第5讲 相似三角形-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

第5讲 相似三角形 安徽真题 命题点相似三角形的判定与性质(10年9考) 4.(2024安徽)如图①，□ABCD的对角线AC 1.(2016安徽)如图，在△ABC中， 与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC AD是中线，BC=8, 上，且AM=CN,E,F分别是BD与AN,CM B D ∠B=∠DAC,则线段AC的长 第1题阁 的交点， 为 (1)求证：OE=OF: A.4 B.42C.6 D.43 (2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF 2.(2019安微)如图，在Rt△ABC中， B (I)如图②，若HE∥AB,求证：HF∥AD: ∠ACB=90°，AC=6,BC=12,点D (I)如图③，若口ABCD为菱形，且MD= 在边BC上，点E在线段AD上，EF D外 2AM,∠EHF=60,求S的值。 ⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点 G.若EF=EG,则CD的长为( 第2题园 A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 文 3.(2019安徽)如下图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且 ∠APB=∠BPC=135 (1)求证：△PABC∽△PBC: (2)求证：PA=2PC: (3)若点P到三角形的边AB,BC,AC的距离 分别为h1,h2,ha,求证：h娟=h2·h. 考点过关训练◆ 55 中考热身 基础练 7.如下图，在△ABC中，D为AC边上一点， ∠DBC=∠A. 1.(2024内江)已知△ABC与△DEF相似，且相 (1)求证：△BDC∽△ABC: 似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比 (2)若BC=4,AC=8,求CD的长. 是 A.1:1 B.1:3 C.1:6D.1:9 2.(2024合肥庐江校级月考)如图，下列条件不 能判定△ABC与△ADE相似的是 ( 能-铝 B.∠B=∠ADE C.∠C=∠AED D.AE·BC=AC·DE 一提升练 8.(2024无为模拟)如图，在□ABCD中，E,F分 第2题图 第3题图 别为AB,BC的中点，AF与DE相交于点G, 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3, 则怨的值是 D为AC边左侧一点.若△ABC∽△CAD,则 BC十CD的最大值为 A.3 A号 B. 3 C n 4.条件补充(2024滨州)如图，在△ABC中，点 D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件，使 △ADE∽△ACB,则这个条件可以是 第8题图 第9題图 9.(2024淮北月考)如图，在正方形ABCD中， M,N分别为AB,BC的中点，CM与DN相 交于点G,延长BG交CD于点E,CM交BD 于点H.下列结论错误的是 () 12 cm A.CM⊥DN B.BH=BM 第4题图 第5题国 5.如图所示的是两个形状相同的红绿灯图案， C.S△DNc=3S△wH D.GM+GN=2GB 则根据图中给出的部分数值，得到x的值是 10.(2024乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC,对角线AC和BD交于点O.若m= 6.(2024合肥庐阳区期未) 如图，在△ABC中，AC= ·则 S AB=4,∠C=30°，D为边 第6题圈 BC上一点，且CD=√3，E为AB上一点.若 ∠ADE=30°，则BE的长为 第10题图 第11题图 56 A%己0已5安徽 数学 11.如图，在△ABC中，AB=AC=10,D是边 (1)请你选择一名同学的思路，写出证明 BC上一动点（不与点B,C重合），∠ADE= 过程： ∠B=a,DE交AC于点E,且oa=号 【类比分析】老师发现两名同学都利用了转化 思想.为了帮助同学更好地利用转化思想解 (1)若BD=8,则CE的长度是 决问题，又提出了如下问题： (2)线段CE的取值范围是 如图④①，在△ABC中，AD是BC边上的中 12.【问题初探】数学课上，老师提出如下问题： 线，N,K是AC的三等分点，BN交AD于点 如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线， M,BK交AD于点P.求MP:PD的值. M是AD的中点，BM的延长线交AC于点 (2)请你写出解答过程. N.求证：CN=2AN. 图3 图④ 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解 题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC 交BM于点K,利用全等将AV与CN的数 量关系转化为DK与CN之间的关系： 乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线 交BM的延长线于点K,利用相似将AN与 CV的数量关系转化为AK与BC之间的关系. 素养专练 1.《九章算术》中记载了一种测量古井 2.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中 水面以上部分深度的方法，如图所 有记载：“今有竿不知其长，量得影长百寸，立 示，在井口P处立一根垂直于井口 一标杆，长二十寸，影长五寸，问竿长几何.”其 的木杆PA,从木杆顶端A处观察井 大意是现在有一根不知道长度的竹竿（把它竖 水水面C处，视线AC与井口的直 立在太阳下)，测量得它的影子长100寸，同时 第1题图 径PB交于点D.若测得PA=2m, 竖立一根长度为20寸的标杆，测量得它的影 PB=3.6m,PD=1m,则BC的长为( 子长5寸，问竹竿长多少.竹竿的长度是 A.3.6m B.4.2m C.5.2m D.7.8m A.25寸B.40寸C.200寸D.400寸 考点过关训练 57△BDE是等腰直角三角形， ∠OAE=∠OCF .BM=MD. 在△AOE与△COF中， OA=OC. BM=ME=之BD, ∠AOE=∠COE ∴.△AOE≌△COF(ASA),∴.OE=OF. ∴.BM=ME. 第5讲相似三角形 2(1)证明：HE/AB.盟-焉 安徽真题 0B-0.0E-0,8器-器 1.8 :∠HOF=∠AOD,∴△HOF△AOD, 2.B【解析】如图，过点D作HD⊥BC交AB于点H .∠OHF=∠OAD,.HF∥AD. 由题意，得EF∥BC, (‖)□ABCD为菱形，.AC⊥BD EFAE △AFED△ACD.C=AD OE=OF,∠EHF=60. HD⊥BC,EG⊥EF,.HD∥GE, ∴.∠EHO=∠FHO=30°，.OH=3OE. △ABG△ADH,號-5， AM∥BC.∴△AMH△CBH. 又'MD=2AM 腮嚅 六-说-言脚HC=AH, EF=GE...DC=HD. .0A+OH=3(OA-OH).OA-20H. 设HD=DC=x,则BD=12一x. BN∥AD,∴.△ADE∽△NBE 'DH∥CA,∴△BDHn△BCA. 又MD=2AM,AM=CN, 把-肥即吉-1合，期得=4 12 器-器-号即3BE=D, 故CD的长为4. ..3(OB-OE)=2(OB+OE). 3.证明：(1)∠ACB=90°，AC=BC, ..OB=50E, .∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC :∠APB=135. 品-器-器9 5 ∠PAB+∠PBA=45, 中考热身 .∠PAB=∠PBC. 1.B2.D 又'∠APB=∠BPC=135, .△PAB∽△PBC 30【解折I:△ABCn△CAD.“智-S是-S (2):△PAB△PBC. CD=号AC 路隈能 :∠ACB=90°，AC=AB-BC=9-BC, 在Rt△ABC中，AC=BC, CD=号9-BC)=3-C. ∴能-E,iPB=EPC,PA=EPB, 设BC=r,.BC+CD=x+3- 片2=-(x-) .PA-2PC. (3)如图，过点P分别作PD⊥BC,PE⊥AC,交BC,AC于点 D.E. '∠BPC+∠APB=135°+ “当x=受时，BC十CD取得最大值，最大值为只 135=270°， 4.∠ADE=∠C(答案不唯一)5.16 ∠APC=90 ∠EAP+∠ACP=90 6 【解析】如图，过点A作 '∠ACB=∠ACP+∠DCP AF⊥BC于点F,·∠AFC =90°， ∠AFB=90. .∠EAP=∠DCP. AC=AB,..CF=BF. 又，∠AEP=∠CDP=90°， .∠AFC=90°，AC=4,∠C=30°， .△AEP△CDP, 器-隐=2.即%=-26=2% AF=号AC=含×4=2 由勾股定理，得CF=√AC一AF下=√-2=2尽， '△PAB∽△PBC, 论-提-Ea=E. ∴.BF=23,.BC=43 :CD=5,∴BD=BC-CD=4W5√5=35. ∴.h=2=h:·2h:=h2·h1. :∠ADB是△ACD的一个外角， 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∠ADB=∠C+∠CAD. .AD∥BC,OA=OC,.AM∥CN. 又，∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠C=∠ADE=30°， AMECN. .∠CAD=∠BDE ,.四边形AMCN是平行四边形， AB=AC,∴∠C=∠B.∴△ACD∽△DBE, .AN∥CM, ∠OAE=∠OCF 24 己0已5安徽数学 7.解：(1)证明：∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB, ∠ADE=∠B=a,∴.cosB=cosa .△BDCn△ABC, (2)△BDC∽△ABC %-号BG=专×10=8， 紧畏 .BC=2BG=16. 设BD=x,则CD=16-x. D 即音-9cD=2 '∠ADC=∠B+∠BAD,即a+∠CDE=a+∠BAD. .∠CDE=∠BAD 8.A【解析】如图，延长 又∠B=∠C△ABD△DCE∴提-2即 10 DE,CB交于点H, :四边形ABCD是平行 四边形.AD∥BC.AD -CE' =BC, ∴∠ADE=∠H.又：AE=BE,∠AED=∠BEH, CE=-+号=-x-8)+64 .△ADE≌△BHE(AAS),.AD=BH. 当BD=8时，CE=6,4. :F是BC的中点BF=BC (2)CE=-0x-8)'+6.4, 当BD=8时，CE取得最大值，最大值为6.4： HF=BH+BF=号BC=是AD,AD∥HF. 当BD=16时，CE=0. 故线段CE的取值范围为0<CE≤6.4， d△ADGn△FHG心瓷-前D二子 12.解：(1)（答案不唯一）证明：选择甲同学的证明思路 过点D作DK∥AC交BN于点K,如 9.B【解析】：四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD, 图①. ∠ABC=∠BCD=90°. :DK∥AC,M是AD的中点， M,N分别为AB,BC的中点，AM=BM=BV=CN, .∠NAM=∠KDA,AM=DM .△CBM≌△DCN(SAS),∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN. 又∠AMN-∠DMK, :∠BCM+∠DCM=90,.∠CDN+∠DCM=90°， .△ANM≌△DKM, .∠DGC=90°，∴CM⊥DN,故A选项结论正确，但不符合 ..AM=DM.AN=DK. 题意： ,D是BC的中点，DK∥AC, AB/CD△BMHADCH.器8器=-肥 DK为△BNC的中位线，∴DK=2CN, M=2CD.BH=号DH=吉DB=号cD.CH=2MH. ∴AN=号CN,CN=2AN ∴BM≠BH,故B选项结论错误，符合题意： (2)连接DK,如图②. CH=2MH,MC=3MH,SAM =3SAWIM. ,V,K是AC的三等分点，.AN=VK :△CBM≌△DCV,·.Sne=3S△H,故C选项结论正 =KC. 确，但不符合题意： BD=DC. 如图，过点B作BP⊥CM于点P,BQ⊥A .DK为△CBN的中位线， DN交DN的延长线于点Q, ∴.∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，∴.四M :DK∥BN,DK=BN. 边形PBQG是矩形.，∠PBQ=90°， 设DK=2a,则BN=4a. ∠ABC=90°，.∠ABP+∠PBC DK∥BN,AN=NK,∴，MN为△ADK的中位线， ∠CBQ+∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ. ∴MN=之DK=a,∴BM=BN-MN=3a 又：BM=BN,∠BPM=∠BQN=90°， ,DK∥BN,.△BMPo△KDP, .△BPM≌△BQN(AAS),.BP=BQ, .矩形PBQG是正方形，.∠BGN=45°， 部-欲-之-号，即NPPD的值为是， BP=PG=QG.BG=/2PG. 素养专练 '△BPM≌△BQN,.MP=NQ. 1.C【解析】由题意可知∠B=∠APD=90. ..MG+GN=MP+PG+GN=QN+GN+PG=QG+PG 又：∠BDC=∠PDA△BDC△PDAB紧 =2PG=EBG,故D选项结论正确，但不符合题总. PB=3.6m,PD=1m,.BD=PB-PD=3.6-1= 10.。【解析】：AD∥BC,点B到AD的距离等于点D到 2.6m-竖c-52m BC的距离，s世=AD_1 2.D【解析】设竹竿的长度为x寸.，竹竿的影长=100寸，标杆 S△D BC3 :AD∥BC,∴.△AOD∽△COB,∴S 长=2勿寸，影长=5十“高0=碧解得x=40,放竹竿的 BC 长度是400寸. (合)= 微专题五相似三角形的基本模型 1.解：：∠AED=∠B,∠A=∠A, 11.(1)6,4(2)0CE≤6.4【解析】(1)作AG⊥BC于点G .△ADE∽△ACB, 如图. AB=AC,,∴.BG=CG 光浩 参考答案 25