精品解析：河北省承德市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．如图，将一个底面半径为5的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11. 如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到平面的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______． 13. 已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； 16. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． （1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ （2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 18. 已知函数的最小正周期是. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若当时，方程恰好有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中，，，E为PA的中点，F为PC上一点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若，，且． （ⅰ）当平面BFD时，求的值； （ⅱ）当时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】根据角的终边过点，可得， 则，则点位于第四象限. 3. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】若，，则、平行或相交，故A错误； 若，则与平面无公共点，即与平面内的直线无公共点. 对，则或与异面，故B错误； 若，，则，所以C正确； 若，，则或，所以D错误. 4. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方关系和商数关系可得角的正余弦值，利用余弦两角差关系展开计算即可． 【详解】因为，所以． 由解得， 因为角为第三象限角，所以． 所以． 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，再结合大边对大角的性质排除不符合范围的解，即可得到的取值. 【详解】在中，由正弦定理可得：，将，，代入上式，且，得：，得， 由于，因此或， 又因为，可得，即不符合要求，故舍去， 因此. 6. 陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．如图，将一个底面半径为5的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点滚动，其首次转回到原位置时，陀螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆锥母线长为，然后根据题列出方程，求出母线，再代入圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】设该圆锥形陀螺的母线长为（即图中），已知陀螺底面半径. 圆锥底面的周长为， 这代表陀螺自身完整滚动周时，它的底面边缘在水平面上扫过的路径长度等于自身底面周长. 陀螺绕顶点在水平面滚动、首次回到原位置时，陀螺的底面边缘会绕点画出一个以为圆心、 母线长为半径的完整大圆，这个大圆的总周长为. 所  所以由题意得 ,解得母线长. 所以 . 7. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用共面向量定理求出，再由三角形面积求得，结合向量数量积的运算律与基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因，，可得， 因三点共线，故，解得，故. 又因的面积为，，则，解得. 由两边取平方， 可得， 因，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义，结合三棱锥体积公式和等积性逐一判断即可. 【详解】A：连接交于，连接，易知为中点， ，平面，平面， 所以面，所以本选项说法正确； B：延长交于点，连接．则为平面与平面的交线，由于为中点， 所以，四边形为平行四边形．所以， 即为异面直线与所成角， 因为， 所以，，，，，所以本选项说法不正确； C：， 在平面中，点到的距离为定值，而， 所以的面积是定值， 又因为三棱柱是直棱柱， 所以平面，平面， 所以，由上可知为中点，， 所以，因为平面， 所以平面， 所以是定值，所以三棱锥的体积为定值，因此本选项说法正确； D：设点到平面的距离为， 因为， 所以，所以， 因为三棱柱是直棱柱， 所以平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面，因为为中点， 所以点到平面的距离为， 所以由，得， 所以本选项说法正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量. ①若，则，即，解得，则； ②若，则，即，解得. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据辅助角公式求得，然后利用正余弦定理求得，进而由正弦定理得，从而利用辅助角公式得，最后利用正弦函数性质求解即可. 【详解】在中，由，得. 又，则，解得. 由及正弦定理，得， 即. 由余弦定理得，则. 由正弦定理，得，即， 因此 . 由，得，则， 所以的取值范围是. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用两角和正切公式计算求解； （2）应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算化简，再应用正切值计算求值. 【小问1详解】 根据两角和的正切公式： 代入，得： ； 【小问2详解】 因为，， 所以 又因为，所以 16. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． （1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ （2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 【答案】（1）60海里 （2）能在小时内赶到救援 【解析】 【分析】（1）在中，求出，利用正弦定理求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，, 所以,. 又, 所以由正弦定理可得，即，解得, 所以A船距离雷达站C的距离为60海里. 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得, 即,解得, 在中，由余弦定理可得, 解得, 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而, 所以能在小时内赶到救援. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 【答案】（1） ∵平面，平面，， ，，为中点，， 又平面平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，面面垂直的性质得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）空间内找到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标即可得向量坐标，利用向量的数量积求平面的一个法向量，由向量的数量积得线面角的正弦值，由题意建立方程，解得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点E，连接，为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 取， ∵， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴，所以或，解得或（舍去）. 18. 已知函数的最小正周期是. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若当时，方程恰好有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和差公式化简函数解析式，确定的值； （2）解三角不等式，利用整体代换思想解得的范围； （3）首先令，则根据有两个不同的根可以理解为直线与的图象有两个交点，即可求得实数的取值范围，再由对称性求得即可求得的值. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为函数的最小正周期，且，所以，解得. 因此. 【小问2详解】 不等式，即. 根据正弦函数的图象，解不等式，得. 令，代入得， 解得. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 令，当时，， 方程恰好有两个不同的根等价于 在上的图象与直线有两个交点. 在上的大致图象，如图. 结合在上的图象，得 当时，直线与的图象有两个交点， 因此实数的取值范围为. 由正弦函数图象的对称性知，若，则，即， 整理得，故. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中，，，E为PA的中点，F为PC上一点． （1）求证：平面平面PAB； （2）若，，且． （ⅰ）当平面BFD时，求的值； （ⅱ）当时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 故平面，又平面，所以， 在中，，为中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再利用线面垂直的性质定理得，最后通过面面垂直判定定理得证； （2）先建立空间直角坐标系 （i）利用法向量及空间向量的坐标运算，结合已知向量的条件构建关于的方程求解； （ii）通过联立方程组求出法向量，利用向量的夹角余弦值求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，则各点坐标分别为，，，，。 （i）因为，，得， ，，设平面的法向量为，则 ， 令，得，，故， 因为，∥平面， 所以，故，解得， （ii）当时，，为中点，故，，，设平面的法向量为，则 ， 令，得，，故， 由（1）知平面，是平面的一个法向量， 设两法向量的夹角余弦为，故平面与平面夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $