精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024～2025学年高一5月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A. B. C. D. 8. 在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（ ） A. A、B、C、D四点共面 B. C. 与相交 D. 10. 三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）． A. 三角形另一边长为7 B. 三角形的周长为20 C. 三角形内切圆周长为 D. 三角形外接圆面积为 11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________. 13. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______. 14. 三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，，D是棱的中点． （1）证明：平面BCD平面． （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024～2025学年高一5月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，且为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用为纯虚数，可求，可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以为纯虚数， 所以，解得，所以复数， 其在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A. 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 5. 如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出圆台的上下底面的半径，再根据圆台的轴截面即可求得答案. 【详解】解：设圆台的上下底面的半径分别为r，R， 则，所以， ，所以， 作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3， 所以， 即该圆台的高为. 故选：A. 6. 已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算和向量的数量积运算，先将用已知条件的向量表示出来，然后计算向量的数量积. 【详解】由为中点，为正三角形，所以，如图所示： 由图可知， 所以. 因为边长，所以根据勾股定理可得. 所以. 故选：D. 7. 圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′＝6cm，PC＝BC，求出PC′＝×4＝4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长． 【详解】侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴AC′＝3cm． ∵PC′＝BC′， ∴PC′＝×6＝4cm． 在Rt△ACP中，AP2＝AC′2+CP2， ∴AP＝＝5． 故选B． 【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 8. 在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，知是与所成的角，进而可求解. 【详解】设正方体棱长为，则， 由，知是与所成的角， 正方体中可知：， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（ ） A. A、B、C、D四点共面 B. C. 与相交 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线的特点结合平面性质公理判断各选项即可. 【详解】当或与相交时，A、B、C、D四点共面， 此时a，b共面，不符合题意，故ABC错误， 对于D，如图，在正方体中，若异面直线a，b为图中两条直线时， 且为所在棱的中点，为正方体的顶点，此时. 故选：ABC. 10. 三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）． A. 三角形另一边长为7 B. 三角形的周长为20 C. 三角形内切圆周长为 D. 三角形外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D选项的正确性. 【详解】可得另一边长为， 三角形的周长为20，则A正确，B正确； 设内切圆半径为， 则， 则， 则内切圆周长为，则C不正确； 设外接圆半径为，则，, 其面积为， 则D正确． 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计算.属于较易题. 11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确； 对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误； 对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确； 对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算和模长公式进行化简，再由共轭复数的基本概念即可得出结果. 【详解】由， 得， 则复数z的共轭复数为 故答案为： 13. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______. 【答案】若，，则 【解析】 【分析】 若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 可得若，，则， 理由：在内取两条相交直线a，b， 由可得.， 又，可得.， 而a，b为内的两条相交直线，可得. 故答案为：若，，则 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题 14. 三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，把三棱锥补全为一个长方体，求出长方体的外接球的半径，根据球的表面积公式计算出外接球的表面积即可. 【详解】如图，把三棱锥补全为一个长方体， 则长方体的外接球即是三棱锥的外接球， 长方体的对角线长为： ， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，向量． （1）若向量，求向量的坐标； （2）若向量与向量的夹角为120°，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可； （2）先求，再求后可求解. 【小问1详解】 由，设，∴， ∵，∴，解得或 所以或． 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，∴． 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 【答案】（1）； （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由，可得，即有，，即可得结论. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，且， 所以， 所以， 所以或（舍）， 当时，， 所以为直角三角形． 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，，D是棱的中点． （1）证明：平面BCD平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 底面ABC，面ABC， ． ，，AC，平面， 平面， 平面BCD， ∴平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，根据线面垂直的性质及判定证平面，再由面面垂直的判定证结论； （2）根据及锥体体积公式，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ，则， 即△为等腰直角三角形 ∴. ∴. 18. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，利用正弦定理即可求解；(2)首先根据已知条件以及(1)中结论，利用正弦定理和余弦定理求出，再结合均值不等式即可求解. 【详解】(1)由正弦定理可得，， 又因为， 所以， 化简整理得，，由，故， 又因为，所以． (2)由正弦定理和(1)中结论得，， 所以，， 因为， 所以， 化简整理得，，即， 由余弦定理可知，，即， 从而， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 故面积，当且仅当时，面积有最大值， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明： 连接交于，连接，则为中点. 因为分别为中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，由边的比求出正切值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点，连接， 取中点，连接， 可得. 因为平面平面，平面平面. 所以平面， 因此平面平面，所以. 过作交于，连接， 可得平面，所以， 所以就是所求二面角的平面角，如图所示， ， 在直角中，可得， 即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $