微专题四 中点的五大模型-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

微专题三角平分线的四大模型 ∠ABD=∠A. 1.证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F ..AE=BE=2. ,D是BC的中点， AC=7, .BD=CD. ∴.CE=AC-AE=5=BC DE⊥AB,DF⊥AC,AD是∠BAC的平 os∠CBD-2- 分线， .DE-DF. 6,解：如图，延长CD,AB相交于点E AD是∠BAC的平分线， 在R△BDE与Rt△CDF中， .∠EAD=∠CAD DE=DF. ,CD⊥AD BD-CD. .∠ADC=∠ADE=90 ,Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), AD=AD. ∠B=∠C,AB=AC, ∴.△ADE≌△ADC(ASA). ∴.△ABC是等腰三角形 ..AE=AC.DE=DC. 2.解：AB=AC+2DE.证明如下： 如图，过点E作EF⊥AB交AB于点 ∠ABC=90°，BC=8,AB=6. F,EG⊥AC交AC的延长线于点G, .AC=/AB十BC=10. 连接BE,CE .AE=AC=10. :AE是∠BAC的平分线 ∴BE=AE-AB=4. EF=EG.又AE=AE Sag=号BC,BE=号×8X4=16, ,Rt△AEF≌Rt△AEG(HL), .AF=AG. mem. ED⊥BC,D是BC的中点，.EB=EC 7.解：(1)证明：如图①，在AE上截取AF=AC,连接PF .Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), :AD平分∠CAE, .BF-CG. .∠CAD=∠FAD :∠CDE=∠DCG=∠GE=90, :∠CAD+∠CAP=180',∠FAD+ .四边形CDEG是矩形， ∠FAP=180°， ..DE-CG. ,.∠CAP=∠FAP .AB=AF+BF=AC+CG+CG=AC+2DE. 在△PAC和△PAF中， 图①D 3.证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E, PA=PA. AC AB AE CD :∠CAD=∠ADE,E=BE·BE=BD ∠CAP=∠FAP. AC=AF. 指能 ∴.△PAC≌△PAF(SAS). AD平分∠CAB ∠2=∠1.PC=PF .∠CAD=∠DAB 点P在线段BC的垂直平分线上· ∴.∠DAB=∠ADE, .PC=PB. AE=DES能S-品 .PF=PB.∴∠1=∠3， .∠2=∠3. 4.证明：过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G,如图 :∠PGB=∠AGC EG∥AC. ,∠BPC=∠BAC .∠DEG=∠C,∠G=∠CAD. (2)QB+QC>AB十AC 在△DEG和△DCA中， 证明：如图②，在AE上截取一点M,使得 I∠GDE=∠ADC, AM=AC,连接QM ED-CD, :AD平分∠CAE,∠CAQ=∠MAQ, ∠DEG=∠C, 又AQ=AQ,AC=AM, .△DEG≌△DCA(ASA), ,.△CAQ≌△MAQ(SAS) ∴EG=AC=EF,.∠G=∠EFD, ..QC=QM. 图2 ,∴.∠EFD=∠CAD. 在△BMQ中，QB+QM>BM,而BM=AB+AM=AB :AD平分∠BAC. +AC, ∴∠BAD=∠CAD,,∠EFD=∠BAD,.EF∥AB. ,.QB十QC>AB+AC 5.解：如图，延长BD交AC于点E 微专题四中点的五大模型 CD平分∠ACB.BD⊥CD于点D, .∠DCE=∠DCB,∠CDE=∠CDB=90 1.证明：如图，取CF的中点G,连接DG,则FG=GC 又BD=DC,.DG∥BF 在△DCE和△DCB中， {∠CDE=∠CDB, .AE:ED=AF:FG. AE-ED...AF-FG. CD=CD. ∴.AC=3AF. ∠DCE=∠DCB. .△DCEa△DCB(ASA), 2.证明：如图，连接BD,取BD的中点 ∴.BD=ED=1,BC=EC H,连接EH,FH. 22 己025安徽数学 E,H分别是AD,BD的中点， ∴.∠DEC=∠HDE, ÷EH/AB,EH=AB, ∴DH=EH,EH=AC ,.∠BME=∠HEF 7.证明：过点A作AG⊥BC于点G,如图。 ,F,H分别是BC,BD的中点， AB=AC,AG⊥BC,·∠1=∠2. ∴FH/CD,FH=CD, AE=AF. .∠E=∠AFE ∴.∠CNE=∠HFE. ∠BAC=∠1+∠2=∠E+∠AFE, AB=CD. ∠1=∠E, ..EH=FH. .AG∥ED ∴∠HEF=∠HFE, .EF⊥BC ,∴.∠BME=∠CNE. 8.解：(1)证明：如图，连接CD, 3.解：(1)如图，连接A0 ,'AC=BC,∠BCA=90°，D为AB的 'AB,AC边的中垂线交于点O, 中点， ∴.AO=B0=CO,∴.∠OAB ∴∠A=∠B=45,CD⊥AB,∠DCA= ∠OBA,∠OCA=∠OAC .∠AOB+∠AOC=(180 ∠DCB=∠BCA=45,CD=2AB= ∠OAB-∠(OBA)+(180 BD,∴.∠DCE=∠B=45 ∠OAC-∠OCA)=(180° ,∠BDC=∠EDF=90°， 2∠OAB)+(180°-2∠0AC)=360°-2（∠OAB+∠OAC) ∴，∠EDF-∠CDF=∠BDC-∠CDF,即∠CDE=∠BDF, =360°-2∠BAC=360°-2a, ,.△CED≌△BFD(ASA), .∠B0C=360°-（∠A0B+∠AOC)=2a. .DE=DF. (2)∠ABO+∠ACB是定值. ∴△DEF为等腰直角三角形. .BO=CO, (2)在R:△ABC中，AC=BC=4, ∴.∠OBC=∠0CB. AB=42,.CD=BD=22. ∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC, SI边s(Ew=SamE十SACDE-SamF十S6aW-SaW ÷∠0BC=180-2∠BAC=90°-a 2BD.CD=×2Ex2E=4. :∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180, 9.解：猜想：CD=AD十BC理由如下： .∠AB0+∠ACB=180°-a-(90°-a)=90 如图，延长CE交DA的延长线于点G. 4.解：连接OA,OC,如图. :AD∥BC, :OE,OF分别是AC,BD的垂直平 .∠G=∠ECB 分线， E是AB的中点，AE=BE ..OA=OC.OB=OD. 又·∠GEA=∠CEB, 又AB=CD, .△AEG≌△BEC(AAS), .△ABO△CDO(SSS). ..AG=BC.EC=EG. .∠ABO=∠CDO ,DE⊥CG. 设∠OBD=∠ODB=x,∠ABO=∠CDO=B, .CD=GD. 则a十日=120°，8-a=38°，∴.2a=82, .GD=AD+AG=AD+BC. .a=41°，即∠OBD=41 .CD=AD十BC 5.证明：如图，连接BM,DM 10.证明：如图，延长BM交C下于点 AB⊥BC,AD⊥DC, D,连接BE,DE. .∠ABC=∠ADC=90 ,Rt△ABC,Rt△CEF均是等腰 :M是AC的中点， 三角形， 云BM=DM=AC ·∠ACB=∠BAC=∠ECF ■45°， :N是BD的中点， '∠BCE=45, .MN⊥BD ,∠ACD=45°+45°+45°=135°. 6.证明：连接DH,如图， ∴.∠BAC+∠ACF=45°+135=180°， DE∥AB, ∴.AB∥CF,∴.∠BAM=∠DFM. .∠B=∠DEC :M是AF的中点，.AM=FM ∠C=2∠B, ,∠AMB=∠FMD. ,∴.∠C=2∠DEC AH⊥BC于点H,D是AC的 ∴，△ABM≌△FDM(ASA), 中点， ..AB=FD.BM=DM...AB=BC=DF. ,∠BCE=∠DFE=45°，CE=FE. ∴DH=号AC=CD, '.△BCE≌△DFE(SAS), .∠C=∠DHC, .BE=DE,∠BEC=∠DEF, ∴.∠DHC=2∠DEC ∴·∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF :∠DHC=∠DEC+∠HDE, =90°， 参考答案 23 △BDE是等腰直角三角形， ∠OAE=∠OCF .BM=MD. 在△AOE与△COF中， OA=OC. BM=ME=之BD, ∠AOE=∠COE ∴.△AOE≌△COF(ASA),∴.OE=OF. ∴.BM=ME. 第5讲相似三角形 2(1)证明：HE/AB.盟-焉 安徽真题 0B-0.0E-0,8器-器 1.8 :∠HOF=∠AOD,∴△HOF△AOD, 2.B【解析】如图，过点D作HD⊥BC交AB于点H .∠OHF=∠OAD,.HF∥AD. 由题意，得EF∥BC, (‖)□ABCD为菱形，.AC⊥BD EFAE △AFED△ACD.C=AD OE=OF,∠EHF=60. HD⊥BC,EG⊥EF,.HD∥GE, ∴.∠EHO=∠FHO=30°，.OH=3OE. △ABG△ADH,號-5， AM∥BC.∴△AMH△CBH. 又'MD=2AM 腮嚅 六-说-言脚HC=AH, EF=GE...DC=HD. .0A+OH=3(OA-OH).OA-20H. 设HD=DC=x,则BD=12一x. BN∥AD,∴.△ADE∽△NBE 'DH∥CA,∴△BDHn△BCA. 又MD=2AM,AM=CN, 把-肥即吉-1合，期得=4 12 器-器-号即3BE=D, 故CD的长为4. ..3(OB-OE)=2(OB+OE). 3.证明：(1)∠ACB=90°，AC=BC, ..OB=50E, .∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC :∠APB=135. 品-器-器9 5 ∠PAB+∠PBA=45, 中考热身 .∠PAB=∠PBC. 1.B2.D 又'∠APB=∠BPC=135, .△PAB∽△PBC 30【解折I:△ABCn△CAD.“智-S是-S (2):△PAB△PBC. CD=号AC 路隈能 :∠ACB=90°，AC=AB-BC=9-BC, 在Rt△ABC中，AC=BC, CD=号9-BC)=3-C. ∴能-E,iPB=EPC,PA=EPB, 设BC=r,.BC+CD=x+3- 片2=-(x-) .PA-2PC. (3)如图，过点P分别作PD⊥BC,PE⊥AC,交BC,AC于点 D.E. '∠BPC+∠APB=135°+ “当x=受时，BC十CD取得最大值，最大值为只 135=270°， 4.∠ADE=∠C(答案不唯一)5.16 ∠APC=90 ∠EAP+∠ACP=90 6 【解析】如图，过点A作 '∠ACB=∠ACP+∠DCP AF⊥BC于点F,·∠AFC =90°， ∠AFB=90. .∠EAP=∠DCP. AC=AB,..CF=BF. 又，∠AEP=∠CDP=90°， .∠AFC=90°，AC=4,∠C=30°， .△AEP△CDP, 器-隐=2.即%=-26=2% AF=号AC=含×4=2 由勾股定理，得CF=√AC一AF下=√-2=2尽， '△PAB∽△PBC, 论-提-Ea=E. ∴.BF=23,.BC=43 :CD=5,∴BD=BC-CD=4W5√5=35. ∴.h=2=h:·2h:=h2·h1. :∠ADB是△ACD的一个外角， 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∠ADB=∠C+∠CAD. .AD∥BC,OA=OC,.AM∥CN. 又，∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠C=∠ADE=30°， AMECN. .∠CAD=∠BDE ,.四边形AMCN是平行四边形， AB=AC,∴∠C=∠B.∴△ACD∽△DBE, .AN∥CM, ∠OAE=∠OCF 24 己0已5安徽数学微专题四 中点的五大模型 模型 利用多个中点构造中位线 模型2 利用重直平分线构造等腰三角形 在三角形中,如果有中点,可构造三角 遇到垂直平分线,一般利用辅助线构 模型 形的中位线,利用三角形中位线定理 分析 造等腰三角形,再结合等腰三角形的 模型 可确定线段之间的位置关系和数量关 分析 性质求线段和角: 系,该模型可以解决角的问题,线段之 连接BE. 间的倍半、相等及平行问题, 取另一边的中点 基本 构造中位线 模型 3.如右图,已知锐角三角形 ABC中,AB,AC边的中 1.如右图,在△ABC中,D为BC 垂线交于点O,乙A=a 的中点,E为AD的中点,直线 (0<a90). BE交AC于点F.求证:AC (1)求/BOC的度数(用含。的代数式表示) -3AF. (2)/ABO十ACB是否为定值?若是,求出 定值;若不是,请说明理由 2.如右图,在四边形ABCD中, AB-CD,E,F分别是AD,BC 的中点,连接FE并延长,分别 与BA,CD的延长线交于点B M.N.求证. BME- CNE 52 己口己与安微 {数学 4.如右图,OE,OF分别是AC. 6. 如右图,在△ABC中,C BD的垂真平分线,垂足分别 2 B,AH 1 BC于点H,D是 为E,F.若AB=CD, ABD AC的中点,DE/AB.求证: -120**CDB=38^{**,求 OBD的度数 EH- 模型3 在直角三角形中.构造别边中结 模型 在等腰三角形中,构造三线合一 在直角三角形中,当遇见斜边中点时, 等腰三角形中有底边中点时,常作底 经常会作斜边上的中线,利用直角三 模甜 边的中线,利用等腰三角形“三线合 分析 角形斜边上的中线等于斜边的一半, 模型 一”的性质得到角相等,为解题创造更 分析 来证明线段之间的数量关系,而目可 多的条件. 以得到两个等腰三角形,该模型经常 会与中位线定理一起综合应用 连接中线。 错本 模 进 .D 构造直角三角形斜边 模型 上的中线 .D 7.如右图,在△ABC中,AB AC,E为BA延长线上一点,点 5.如右图,AB| BC,AD| DC,M. F在AC上,AE=AF,EF的延 N分别是AC,BD的中点,求 长线与BC交于点D.求证:EF 证:MN BD. 1BC 53 考点过关训练 8.如右图所示,在Rt△ABC中, 9.如右图,在四边形ABCD中; $AC=B$C=4. $$C=9 0*},D $ AD/BC,E是AB的中点,连 AB的中点,以D为顶点的直角 接CE,ED,且CE DE.试猜 EDF绕点D旋转,与边AC 想线段BC,CD,AD之间的数量关系,并说明 交于点E,与边BC交于点F 理由. (1)求证:△DEF为等腰直角三角形; (2)求四边形CEDF的面积 10.如右图,已知Rt△ABC. Rt△CEF均是等腰三角 形,且有公共顶点C, ABC= CEF-90* 连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME. 当 BCE-45*时,延长FE,CB交于点G,连 接AG.求证:BM-ME. 模型5 倍长中线、类中线构造全等三角形 当遇见中线或者中点的时候,可以尝试 模型 分析 倍长中线或类中线,构造全等三角形,目 的是对已知条件中的线段进行转移 倍长中线 构造全等 B 。 基本 图① 模型 倍长类中线 构造全 图② 54 己口己5安 数 学