精品解析：2024年山东省烟台市蓬莱区九年级中考二模数学试题

2024年初四数学二模试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. 0.618 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A a+c＞0 B. |a|＜|b| C. bc＞1 D. ac＞0 6. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩 44 45 46 47 48 49 50 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 8. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 10. 抛物线部分图象如图所示，其对称轴，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③，其中；④一元二次方程必有一个根，且．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 2024年山东省普通高考报名考生共977560人，977560用科学记数法表示为______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ 13. 在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为_____． 14. 如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线，点P，G分别为射线，线段上的动点，若，，则的最小值为______． 15. 如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝6cm，以AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以CB长为半径画弧，交CD于点H，两弧交于点B，则图中形成的阴影部分的面积是______． 16. 如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次共调查　　名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是　　； （2）补全条形统计图； （3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？ （4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 20. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，A、B间的距离为5.2米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段坡度，求平台的长度． 21. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合） （1）求证：； （2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 23. 如图，在中，，D是中点． （1）尺规作图：以为直径作，交于点E（保留作图痕迹，不需写作法）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求O到的距离． 24. 已知和都是等腰三角形，，，，且，连接，且，直线交直线于点F． （1）如图1，猜想与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，依次取、的中点M、N，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，连接，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初四数学二模试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡上交． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. C. 0.618 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，先求立方根，再根据无限不循环小数是无理数进行求解即可． 【详解】∵， ∴，，0.618，中，无理数是， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．根据轴对称及中心对称的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：A． 3. 如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看，能看到的图形即可，即俯视图． 【详解】该立体图形的俯视图为： 故：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，正确确定三视图是本题的关键． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键． 5. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A. a+c＞0 B. |a|＜|b| C. bc＞1 D. ac＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可以发现a＜0＜b＜c，而|a|＞|c|＞|b|，可以逐一判断每个选项即可得出正确答案． 【详解】由数轴可以发现a＜0＜b＜c，而|a|＞|c|＞|b|， ∴a+c＜0，|a|＞|b|，ac＜0 又由数轴可发现1＜b＜2，2＜c＜3 ∴bc＞1正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是实数与数轴的相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键． 6. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及三角形的内角和．掌握边形的内角和为是解题的关键．根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ． 同理可得， ． 故选B． 7. 九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于成绩的 统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 成绩 44 45 46 47 48 49 50 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量选择，根据众数和中位数的定义求解可得，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 【详解】解：这组数据中成绩为44、45的人数和为， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第15、16个数据都是49， 则中位数为49， 故选：C． 8. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9. 公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案 【详解】解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3， ∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图像经过B，C两点， ∴， 则 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：C 10. 抛物线的部分图象如图所示，其对称轴，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③，其中；④一元二次方程必有一个根，且．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴一元二次方程必有一个根，且，故④错误； ∴当时，，即， ∴，即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，抛物线有最小值为， ∴， ∴，故③正确； 综上，①③正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 2024年山东省普通高考报名考生共977560人，977560用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ 【答案】且 【解析】 【分析】由已知条件可知，该方程有两个不相等的实数根，所以，从而可以列出关于的不等式，求解即可，同时还要考虑二次项系数不能为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得，， 又∵二次项系数， ∴， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程二次项系数不为0、一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练运用判别式是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为_____． 【答案】(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n) 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n）， 故答案为：(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n)． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 14. 如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线，点P，G分别为射线，线段上的动点，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点C作于H，作点G关于的对称点，连接，根据对称的性质等可得的最小值为线段的长度，通过勾股定理和解直角三角形求出长度即可求解． 【详解】过点C作于H，作点G关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝6cm，以AB长为半径画弧，交AD的延长线于点E，以CB长为半径画弧，交CD于点H，两弧交于点B，则图中形成的阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论． 【详解】∵在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，∠A=∠C=90°， ∴CD=AB=10cm，AD=BC=6cm， ∴图中阴影部分的面积= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 16. 如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数，结合图形和图象得到线段长度，利用数形结合思想是解决本题的关键． 根据图象可知点P在上运动时，不断增大，当点P到达C时，y有最大值，从C向A运动时，先变小后变大，当时，y的值最小，即中，边上的高为4（此时），根据勾股定理求出这时，再由直角三角形三角函数求出答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B运动到C时，y最大值5，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时y最小，即，， 如图：当时， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值及特殊角的锐角三角函数，掌握分式的运算法则并熟记特殊角的锐角三角函数值是解题关键．先根据分式的混合运算法则化简得出最简结果，然后根据特殊角的锐角三角函数值求出的值，将的值代入求值即可． 【详解】解： ． ∵ ∴原式． 18. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次共调查　　名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是　　； （2）补全条形统计图； （3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？ （4）通过此次调查，数学课外实践小组学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）60、90°；（2）补全条形图见解析；（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有320名；（4）甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【解析】 【详解】【分析】（1）用A的人数以及所占的百分比就可以求出调查的总人数，用C的人数除以调查的总人数后再乘以360度即可得； （2）根据D的百分比求出D的人数，继而求出B的人数，即可补全条形统计图； （3）用“非常了解”所占的比例乘以800即可求得； （4）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况用，利用概率公式进行求解即可得. 【详解】（1）本次调查的学生总人数为24÷40%=60人， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×=90°， 故答案为60、90°； （2）D类型人数为60×5%=3，则B类型人数为60﹣（24+15+3）=18， 补全条形图如下： （3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800×40%=320名； （4）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率、用样本估计总体等，读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的有关联的信息进行解题是关键. 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）点旋转到点所经过的路径长为 【解析】 【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可； （2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据旋转可得点旋转到点为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示△A1B1C1即为所求， ； 【小问2详解】 如图所示△A2B2C1即为所求，； 【小问3详解】 ∵ ∴点旋转到点所经过的路径长为． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键． 20. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，A、B间的距离为5.2米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【答案】（1）会碰到头部，理由没见解析； （2）平台EF的长度为7米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． （1）先连接，过点B作，交于点G，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【小问1详解】 解：会碰到头部 连接，过点B作，交于点G， ，， ， ， 会碰到头部； 【小问2详解】 解：， ， 过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）． 答：平台的长度为7米． 21. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合） （1）求证：； （2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可． 【小问1详解】 证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 连接、，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 如图，在中，，D是中点． （1）尺规作图：以为直径作，交于点E（保留作图痕迹，不需写作法）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求O到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）O到的距离为． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作即可； （2）欲证明是切线，只要证明即可； （3）证明是的中位线，再证明，求出可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示． ； 【小问2详解】 证明：连接、， ∵为直径， ∴， ∵D为边中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：作于F， 由垂径定理得F是弦的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∴O到的距离为． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 24. 已知和都是等腰三角形，，，，且，连接，且，直线交直线于点F． （1）如图1，猜想与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，依次取、的中点M、N，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，进而求解即可； （2）根据直角三角形斜边中线与中位线定理，转化为，然后利用三角比即可求解； （3）当F、M、N三点共线时，最长，分别求出即可． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵M是的中点， ∴， ∵的中点分别是M、N， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 当F、M、N三点共线时，最长， 此时，． 【点睛】本题考查了图形的旋转，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点 ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时， ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； 【小问3详解】 解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$