微专题三 角平分线的四大模型-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

微专题目 角平分线的四大模型 模型 角平分线十垂线，构造全等三角形 模型2角平分线+平行线，构造等腰三角形 利用角平分线的性质（角平分线上的 有角平分线时，常过角平分线上一点作 点到角两边的距离相等)来构造模型， 模型角的一边的平行线，构造等腰三角形，为 模型 分析 分析桥 为证边相等、角相等、三角形全等创造 证明结论提供更多的条件，体现了角平 更多的条件，进而可以快速找到解题 分线与等腰三角形之间的密切关系. 的突破口. 基本 A 模型 基本 0 模型 3.如下图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC 1.如右图，在△ABC中，AD是∠BAC 于点D,求证能-品 的平分线，D是BC的中点.求证： △ABC是等腰三角形. D 2.如右图，在△ABC中，∠C 4.如右图，在△ABC中，AD平分 =90°，D为BC的中点，DE ∠BAC,点E,F分别在BD ⊥BC交∠BAC的平分线B AD上，且DE=CD,EF=AC.BE 于点E.试探究AB,AC, 求证：EF∥AB. DE的数量关系，并证明你的结论 50 A己·已5安徽 数学 模型3角平分线十垂线，构造等腰三角形 模型4角平分线十截取，构造全等三角形 构造此模型后可以利用等腰三角形的 利用角平分线图形的对称性，在角平 “三线合一”证明边相等、角相等，也可 分线的两边构造对称的全等三角形， 模型以得到两个全等的直角三角形，进而 模型 分析 可以得到对应边、对应角相等.利用对 分析 得到对应边、对应角相等.这个模型巧 称性把一些线段或角进行转移，这是 妙地把角平分线和等腰三角形的“三 种经常使用的解题技巧. 线合一”联系了起来。 其本 模型 基本 模型 BN 7.(1)如图①，△ABC的外角∠CAE的平分线AD 5.如右图，在△ABC中，CD 交BC的延长线于点D.线段BC的垂直平分线 平分∠ACB,BD⊥CD于 交DA的延长线于点P,连接PB,PC,PC交AB 点D,∠ABD=∠A.若 于点G.求证：∠BPC=∠BAC(提示：在BA的延 BD=1,AC=7,求 长线上截取AF=AC,连接PF): cos∠CBD的值. (2)如图②@，AD是∠BAC的邻补角∠CAE的 平分线，Q是射线AD上异于点A的任意一 点，连接QB,QC.试判断QB十QC与AB+ AC的大小关系，并予以证明， 2 6.如右图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BC=8,AB=6. AD是∠BAC的平分线，CD B ⊥AD.求△BDC的面积. 考点过关训练 ▲51微专题三角平分线的四大模型 :∠ABD=∠A 1.证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC于点F .AE=BE=2. :D是BC的中点， AC=7, ..BD=CD. .CE=AC-AE=5=BC. ,DE⊥AB,DF⊥AC,AD是∠BAC的平 imw∠CBD-0- 分线， 6.解：如图，延长CD,AB相交于点E ∴.DE=DF AD是∠BAC的平分线 在Rt△BDE与Rt△CDF中， .∠EAD=∠CAD. DE=DF. :CD⊥AD, BD-CD. ∠ADC=∠ADE=90 ,Rt△BDE2Rt△CDF(HL). AD=AD. .∠B=∠C,.AB=AC .△ADE≌△ADC(ASA), ·△ABC是等腰三角形 .AE=AC.DE=DC. 2.解：AB=AC+2DE.证明如下： 如图，过点E作EF⊥AB交AB于点 ∠ABC=90,BC=8.AB=6, F,EG⊥AC交AC的延长线于点G, ∴，AC=AB+BC=10, 连接BE,CE ∴.AE=AC=10. AE是∠BAC的平分线 ..BE=AE-AB=4. .EF=EG.又，AE=AE 六5w=号BC,BE=号×8X4=16, .Rt△AEF≌Rt△AEG(HL). ∴.AF=AG ∴5m-5am-8 ED⊥BC,D是BC的中点，.EB=EC, 7.解：(1)证明：如图①，在AE上截取AF=AC,连接PF .Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), AD平分∠CAE. .BF-CG. ·∠CAD=∠FAD :∠CDE=∠DCG=∠CGE=90', :∠CAD+∠CAP=180°，∠FAD+ ,四边形CDEG是矩形， ∠FAP=180°， .DE=CG. ∴.∠CAP=∠FAP .AB-AF+BF-AC+CG+CG-AC+2DE. 在△PAC和△PAF中， ① 3.证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E (PA=PA. :∠CAD=∠ADE·元-FB而 AC AB AE CD ∠CAP=∠FAP. AC=AF. 器 .△PAC≌△PAF(SAS), ,AD平分∠CAB, .∠2=∠1，PC=PF ∠CAD=∠DAB ,:点P在线段BC的垂直平分线上， ∴.∠DAB=∠ADE. PC=PB. AE=DE…S能福品 ∴.PF=PB..∠1=∠3 .∠2=∠3. 4.证明：过点E作AC的平行线交AD的延长线于点G,如图. :∠PGB=∠AGC· EG∥AC, ∴.∠BPC=∠BAC. ∴.∠DEG=∠C,∠G=∠CAD. (2)QB+QC>AB-+AC. 在△DEG和△DCA中， 证明：如图②，在AE上截取一点M,使得 I∠GDE=∠ADC, AM=AC,连接QM ED-CD. :AD平分∠CAE.·∠CAQ=∠MAQ. ∠DEG=∠C. 又AQ=AQ,AC=AM, ∴.△DEG≌△DCA(ASA), .△CAQ≌△MAQ(SAS) .EG=AC=EF,∠G=∠EFD, ∴.QC=QM. 图2 .∠EFD=∠CAD. 在△BMQ中，QB+QM>BM,面BM=AB+AM=AB ,AD平分∠BAC, +AC. .∠BAD=∠CAD..∠EFD=∠BAD..EF∥AB. .QB+QC>AB+AC. 5.解：如图，延长BD交AC于点E 微专题四中点的五大模型 CD平分∠ACB.BD⊥CD于点D, .∠DCE-∠DCB,∠CDE=-∠CDB=90°， 1.证明：如图，取CF的中点G,连接DGi,则FG=GC 在△DCE和△DCB中， 又，BD=DC,.DG∥BF .AE:ED=AF:FG. ∠CDE=∠CDB. AE=ED,∴AF=FG CD=CD. .AC=3AF. ∠DCE=∠DCB, .△DCE2△DCB(ASA) 2.证明：如图，连接BD,取BD的中点 ∴.BD=ED=1,BC=EC. H,连接EH,FH 22 、20已5安徽数学