精品解析：福建省南安市2024-2025学年初中毕业班教学质量监测初三年数学试题　

南安市2024-2025学年度初中毕业班教学质量监测 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在 ，0，2，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 南安市位于福建省东南沿海，与台湾隔海相望，是全国著名侨乡和台胞主要祖籍地之一、据统计南安籍海外乡亲及港澳台同胞总数达400万人．数据400万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么 间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. “来南安，会成功”是南安市依托深厚历史文化和多元旅游资源打造的城市品牌．某校计划组织九年级学生开展研学活动，陈老师随机抽取部分学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）． 根据统计图提供的信息，下列判断错误的是（　　） A. 这次调查的样本容量是60 B. 被调查的学生中，想去蔡氏古民居的人数最多 C. 被调查的学生中，想去叶飞故居的学生有15人 D. 该校九年级600名学生中，估计想去九日山的学生大约有200人 8. 如图，是 的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中记载“分田之术”，强调通过分割与重组几何图形以简化面积计算．现有一田地形如矩形，如图，在矩形 中，两条等宽的平行四边形田埂交错，且．若田埂与矩形两组对边所夹锐角为 ，当 增大时，重叠部分四边形的面积（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大后变小 10. 已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：___________． 12. 已知，则的值是___________． 13. 课标明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（1）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：3，2，6，4，3，则这组数据的中位数是___________． 14. 如图，， 是 上一点，直线与 所夹的角，要使，直线绕点 按逆时针方向至少需旋转________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿腰 翻折至，与反比例函数的图象交于点C．若，C为的中点，则点的坐标为___________． 16. 在等腰 中，，点O是 的角平分线上的一点，半径为1的 经过点B，将 沿方向平移，当 与 的边相切时， 平移的距离是___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且，连结 ，.求证：. 20. 为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 21. 近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． （1）求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． （2）为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 22. “集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． （1）判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； （2） 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 23. 2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、 为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 24. 如图，在矩形 中，，动点P在 边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在 边上从点B向C运动．把沿着直线 翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． （1）如图1，若点P为 的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ （3）如图3，连结 ， 交 于点F，若且，求点Q的运动速度． 25. 已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． （1）当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． （2）动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安市2024-2025学年度初中毕业班教学质量监测 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在 ，0，2，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：在 ，0，2，这四个数中，最小的数是 故选：A． 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 南安市位于福建省东南沿海，与台湾隔海相望，是全国著名侨乡和台胞主要祖籍地之一、据统计南安籍海外乡亲及港澳台同胞总数达400万人．数据400万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：400万 故选：A． 4. 为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系确定的范围，即可得到答案． 【详解】解：，， ，即， 间的距离不可能是， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，故选项不合题意； B．，计算正确，故选项符合题意； C．和不是同类项不能合并，计算错误，故选项不合题意； D．，计算错误，故选项不合题意； 故选：B． 6. 某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设两次调整中每次的平均下降率为x，该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：B． 7. “来南安，会成功”是南安市依托深厚历史文化和多元旅游资源打造的城市品牌．某校计划组织九年级学生开展研学活动，陈老师随机抽取部分学生进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图所示的统计图（不完整）． 根据统计图提供的信息，下列判断错误的是（　　） A. 这次调查的样本容量是60 B. 被调查的学生中，想去蔡氏古民居的人数最多 C. 被调查的学生中，想去叶飞故居的学生有15人 D. 该校九年级600名学生中，估计想去九日山的学生大约有200人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，正确读取统计图中的信息是解题的关键．根据统计图中的信息逐项判断即可． 【详解】解：这次调查的样本容量是，故选A正确，但不符合题意； 被调查的学生中，想去叶飞故居的学生有人，故选C正确，但不符合题意； ∵， ∴被调查的学生中，想去蔡氏古民居的人数最多，故选D正确，但不符合题意； 该校九年级600名学生中，估计想去九日山的学生大约有人，故选D错误，不符合题意； 故选：D． 8. 如图， 是 的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，连接 ，则可求出，，据此根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 《孙子算经》中记载“分田之术”，强调通过分割与重组几何图形以简化面积计算．现有一田地形如矩形，如图，在矩形 中，两条等宽的平行四边形田埂交错，且．若田埂与矩形两组对边所夹锐角为，当增大时，重叠部分四边形的面积（　　） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大后变小 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，解直角三角形的实际应用，连接、、、，过点 作于，先根据两条等宽的平行四边形田埂交错证明四边形是正方形，再在中，求出，最后根据重叠部分四边形的面积为判断即可． 【详解】解：连接、、、，过点 作于， ∵两条等宽的平行四边形田埂交错， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵矩形 ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，都是两条等宽的平行四边形田埂的宽， ∴， ∴四边形是正方形， 中，，，， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为， ∴当增大时，增大，也增大， ∴重叠部分四边形的面积增大， 故选：A． 10. 已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式组等知识，先把代入，求出，然后根据对称轴公式求出对称轴为，然后分；；三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 化简得， ∴抛物线的对称轴为， 当，即时， 抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值为顶点的纵坐标， 当时，y的最小值也为顶点的纵坐标，故符合题意； 当，即时， ∵， ∴当时， 随 的增大而增大， ∴当时，当 时，y取最小值， ∵当时，，抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或， 解得或无解， ∴， 当，即时， ∵， ∴当时， 随 的增大而减小， ∴当时，当时，y取最小值， ∵抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或或或， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 综上，， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 课标明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（1）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：3，2，6，4，3，则这组数据的中位数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查中位数的求法，将一组数据按照从大到小（从小到大）的顺序排列后，处于中间位置的一个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数，把3，2，6，4，3按照从小到大的顺序排序为2， 3，3，4，6，则由中位数的求法可知，中间位置的数为3，即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：将3，2，6，4，3按照从小到大的顺序排序为2， 3，3，4，6， 这组数据的中位数是3， 故答案为：3． 14. 如图，， 是上一点，直线 与所夹的角，要使，直线 绕点 按逆时针方向至少需旋转________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，角的和差运算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用同位角相等两直线平行得出的度数，再利用角的和差求出旋转度数即可． 【详解】解：由题可知， 当时，， 故答案为：18． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿腰翻折至，与反比例函数的图象交于点C．若，C为的中点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，证明是等边三角形是关键．连接，过点作于点D，设点的坐标为，证明是等边三角形，得到，则点的坐标为，，得到，由与反比例函数的图象交于点C，求得即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点D，设点的坐标为， ∵等腰沿腰翻折至，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵与反比例函数的图象交于点C． ∴， 解得（负值已舍去）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 在等腰中，，点O是的角平分线 上的一点，半径为1的 经过点B，将 沿 方向平移，当 与的边相切时， 平移的距离是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，过点B作交延长线于H，则，解直角三角形可得，证明，则可求出；再分当 与 相切时，当 与相切时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴； 如图1所示，当 与 相切时，设切点为G，连接，则， ∴， ∴， ∴此时的平移距离为； 如图2所示，当 与相切时，设切点为S，连接，在上取一点R使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时的平移距离为； 综上所述， 与的边相切时， 平移的距离是或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了立方根、零次幂，化简绝对值，先化简立方根、零次幂，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得， 把代入，得 ， 原方程组的解为． 19. 已知：如图，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且，连结 ，.求证：. 【答案】 ∵四边形 是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 20. 为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是___________． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】（1） （2）这个规则对于小南和小安不公平， 根据题意，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种， ∴P（两次抽出的卡片均为化学变化） P（两次抽出的卡片均为物理变化） ∵， ∴这个规则对于小南和小安不公平． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化，结合概率公式进行求解，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得出共有6种等可能的结果，其中两张卡片都是化学变化的有2种，两张卡片都是物理变化的有1种，再结合概率公式进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：∵甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中A卡片是物理变化， ∴小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． （1）求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． （2）为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】（1）一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤 （2）果园至少还需要9个果农挑担 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； 【小问2详解】 解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 22. “集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． （1）判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； （2） 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】（1） 是“平衡集合”， 理由： 依题意，，， ∵ ∴是“平衡集合”； （2） 证明：∵、是两个不同的正数，且是“平衡集合”， ∴， 设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴、至少有一个大于2． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡集合”的定义，进行作答即可； （2）结合、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，得，设，则，解得，，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、 为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 【答案】任务一：如图所示： ， 任务二：当时，通信线路取得最小值 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出线段 的垂直平分线，再根据外角性质得出，结合勾股定理算出，，则，即可作答． （2）在等腰直角三角形中， ，过点B作，使得，先证明，得出，即，则当A、N、D三点共线时， 有最小值 ，，得出米，即可作答． 【详解】解：任务一：作 的垂直平分线交于点D， 则， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴ ． 任务二： 在等腰直角三角形中， ， 过点B作，使得，如图， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∴， 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当时，有最小值 ， 过点A作交的延长线于点E， ∴ 为等腰直角三角形， ∵，， ∴米，， ∴米， 即当时，通信线路取得最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，做垂线，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 如图，在矩形 中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在 边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与 边相交于点E． （1）如图1，若点P为的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线 上？ （3）如图3，连结 ， 交于点F，若且，求点Q的运动速度． 【答案】（1） ∵点 为的中点， ， 在矩形 中，， ， ∵沿着直线翻折，点 的对应点为点 ， ， ， 在和中， ， ∴； （2） （3）点Q的运动速度是每秒3个单位长度 【解析】 【分析】本题考查矩形中的动点问题，涉及三角形全等的证明、利用勾股定理和方程求解动点位置以及相似三角形判定和应用．解题的关键是根据动点的运动速度和时间表示出相关线段长度，再结合图形的性质列方程求解． （1）利用矩形性质和折叠性质找出全等三角形的对应边和对应角，依据全等判定定理证明； （2）过点 作于点 ，证明， 得到，设，建立方程求解； （3）连接，通过平行线性质、折叠性质得到角的关系，证明，从而得到，设，建立方程求解， 再设，在 中，，建立方程求解，从而求出点Q的运动速度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点 作于点 ，如图， 则， ， ， ， ， ∵点 的运动速度是 运动速度的3倍， ， ， ， ， ， ，解得：， 当，点G恰好在直线 上； 【小问3详解】 连接， ， ， 由翻折可知：， ， ， ， ，又， 四边形为菱形， ， 在中， ， ， ， ，又， ， ， ， 解得， 设，则， 在 中，， ， 解得， ， 点 的运动速度是每秒 3 个单位长度． 25. 已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． （1）当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长 至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． （2）动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，正确根据翻折的性质得到翻折后的抛物线解析式是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标；②可求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为 的中点，则，即可得到，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则， ，同理可得抛物线的解析式为：，则， 再由，联立求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为 的中点， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，，当时，， ∴点D的坐标为或； 【小问2详解】 解：∵点P与点重合，且轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即，① 又点在抛物线上， ∴，即，② 把②代入①得， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $