已知函数. （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若，当时，证明：恒成立； （3）若函数在处的切线与直线垂直，且对任意的恒成立，求的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$