精品解析：浙江省“桐·浦·富·兴”教研联盟2024-2025学年高二下学期5月调研测试数学试题

2025年5月“桐·浦·富·兴”教研联盟调研测试 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 2. 某质点沿直线运动，位移y（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系为．则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. 3 m/s B. 6 m/s C. 8m/s D. 11 m/s 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出导数，再利用瞬时速度的意义求解. 【详解】依题意，， 所以该质点在时的瞬时速度为6 m/s. 故选：B 3. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时 ，，A选项错误； 当时 ，，B选项错误； 当时 ，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 4. 设随机变量．若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线对称性求解即可. 【详解】因为随机变量．若， 所以， 所以. 故选：C 5. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简求解，，再利用充分条件及必要条件的定义判断即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出目标一次都不被击中的概率，再根据“目标至少被击中一次的概率超过”列出不等式，最后通过对数运算求解的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】已知每门大炮击中目标的概率是0.4，那么每门大炮不击中目标的概率为. 因为门大炮射击是相互独立事件，所以门大炮都不击中目标的概率为.  “目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为，可得目标至少被击中一次的概率为.  已知目标至少被击中一次的概率超过，则可列出不等式，移项可得. 两边同时取以10为底的对数，根据对数函数的单调性可得. 因为，. 将，代入中，可得，解得. 因为为大炮的门数，应为正整数，所以的最小值为.  至少需要大炮的门数是. 故选：A.. 7. 现从学校辩论队的5名同学中选4名组成小组参加辩论赛，并将选出的同学指定为第一、二、三、四辩手，其中学校辩论队的同学甲不担任第四辩手，那么不同的安排方案共有（ ） A. 24种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】分有甲和没有甲两种情况分类求解即可. 【详解】第一种情况，若选出的同学没有甲，则有种安排方案； 第二种情况，若选出的同学有甲，则甲同学只能担任第一、二、三辩手，故有3种安排方案， 再从剩下的4名同学中选出3名同学担任剩下辩手有种安排方案，此时共有种安排方案； 综上：共有96种不同的安排方案. 故选：C 8. 已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数求出导函数，进而求出极值点，分时讨论极值点的个数，列式计算求参. 【详解】因为，所以，且为奇函数，， 因为函数在上有且仅有3个极值点，所以函数在上有且仅有3个零点， 即得在上有且仅有1个零点， 当时，时，，所以在上无零点，不合题意； 当时，时，令，， 若，则单调递增，，时，恒成立，所以在上无零点，不合题意； 若，则，， 令， 则时，，即单调递增， 故函数在即上存在唯一零点，满足题意. 综上所述，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式结合对立事件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，，所以，所以，B选项正确； ，C选项错误； ，A选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 10. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据表中数据与的变化关系可判断A；根据删掉第3年数据为样本中心结合最小二乘法计算公式可判断B；结合B计算后，计算即可判断C；根据新直线方程结合相关系数可判断D. 【详解】对于A，由题中表格数据可知，污染指数随着年份的增大而减小，所以与线性负相关，故A正确； 对于B，，即回归方程的样本中心为， 所以删掉第3年数据为样本中心，由最小二乘法计算公式可知不变，故B错误； 对于C，由B可知，，即回归方程为， 所以地区第10年的污染指数为0.37，故C正确； 对于D，若新数据都在直线上， 则与线性负相关，故这组新数据的样本相关系数为，故D错误. 故选：AC 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 是整数 C. 若，，则 D. （是不大于x的最大整数） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义结合所给条件，逐项判断即可 【详解】由题意得， 又， 所以，所以，故A错； ， ， 当k为偶数时，为偶数，， 此时， 当k为奇数时，为奇数，， 所以 因为、均为整数， 所以为整数， 即是整数，故B对； ，则， 又， 当k为偶数时，， 当k为奇数时， 所以， 即， 当n为偶数时，设， 所以， 即若，，则，故C对； 因为， 所以， 所以， 所以， 由 设， 所以， 所以， ， ， 由于  是奇数，展开后可以表示为： ， 所以， 因为， 所以，且是无理数， 所以不是整数， 设，则，且是小数部分， 我们需要证明：， 由， 因为是无理数，且， 所以就是 的小数部分，即，故D对； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答) 【答案】60. 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以的系数为 考点：二项式定理 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 （1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可. （2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 13. 已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得. 【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数， 又当时，为增函数；当时，为减函数， 所以即， 两边平方整理可得，解得， 所以不等式成立的实数m的取值范围为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在处，则在此前的运动过程中，质点经过处的概率为________． 【答案】0.34## 【解析】 【分析】分类得出质点经过处的情况，再得出质点在处且经过处的情况，最后应用古典概型计算求解. 【详解】第5秒时该质点在处的情况有 情况一：左2次右3次，共有种情况； 情况二：上下各1次，左1次右2次，共有种情况； 情况三：上下各2次，右1次，共有种情况； 共有种情况第5秒时该质点在处； 其中经过处的情况只有情况二和情况三， 情况二中：上下各1次，左1次右2次，要经过处的情况是向上的一次在向下的一次前面移动， 则第一步向上平移有：上下左右右，上下右右左，上下右左右，上右下左右，上右下右左，上右右下左，上右右左下，上右左右下，上右左下右， 上左右右下，上左右下右，上左下右右，种情况； 第一步向左平移有左上右下右，左上右右下，左右上下右，左右上右下，种情况； 第一步向右平移有右左上下右，右左上右下，右上左下右，右上左右下，种情况； 满足条件的种数为种； 情况三中：上下各2次，右1次，要经过处，则第一步向上平移有：上上下下右，上上右下下，上上下右下， 上下下上右，上下下右上，上下上下右，上下上右下，上下右下上，上下右上下，上右上下下，上右下下上，上右下上下，种情况； 第一步向下平移有下上上下右，下上上右下种情况；第一步向右平移不合题意；所以经过处的情况的种数为种； 共有种情况经过且第5秒时该质点在处； 故第5秒时该质点在处，则在此前的运动过程中，质点经过处的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数结合导函数正负得出函数单调性； （2）根据函数单调性及极值点比较判断最大值及最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令，得， ，的变化情况如下表所示： x 1 0 单调递减 1 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增． 小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 由于，， 所以的最大值为． 综上，的最小值为，的最大值为． 16. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测数据部分整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 200 50 250 优秀 60 90 150 合计 260 140 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取3人，记这3人中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为语文成绩和数学成绩有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出，比较临界值可得结果； （2）确定X取值为0，1，2，3，再计算出从数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率，利用二项分布的概率公式得到分布列，再利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 零假设为：：语文成绩和数学成绩无关． 根据列联表中的数据，计算得到： ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为语文成绩和数学成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由已知，从全校数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率为． 可得X服从二项分布，即． X取值为0，1，2，3． ；； ；． X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 17. 已知函数，． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合函数对称轴，得到不等式，求出实数a的取值范围； （2）分和，再细分，，，得到两函数交点情况，从而得到的零点个数. 【小问1详解】 ①当时，则是单调函数，不成立； ②当时，为二次函数，对称轴为， 则；解得； 综上，． 【小问2详解】 当时，则，， 显然，的图象在的图象上方， 故，无零点； 当时，，即，所以或； （ⅰ）当时，，当时，在上单调递增， 且，故，无零点； （ⅱ）当时，当时，即， 此时与只有1个交点，且交点在轴下方， 故有2个零点，分别和1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点横坐标为1， 故有1个零点1； 当时，即，此时与只有1个交点，交点在轴上方， 故无零点． 综上，当时，无零点，当时，有1个零点， 当时，有2个零点． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； （2）当时，求证； （3）当时，关于x不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义，先求出切线方程，再找出与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算. （2）证明当时，，采用了两种证法，一种是通过分析函数的单调性求其最小值来证明；另一种是通过证明来间接证明. （3）分情况讨论，当时，算出得到，这种情况不符合要求.  当时，，设.先求的导数，得到在递增，那么，所以成立. 【小问1详解】 方法一： 当时，，， 所以，， 所以切线为，即， 切线与两坐标轴的交点分别为和， 所围成三角形的面积为． 【小问2详解】 当，， 记，定义域为． 则， 在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一零点，记作，， 且，即， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当且仅当即时等号成立，但，所以取不到等号， 综上，，所以． 证法二： 当，， 所以只需证，即证． 下证： 设，， ，，所以在上单调递减，在上单调递增． ∴． ∴成立． 两边取对数得，即． 所以． 所以，又∵时，，时，． 所以得证． 【小问3详解】 ①当时，不成立． ②当时，， 记，， 则， 在上单调递增， 所以， 即在上单调递增， 所以， 所以成立． 综上，． 19. 已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： （1）若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； （2）如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）先找出编号相邻的情况有4种.用组合数算出从5个里选2个的总情况数，再用1减去编号相邻的概率，就得到不相邻概率. （2）（i）运用古典概型，结合组合数计算得到概率. （ii）先确定“”的事件总数，再得出表达式.通过与1比较大小，得到的范围.比较和、大小.最后根据能否被整除，得出取最大值时的值.当时，也符合不能整除的情况. 【小问1详解】 编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）． （ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即． “”所包含的事件总数为， ∴， 设， ． 令． ①当时，（比较与k大小） ②当时，（比较与大小） ∴． 则当能被整除即时，在或处达到最大值： 当不能被整除即时，在（表示不超过x最大整数）． 当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况． 综上：使概率取得最大值时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年5月“桐·浦·富·兴”教研联盟调研测试 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某质点沿直线运动，位移y（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系为．则该质点在时的瞬时速度为（ ） A 3 m/s B. 6 m/s C. 8m/s D. 11 m/s 3. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量．若，则（ ） A 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（ ）（参考数据：，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 现从学校辩论队的5名同学中选4名组成小组参加辩论赛，并将选出的同学指定为第一、二、三、四辩手，其中学校辩论队的同学甲不担任第四辩手，那么不同的安排方案共有（ ） A. 24种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 8. 已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 是整数 C 若，，则 D. （是不大于x的最大整数） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答) 13. 已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为________． 14. 在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在处，则在此前的运动过程中，质点经过处的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）求函数在区间上的最值． 16. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测数据部分整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 200 50 250 优秀 60 90 150 合计 260 140 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取3人，记这3人中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数，． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）用表示实数m，n中的较大者，设函数，讨论函数的零点个数． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； （2）当时，求证； （3）当时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动： （1）若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率； （2）如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为． （ⅰ）若，，求概率； （ⅱ）求使概率取得最大值时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$