微专题二 全等三角形的基本模型-【学海风暴·PK中考】2025安徽中考数学备考精练本

GA=GB. 8. DE一EF(答案不唯一) 【解析】:CF//AB 在△AGD和△BGC中, AGD= BGC. . A= ECF,ADE=CFE. GD=GC. 2.添加条件DE=EF,可以使得△ADE△CFE(AAS). '.△AGD2△BGC(SAS). .AE-CE. .AD-BC. 9.(1)v20 (2)3② 中考热身 【解析】(1)·高AD,BE相交于点0. 1.C . AEB-90. 2.C 【解析】如图,连接AD. $AB=AE+BE=②+5=29 . BAC-90*,AB-AC-6.D为边 (2)如图,过点D作DN1DE交BE于 BC的中点. 点N. '$AD=BD=CD, BAD= $C=$$$$ 由题意,得 BDO= ADC=AEB 1×6×6-18. 45°,S.Anc=- -90. . DAC十AOE= DBO+ BOD [AD-CD. -90* 在△ADE和△CDF中, EAD-C. AE-CF. .DAC- DBO,即 EAD= NBD ·DN1DE.NDE-90*-ADB, .△ADE△CDF(SAS)..Sr-Sr: . BDN+ NDO= ADE+ NDO. 1S.An-9. '.四边形AEDF的面积-Sc= .BDN= ADE. 3.5 在△BDN和△ADE中. 4.(1.4) 【解析】·点D在第一象限 [NBD-乙EAD. BD-AD. (不与点C重合),且△ABD与△ABC 全等: BDN-乙ADE. '.△BAD△ABC. ..△BDN△ADE(ASA). *.AD-BC,BD-AC ..DN-DE,BN-AE-2. 如图,由图可知D(1,4). '.NE-BE-BN-5-2-3. 5.解:(答案不唯一)(1)AC-AE " NDE=90',DN=DE.' DEN= DNE-45 .$ (2)证明:' ADB- B.$AB-AD $.DE-NE-3 .BAD=乙CAE. ' BAD+/DAC=/CAE+DAC. 10.解:(1)SAS CE AB+BD-AC 即 BAC= DAE. (2)解答过程:,AD是△ABC的角平分线 又:AC-AE..△ABC△ADE(SAS). .EAD-CAD. 6.D【解析】:点B距离地面的高度为1.5m,点C距离地面 .BE-BD. 的高度是1.6m.OA与地面垂直,BD1AO.CE1AO. .E- BDE ·.点D距离地面的高度为1.5m,点E距离地面的高度是 'ABC= E+ BDE. 1.6m. .ABC-2E. '.DE-1.6-1.5-0.1(m). 又:ABC-2C. BDO- BOC-90*. .E=C. '. OBD+ BOE-BOE+COD=90{。 在△AED和△ACD中. ./OBD-/COD (E-C. 又由题意可知,OB-OC. EAD-/CAD. .△COE△OBD(AAS). AD-AD. 'OF-BD-1.7m.CF-OD .△AEDS△ACD(AAS). '$CE=OD=OE+DE-1.7+0.1=1.8(m). ..AE-AC. '.点C到OA的距离CE为1.8m. ·AE-AB+BE,BE-BD. 7.D 【解析】:AB=AC. .AB+BD-AC 微专题二 ./B-/C 全等三角形的基本模型 在△ABE和△ACD中. 1.解:(1)证明:'AB//DE.*乙A= EDF. [AB-AC. ·'AD=CF..'AD+DC=CF+DC.即AC-DE B-C. 在△ABC和△DEF中. BE-CD, [B-乙E. .△ABE△ACD(SAS). A-乙EDF .AD-AE. AC-DF. $AB=AB$ B- B.AD-AE. BAD BAE$ '△ABC△DEF(AAS). '.八ABD和入ABE是一对“伪全等三角形” (2).△ABC△DEF. 同理可得△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”, .乙ACB= F-70*。 △ACE和△ACD是一对“伪全等三角形”, .乙A-50” △ACE和△ABE是一对“伪全等三角形”, . B-180*- A- ACB-60”。 ..“伪全等三角形”共有4对. 2.解:△ABF△CDF.理由如下: 18 2口己5徽 数 学 .ABC△DCE...AB=DC.ABC= DCE 7.证明;·'△ABC为等边三角形: .AB/CD. '.B- C-60. . A= DCF,ABF=CDF. . BDE+ BED-180*-B-120 [乙A-DCF. ../EDF-60*, 在△ABF和△CDF中,AB-CD. . BDE+ CDF-180*- EDF=120* 乙ABF-/CDF. .BED=CDF. .△ABF△CDF(ASA). 在△BDE和△CFD中 3.证明::AC BC.AD BD B=C. “ACB= ADB-90* BED-CDF. 在Rt△ABC和Rt△ABD中. DE-FD. [AC-AD. '.△BDE△CFD(AAS). AB-AB, 8.证明:'.G,E分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点, '.R△ABCRI△ABD(HL). ..AG一EC,△BEG为等腰直角三角形, .CAB-DAB. ' AGE-180*-45*-135° 在△ACE和△ADE中. .CF为正方形外角的平分线. (AC-AD. . ECF-90+45*-135*。 CAE-/DAE. .AEF-90”.$GAE-90*- AEB= CEF AE-AE. [AGE-乙ECF, .△ACE△ADE(SAS)...CEA-DEA. 在△AGE和△ECF中,AG=EC, 4.证明:(1)在△AOB和△COD中. GAE- CEF. {A-乙C. '△AGFSC△FCF(ASA).'FG-FC OA-OC. 9.解:(1)证明:.AD一BC. AOB-/COD '.AD-CD-BC-CD...AC-BD. ..AOBCOD(A$A)..'OB=OD [AC-BD. &.点O在线段BD的垂直平分线上。 在△ACE和△BDF中,AE-BF, .BE-DE. ICE-DF, '点E在线段BD的垂直平分线上, '.△ACE△BDF(SSS). .OE垂直平分BD. (2)由(1).得△ACE△BDF [OE-OE. . ACE- BDF. (2)在△OBE和△ODE中,BE-DE, .CDF-55”. OB-0D. . ACE= BDF-180*-CDF-125 ..△OBE△ODE(SSS).BEO=DEO. 10.解:(1)△ABC是等腰三角形,证明如下: .EO平分AEC. -DAE+ DCE-180”。 5.证明:.四边形ABCD是矩形. '. ADC+ AEC-360*-180*-180” '. EAF- DAB-90*。 .ADC+ ADB-180AEC- ADB '.E+EFA-90”. 在△ACE和△ABD中. .EC1BD.. DGF-90{. [AE-AD. . ADB+ DFG-90" 乙AEC-乙ADB. 又: EFA- DFG.E- ADB CE-BD. [乙E-乙ADB .△ACE△ABD(SAS). 在△EAF和△DAB中.AE-AD. .AC-AB. EAF一/DAB .△ABC是等腰三角形. '△EAF△DAB(ASA)...AF-AB (2)△ABC是等边三角形.证明如下: .在矩形ABCD中,AB-DC. 如图,设AC与DE的交点为O,过点E分别作EM1BC. .AF-DC. 交BC的延长线于点M,EN 1AC于 6.解:(1)证明:'DB BC.CF1AE. 点N. *. DCB+ D= DCB+ AEC-90*, 则乙EMD- ENA-90”。 .D=乙AEC. .AE-AD. ADE-60”. 在△DBC和△ECA中. .△ADE是等边三角形, D- AFC. . AFD-60*,DE-AE. DBC- ECA-90*. . AED= ACB-60*。 BC-CA. :AOD= AED+ EAN= ACB+ EDM. '.△DBC△ECA(AAS)..'.CD=AE .EAN- EDM. (2)'△DBC△ECA. 在△EMD和△ENA中. .BD-CE. EMD-乙ENA. .AE是BC边上的中线 EDM- EAN. .BD-EC-BC-AC. DE-AE. '.△EMD△ENA(AAS)...EM-EN. ·AC-12cm..BD-6cm ..FM I BC.FN1AC. 参考答案 19 .CE平分ACM 可分三种情况讨论: ./ACB-60{. ①当BC-CD.时,如图, '.ACM-120'ACF-6 0. ' BD C= D BC-40;$ *.AFC-180*-ACE-CAE-120-EAN ②当BC-BD。时,如图, 'ADB=180-ADE- CDE=120*-EDM .BDC-BCD.= #(180°- D.BC) .AEC=ADB. [AE-AD. -70*; AEC-乙ADB. 在△ACE和△ABD中, ③当BD.一CD.时,如图 CF-BD. . DCB= DBC-40*. $.△ACE△ABD(SAS)...AC-AB. '. BDC-180*- DCB- DBC=100 '乙ACB-60”,.'.△ABC是等边三角形. 综上所述,{BDC的度数为40{或70{或100{。 第4讲 等腰三角形与直角三角形 4.95.66” 6.100) 安徽真题 【解析】:AE-AC,BC-BD. 1.B【解析】如图,CP与AB相交于点D '设 AEC= ACE=', BDC= BCD=y:$ S=Son+S,S-S+S. ' A-180*-2x”,B-180”-2y”。 .S+s+S=S+(Son+Sn)+(Sn.+S) “ACB+ A+B-180{, -S+(Sroa+S△nt)+(Sn+S△) BDC+ AEC+DCE-180*. .ACB+(180*-2r)+(180*-2y)=180”. -S +S+S-2s+S=2SS 180 -(r*+y)- DCE. 设△ABC中AB边上的高为h,△PAB中AB边上的高 'ACB+360{-2(x+)=180$ 为, '. ACB+2 DCE-180{。 则$AB·-$6h=3,S-AB·-x . DCE-40'ACB-100. 7.解:(1)*' ACB=90*.ACD=3 BCD 6h:-3h 3an,-3a-h-%. '. BCD=22.5”.ACD-67.5 .CDAB..ADC-90*. :△ABC是等边三角形,.-h-61-()-3、3. '. A-90-67.5”-22.5*。 (2)在Rt△ABC中.ACB-90*,E是斜边AB的中点 $.CE-1AB-AF-10. .点P在平行于AB,且到AB的距离等于33的直线上. '.ECA-A-22.5. $. ECD= ACD-ECA-67.5*-22.5*=45. 设点P所在的直线为/,则当OP1/时,OP取得最小值. :CD AB,.. CED-45*=ECD. 点O是等边三角形ABC的中心...CO1AB...CO1/. .CD-DE. .C.O.P三点共线:.CP=h+h-93 在Rt△CDE中,CD+DE=CE 如图,过点O作OE1BC于点E. '2DE=(10)..DE-5. .点O是等边三角形ABC的中心, 8.C 【解】: B=30 E=45, ECB= ACB=$$$ .ZOCE=30”.CE-BC-3. CDE-90*. .. /DCE=180*-/CDE-/E-45*. .-. . CFB-180*-B- DCE- ECB-105*- 9.D 【解析】①,△ABC是等腰直角三角形,乙ABC-90{, .oP-cp-0c-3-2/3-53. AB-4. '. BCA- BAC-45*,AB-BC-4. 故线段OP长的最小值是53 由勾股定理,得AC- AB+BC=4+4-4V 2.B 【解析】如图,过点C作CHIAB于 点H. 'AC=BC-2. ACB=90*,CH1AB. #AD-_CE_VAC. .AB-2②,AH-BH-CH-2. 又ECA-DAB-45”...△CAE△ABD. .CD=AB-2/2. AC一V2,故结论①正确: $.DH=CD-CH=(22)-) = *.BD-DH-BH- 6-/2 ②.△CAEo△ABD../CAE-/ABD. 中考热身 '. BFE= BAF十 ABD= BAF+ CAE= BAC$$$ 1.B2.A -45, 3.D 【解析】:△ABC是等腰三角形,AB-AC,乙A-20。 $. DFE-180{*- BFE=180{*-$45^{-135{*,故结论$②$ 正确; $. ABC- ACB-(180*-A)-80” ③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰直角三角形OAB, .BP平分乙ABC.\. PBC-ABC=40”。 以点O为圆心,OA为半径作O,过点O作OK1AB于点 K,OK的延长线交O于点H,连接AH,BH,如图所示. 20 己口己5 数 学微专题二 全等三角形的基本模型 模型 平移模型 模型 2 轴对称模型 平移模型的特征是有一组边共线,另 模型 轴对称模型的特点是公共边相等或公 析 两组边分别平行,常要在移动方向上 横型 共角相等或对项角相等。 分析 加(减)公共线段,构造线段相等,或利 基本 用平行线性质找到对应角相等, 模型 基本 种型 3.如右图所示,E为AB延长 线上的一点,AC BC,AD 1.如右图:点A.D.C,F在同 1BD,AC=AD.求证: 一直线上,AB/DE,B= CEA-/DEA D /E,AD=CF (1)求证:△ABC△DEF; (2)若 A=50*},F-70{,求 B的度数 4.如右图,AD与BC相交于点O; 连接AB,CD并延长,相交于点 E,连接OE,BD,OA=OC.A 2.已知△ABC△DCE,且B.C. 一/C,BE=DE.求证: E三点在同一条直线上; (1OE垂直平分BD △ABC与△DCE在真线BE (2)EO平分AEC. 的同一侧,AC与BD交于点F.请写出上图中 其他全等的三角形,并说明理由. 45 考点过关训练 模型3 十字模型 (2)若AC三12cm;求BD的长。 在矩形、正方形等图形中,若有两条互 模型 相垂直的线段,通常需要通过余角的 析进 性质证明三角形全等,我们把这种模 型称为十字模型. 基本 模型 5.如右图,已知四边形ABCD是 模型 矩形,点E在BA的延长线 一线三等角模型 上,AE=AD,EC与BD相交 于点G,与AD相交于点F.已知EC BD,求 一线三等角模型是指在一条直线上有 模型 分析 证:AF-DC. 三个相等的角,利用这三个相等的角 可以构造全等三角形. 基本 90的情况 模型 7.如右图,△ABC为等边三角 形,D为BC边上一点,先将 三角板60{}角的顶点与点D 6.如右图,在△ABC中,ACB 重合,平放三角板,再绕点D转动三角板,三 90*.AC=BC.AE是BC边上的 角板60{}角的两边分别与边AB,AC交于点 中线,过点C作CF AE,垂足 E,F.当DE=DF时,求证:△BDE △CFD 为F,过点B作BD BC交CF 的延长线干点D (1)求证:CD一AE; 46 2口己5安 数学 8.如右图,E为正方形ABCD 10.D为△ABC的边BC上一点,连接AD,点E 的边BC的中点,点F在正方 在△ABC外,连接AE,DE,CE,AE=AD. 形的外角平分线上,且 CE-BD. /AEF一90{},G为正方形的边AB的中点,连 接GE.求证:EG-FC ① 图② (1)如图①,若 /DAE+ DCE=180*},请你 判定△ABC的形状并证明; (2)如图②,若 ADE=ACB=60{*,请你 判定△ABC的形状并证明 , 模型 旋转模型 旋转模型的特点是公共边相等或对顶 模型 角相等或在旋转方向有一个公共角, 分析 若有公共角,常要加(减)这个公共角; 得到对应角相等 基本 模型 9.如右图;点A,C,D,B在同一 条直线上:点E,F分别在直线 AB的两侧,AE=BF,CE= DF,AD-BC. (1)求证:ACE2BDF (2)若 CDF三55*,求 ACE的度数 考点过关训练 47