第4讲 等腰三角形与直角三角形-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

∴.CE平分∠ACM 可分三种情况讨论： :∠ACB=60°， ①当BC=CD,时，如图， ∴，∠ACM=120°，∴.∠ACE=60°， .∠BD,C=∠D1BC=40 .∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=120°-∠EAN. ②当BC=BD时，如图， :∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE=120°-∠EDM, ∠BD,C=∠BCD,=号(180-∠D,BC) .∠AEC=∠ADB. AE=AD. =70°： 在△ACE和△ABD中， ∠AEC=∠ADB, ③当BD,=CD,时，如图. CE=BD. .∠D,CB=∠DBC=40° .△ACE≌△ABD(SAS),∴.AC=AB. ,.∠BDC=180°-∠D,CB-∠D,BC=100 :∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形 综上所述，∠BDC的度数为40或70°或100 第4讲等腰三角形与直角三角形 4.95.66 安徽真题 6.I00【解析】：AE=AC,BC=BD. 1.B【解析】如图，CP与AB相交于点D. .设∠AEC=∠ACE=x",∠BDC=∠BCD=y', 'S:=SawB+S△e,S,=Srmt十SAe· ∴∠A=180°-2x,∠B=180°-2y .S十S:十S=S1十(S△路+Se)十(Samn+Saue) ∠ACB+∠A+∠B=180°， =S十(SamB十SAm)十(SAx十Saue) ∠BDC+∠AEC+∠DCE=I80° =S+5am+5m=2S十S=28S,=号s ∴.∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°. 180°-(x"+y)=∠DCE, 设△ABC中AB边上的高为h:·△PAB中AB边上的高 ·∠ACB+360°-2(x°+y)=180°， 为h:, ,.∠ACB+2∠DCE=180°. 则S=受ABh=×仙，=3h,S=ABM=号 ,∠DCE=40°，.∠ACB=100 7.解：(1)∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD. 6h,=3h:,3h= -×3h1,.:= ∴.∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5 CD⊥AB,.∠ADC=90°， △ABC是等边三角形，∴=√6-（号）】 =33 .∠A=90°-67.5°=22.5° (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点， ,=9 ∴CE=2AB=AE=Io, ·点P在平行于AB,且到AB的距离等于3，的直线上. .∠ECA=∠A=22.5, 2 ∴.∠ECD=∠ACD-∠ECA=67.5°-22.5=45 设点P所在的直线为1，则当OP⊥l时，OP取得最小值. .CD⊥AB,∴.∠CED=45=∠ECD, 点O是等边三角形ABC的中心，.CO⊥AB,∴CO⊥1， .CD-DE. C,0.P三点共线，CP=有十=E 在Rt△CDE中，CD十DE=CE, 2 如图，过点O作OE⊥BC于点E. 2DE=(10)2,.DE=5. ,点O是等边三角形ABC的中心， 8.C【解析】：∠B=30°，∠E=45,∠ECB=a,∠ACB= ∠CDE=90°， ∠0cE=30,CE=号BC=3. .∠DCE=180°-∠CDE-∠E=45° ·O0=CE ,.∠CFB=180°-∠B-∠DCE-∠ECB=105-a. 60s30 =25, 9.D【解析】①，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， 0p=cp-0=9y5-2W=5y AB=4, ,∴.∠BCA=∠BAC=45,AB=BC=4. 故线段0P长的最小值是要 由勾股定理，得AC=√AB十BC=√十下=4反， 2.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于 点H AC=BC=2,∠ACB=90,CH⊥AB, AD=号E器-E…点-器 .AB=22,AH=BH=CH=√2 又：∠ECA=∠DAB=A5",∴.△CAE∽△ABD, ,CD=AB=2√2 ∴DH=√CD-Cp=√(22)-(W2)'=/6, 品-品-区，收结论①正确： ②△CAE∽△ABD,∠CAE=∠ABD .BD=DH-BH=√6-2 .∠BFE=∠BAF+∠ABD=∠BAF+∠CAE=∠BAC 中考热身 =45, 1.B2.A .∠DFE=180°一∠BFE=180°-45=135，故结论@ 3.D【解析】，·△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A=20°， 正确； ∠ABC=∠ACB=2180°-∠A)=80. ③以AB为斜边在△ABC外博构造等腰直角三角形OAB, :BP平分∠ABC,∠PBC=合∠ABC=40 以点O为圆心，OA为半径作⊙O,过点O作OK⊥AB于点 K,OK的延长线交⊙O于点H,连接AH,BH,如图所示， 20 己025安徽数学 EF=2,.GF=EG-EF=x+1-2=x-1. ∠GFB是△FBE的一个外角， ∠GFB=∠CBD+∠BEF=a十90°-2a=90°-a. :∠EBG=90°，∠CBD=a, .∠GBF=∠EBG-∠CBD=90-a. ∠A(OB=90 ∠GFB=∠GBF=90°-a, '.GB=G=x-1. .∠AHB=180°- ∠A0B=180-z×90=135 在Rt△BEG中，BE=x,GB=x-1,EG=x十1， 又：∠DFE-∠AFB=∠AHB=135, 由勾股定理，得BE十GB=EG, ∴点F在AB上运动. 即2十(x-1)°=(x十1)，整理，得x2-4x=0. AB=4,OK⊥AB,当点F与点H重合时，△ABF的面 解得1=4，：=0（不符合题意，舍去）， 积最大，最大值为△ABH的面积. ,BE=x=4. 根据等腰直角三角形的性质，得AK=BK=令AB=2, 13.解：(1)①60②AD=BE (2)△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠AOH=45°，.AK=OK=2. '.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DE=90°， 在Rt△AOK中，由勾股定理，得OA=√AK+OK= .∠ACD十∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°， √2+2=22，∴0A=0H=0B=22. .∠ACD=∠BCE. .KH=0H-OK=22-2 CA=CB. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, Sam=号AB,KH=号×4X(2E-2)=4E-4,放结 CD-CE. 论③正确： .△ACD≌△BCE(SAS), ④如图，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于点M,连接 ∴.BE=AD=AE-DE=8,∠ADC=∠BEC C交⊙O于点P. :△DCE为等腰直角三角形 :点F在AB上运动，当点F与点P重合时，CF的值为最 '∠CDE=∠CED=45. 小，最小值为线段CP的长. :点A,D,E在同一直线上， OM⊥CB,OK⊥AB,∠ABM=∠ABC=90,∴.四边形 .∠ADC=180°-∠CDE=135°， OMBK为矩形，∴.OM=BK=2,BM=OK=2, .∠BEC=∠ADC=135°， ,∴.CM=BC+BM=4十2=6. .∠AEB=∠BEC-∠CED=90°， 在R1△COM中，由勾股定理，得CO=√/CM+OM 在Rt△AEB中，由勾骰定理，得AB=√AE+BE丽 √6+2=2/，.CP=C0-Op=2/0-2E, =17. 即CF的最小值是2√/而-2，√厄，故结论①正确. (3)∠AOE的度数是60或120 综上所述，正确的结论是①②③④： 【解析】(1)△ACB和△DCE均为等边三角形， 10.30 ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=6O°， 11.16【解析】.'∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=2∠B. .∠ACD十∠DCB=∠BCE+∠DCB=60°， ∠B=∠BAD,.BD=AD=10. ∴.∠ACD=∠BCE. .∠C=90°，AC=8, 在△ACD和△BCE中， ∴.CD=√AD-AC=√10-8=6， (CA=CB. ∠ACD=∠BCE, .BC=BD+CD=10+6=16. CD-CE. 12.(1)90°-2e(2)4【解析】(1)：∠CBD=a,∴∠C= 2∠CBD=2a.设∠CAE=A,∴∠BEF=2∠CAE=2A .△ACD≌△BCE(SAS), :∠BAC=90°，∴.∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°-R ∴.∠ADC=∠BEC,AD=BE ,∠BEA为△ACE的一个外角，.∠BEA=∠C十∠CAE 又：∠ADC-∠DCE+∠DEC=120°， .∠BEC=∠DEC+∠AEB=120°， =2a+十a AB=BE,·∠BAE=∠BEA ∠AEB=60 ∴.90°-月=2a十3，.23=90°-2a..∠BEF=23=90-2a. (3)如图①，由(1)知△ACD≌△BCE, (2)过点B作BG⊥BC交EF的延长线G .∠CAD=∠CBE. 于点G,如图. ∠CAB=∠CBA=60°， :∠EBG=90'.∴∠G+∠BEF=90° .∠OAB+∠OBA=120°. 由(1)可知，当∠CBD=a时，∠C=2a .∠AOE=180°-120°=60°： ∠BEF=90°-2a, 如图②，同理求得∠AOB=60°， ,∴.∠G=90°-∠BEF=90°-(90°-2a)=2a=∠C. ∴.∠A0E=120 设BE=x,则AB=BE=x, 综上所述，∠AOE的度数是60或120 ,CE=1,∴BC=BE十CE=x十1. ∠G=∠C. 在△BEG和△ABC中，∠EBG=∠BAC=90', BE=AB, ∴.△BEG≌△ABC(AAS),∴.EG=BC=x十1. 参考答案 21第4讲 等腰三角形与直角三角形 安徽真题 命题点1 等腰三角形的性质(10年1考) 命题点2 直角三角形的性质(10年4考) 1.(2022安徽)已知点0是边长为6的等边三角 2.(2024安征)如图,在Rt△ABC 形ABC的中心:点P在ABC外。ABC 中,AC-BC-2,点D在AB的 PAB,△PBC,△PCA的面积分别记为S。 延长线上,且CD=AB,则BD 第2题图 S..S.S.若S+S+S=2S,则线段OP 的长是 ) 长的最小值是 ( A.10-/② B6一/2 ## #3# 7## C.2/2-2 C.3③ D.2/2-/6 中考热身 基础练 4.等边三角形的一边长为3,则它的周长为 1.(2024泰安)如图:直线//n,等边三角形 5.(2024缓化)如图,AB/CD.C=33*.OC ABC的两个顶点B,C分别落在直线/.m上. OE,则A的度数为 若 ABE-21^{*},则 ACD的度数是( ) ### A.45* B.39* C.29* D.21{ 第5题图 第6题图 第2题图 第1题图 6.(2024内江)如图,在△ABC中,DCE= 2.(2024青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC 4$0*}.,AE-AC,BC-BD.则 ACB的度数为 的中点,BDC=60*},AC-6,则BC的长是 C ) 7.如右图,在Rt△ABC中, C.③ D.3/③ A.3 B.6 ACB-90*CD AB于 3.“如图,△ABC是等腰三角形,AB 点D,ACD=3 BCD. AC. A=20{*},BP平分 /ABC.D E是斜边AB的中点 是射线BP上一点,如果点D满足 (1)求A的度数; 八BCD是等腰三角形,求 BDC的 (2)若AB-210,求DE的长度. 度数。”对于其答案,甲答 BDC一 第3题图 4$0*.乙答 BDC=70{},丙答 BDC=100{*},则下$ ( 列判断正确的是 ) A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙合在一起才完整 D.三人合在一起答案才完整 48 己口己5安 数 学 提升练 (1设 CBD=g,则 /BEF= (用含。的式子表示); 8.(2024六安霍山三模)如图,△ABC与△CDE (2)若 EF=2,CE=1,则 BE 的长为 均为直角三角形,AB交CD于点F,ACB CDE-90^{*$,$B-30$*$,$$E-45^*$,$ECB 13.【问题发现】(1)如图①,△ACB和△DCE均 a,则CFB 。 ) 为等边三角形,当\DCE旋转至点A,D,E A.a十90* B.a+45* 在同一直线上,连接BE.填空: C.105*-a D.180{-a ①AEB的度数为 # ②线段AD,BE之间的数量关系是 【拓展研究】(2)如图②,△ACB和△DCE均 第9题图 第8题图 为等腰三角形,且ACB=DCE=90^{*,点 9.(2024达州)如图:△ABC是等腰直 A.D.E在同一直线上,若AE=15,DE=7, 角三角形, ABC=90{*,AB=4.点 求AB的长度; D.E分别在AC,BC边上运动,连接AE,BD 【探究发现】(3)图①中的△ACB和△DCE. 在△DCE旋转过程中,当点A,D,E不在同 一直线上时,设直线AD与BE相交于点O 试在备用图中探索AOE的度数,直接写出 结果,不必说明理由: 积的最大值是4/2-4;④CF的最小值是 #77#4#### 2/10-2/2.其中正确的是 ( ) A.①③ B.①②④ 图① 图② D.①②③④ C.②③④ 备用图①备用图② 10.如图,ACB=90*$CD]AB.若 1=30* 则 B的度数为 第10题图 第11题图 11.如图,在△ABC中,C=90{*},AC=8,点D 在BC上, ADC=2 B,AD=10,则BC的 长为 12.(2024马鞍山校级一模) 如图,在△ABC中,BAC -90*,D是AC边上一点: C=2/CBD,E,F分别是 第12题图 BC.BD上的点,且/BEF=2/CAE,AB=BE 49 考点过关训练