精品解析：广东省惠州市第八中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

惠州市第八中学2024～2025学年第二学期高一期中考 数学试题 2025.5 说明：1、本卷总分150分，考试时长120分钟. 2、考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 又，则． 故选：B. 3. 以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，得到的几何体的圆柱，则所得几何体的侧面积为，故选A． 考点：旋转体的概念及侧面积的计算． 4. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 5. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 【答案】D 【解析】 【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案. 【详解】 对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确； 对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确； 对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确； 对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误. 故选：D. 6. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD C. 异面直线AD与CB1角为60° D. AC1⊥平面CB1D1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性． 【详解】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故A正确． 由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故B正确． 异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1 为异面直线AD与CB1所成角， 等腰直角三角形BCB1 中，∠BCB1=45°，故C不正确． 由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1， 故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1 ，故D成立． 故选C. 【点睛】本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角． 7. 已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得为中点，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以为中点， 又因为G是的重心， 所以， 又因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A 8. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积. 【详解】∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 棱柱的体积为，，，， ∴，∴ ∵，∴. 设外接圆的半径为R，则，∴. ∴外接球的半径为，∴球的表面积等于. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为锐角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量坐标计算向量模长和数量积，分别根据各选项中关于向量的加法，数量积，夹角与投影向量的表示，计算即可逐一判断. 【详解】因，，则，. 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，时，由，解得，故B错误； 对于C，与夹角为锐角等价于， 解得且，即，即C正确； 对于D，时，，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判定与性质定理即可得出结论． 【详解】解：．若，，则，或，因此不正确； ．若，，，则，正确； ．若，，，则，正确； ．若，，，则，也可能，因此不正确， 故选：． 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明. 【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，， 又底面是菱形，，是等边三角形， 又为的中点， 又，，在平面内，且相交于点， 平面，故选项A正确； B选项：由选项A知，平面，又平面，， 即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确； C选项：∵平面， ， 平面，，， 又平面平面，是二面角的平面角， 设，则，， 在直角中，，即， 故二面角的大小为，故选项C正确； D选项：因为平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个正三棱锥的高是3 ，底面的边长是2 ，这个正三棱锥的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出正三棱锥的底面积，再结合已知的高，利用正三棱锥的体积公式计算出体积. 【详解】因为正三棱锥的底面是正三角形，边长为2， 所以三角形面积为. 已知正三棱锥的高为3，所以这个正三棱锥的体积为. 故答案为：. 13. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据、两点坐标求出向量的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】； 故答案为： 14. 在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知为与平面所成的角，在中求解即可. 【详解】∵⊥平面， ∴为与平面所成的角， ， 因为为锐角， ∴. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面.求证： （1）平面; （2）平面. 【答案】（1） ∵底面是正方形， ∴， 又平面，平面， ∴平面； （2） 因为底面，而平面，故， 由正方形可得， 因平面， 故平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得答案； （2）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据模的计算公式直接求解； （2）利用复数的除法进行计算； （3）设，根据条件列方程求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 设， 则，所以① ， 因为是纯虚数，所以② 由①②联立，解得 或 所以或． 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. （1）求A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得求解， （2）根据正弦定理可得，进而利用余弦定理可得，即可利用面积公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因,故， 故，即， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 则,可得 即， 由（1） 根据余弦定理可得， 则， 即，可得， 所以的面积 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】 （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面 ，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）略 （2）略 （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市第八中学2024～2025学年第二学期高一期中考 数学试题 2025.5 说明：1、本卷总分150分，考试时长120分钟. 2、考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答，答在试题卷上无效. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 A. B. C. D. 4. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 6. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD C. 异面直线AD与CB1角为60° D. AC1⊥平面CB1D1 7. 已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为锐角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个正三棱锥的高是3 ，底面的边长是2 ，这个正三棱锥的体积为________ 13. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 14. 在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为___________ 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面.求证： （1）平面; （2）平面. 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. （1）求A； （2）若，，求的面积. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $