浙江余姚中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题

余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高二数学试卷 一、项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知随机变量X的分布列为P(X=)=5=123,45),则P(X≥3)=（) A号 B c 2.歌唱比赛共有11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原 始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分 相比，一定不变的数字特征是 () A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数 3已知5N9,o),若P(5>1)写则P(7≤5≤9=（) A写 c p.o 4.某地马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务 点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.360种 5.我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序 轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么(11Ⅲ+2)年后是() A羊年 B.马年 C.龙年 D.兔年 6.随机事件A、B满足P(A)=背，P()=P(同A)了下列说法正确的是() A.事件A与事件B互斥 B.PA) C.P(AB)=2 D.P(AB)=P(A) 2x+ 展开式中x2项系数为() A.32 B.64 C.96 D.128 8.抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为不小于2的整数），设事件A表示“n次中至少 有一次正面和一次反面朝上”，事件B表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B 是独立的，则n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是() A C-C B.C+C=C C.5 A8-A27 D.A9=20×19×.×11×10 10.某游乐园表演来自贵州遵义的独竹漂表演，表演中选手需要完成独立平衡”和绕标滑 行”两个项目才能完成表演.己知某选手完成“独立平衡项目的概率为0.9：该选手完成“独立 平衡”，则完成“绕标滑行的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行的概 率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成绕标滑行”，则下列选项 正确的是() A.P(B)=0.76 B.A与B相互独立 C.P(AUB)=0.94 D.P4B)-号 11.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》 和《杨辉算法》杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是 非常值得中华民族自豪的杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做 了广泛的研究，则下列结论正确的是() 轰氨 本积一 商除令白 平方 立方 第0行 1 第1行 1 1 三乘四因四 第2行 1 2 1 四乘三①①) 第3行 1 3 3 1 五乘户 第4行 1 46 41 第5行 15101051 以 中 第6行 1615201561 实 袤 者 方 袋 表乃积数 第n-1行1CC2…CC.CC1 第n行1CC2…Ch…C2Cg1 图1 图2 A.第20行中最大的数是第11个数 B.第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 20 C.记第20行第i个数为a,则∑2a,=320 D.第四斜行的数：1,4,10,20，，构成数列{an},则数列{a}的前n项和为C43 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(2x-1)°=a+ax+4x2+ax3+a,x6,则a1+a2+a3++a6= 13.有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，已知男生甲必须 包括在内，但不担任语文科代表，则不同选法有种.（用数字回答）· 14.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着 若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡 着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽 内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的 2 过程中与小木块碰撞时，有。的概率向左， 的概率向右滚下， 3 3 小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、、5的球槽 内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球 槽中落入 个小球的概率最大 ①②③④⑤ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机 抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)， [5,6]分组，得到如下的频率分布直方图. 频率 组距 0.25------- 8 0.10 0.05 2 3 56时间/小时 (1)求a的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数x(同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表)； (2)若采用分层抽样的方法在[0,1)，[5,6]两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座 谈，设选取的阅读时间在[O,1)人数为X,求X的分布列及数学期望E(X) 16.某市高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布X~N(100,144). (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在(88,124]内的学生人数， 参考数据： 若X~N(4,σ2)，则P(-o<X≤+o)=0.6827,P(u-2o<X≤u+2o)=0.9545, P(-3o<X≤+3o)=0.9973. 17.已知在 1 的展开式中，前3项的系数分别为4，a2,a3,且满足2a2=4+a3. 2天 (1)展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由. (2)求展开式中系数最大项的项 18.某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发 生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为}，发生故障时需1名维修工人进行维修。 (1)若发生故障的车床数为X,求X的分布列： (2)已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床， 每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产 生利润.现该厂准备为该车间招聘k(k=0,1,2,3)名维修工人，设该车间每月获利的均值为 Y(k=0,1,2,3). (1)当k=1,即该准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值Y: (ii)若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数k的值，并说明理由. 19.经典比特只能处于0态或1态，而量子计算机的量子比特可同时处于0与1的叠加态， 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子 的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示0”，上旋 表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑 门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 p的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且p=3,求两个粒子通 过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有n(n>1,n∈N)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率 分别为P,P2,,pn,则称H=f(P)+f(p2)+…+f(pn)(其中f(x)=-xlog2x) 为这条信息的信息熵试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H: (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则 重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数 为Y(Y=1,2,3,,n,…).证明：当nn无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常 数参考公式：0<q<1时，1imq”=0. 命题：乐陶军 审题：韩水昌姚中学2025学年第二学期4月质量检测高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. BDDC ACDB 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选 错的得0分. 9.AB 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.013.3360 14.7或8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(1)a=0.18...2分 x=0.5×0.1+1.5×0.18+2.5×0.22+3.5×0.25+4.5×0.20+5.5×0.05=2.92.5分 (2)1)X可能的取值为0,1,2,3. 有P(X=0)=C20' 11 Px=)=-CC-9 C-20 PX=2)= 1 x=320 0 2 1 P 9 9 1 20 20 20 20 11分 1 9 9 1 313分 E(X)=0× .+1× +2× +3× 20 20 20 202 16.1)由高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布N(100,144), 可得4=100，o=12,则112=u+o, 2分 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例 PX>112)=1-Pu-g<X≤u+o)_1-0.6827 2 2 =0.15865,7分 (2)解： 则P(88<X≤124)=P(μ-0<X≤4+2o)=0.8186,13分 所以估计成绩在(88,124]内的学生人数为8186人..15分 17.解：(1) 因为 展开式的通项公式为 3n-5k 1 8 依题意得2×二n=1 2 n(n-,即nn-1=8n-),由己知n之2， 8 所以n=8,… 4分 1 24-5k 则7.2C6 令24-5k 6 =0,k=4.8gZ6分 .不存在常数项 7分 (2)(方法一)设第k+1项系数为bk1= )C8,k=0,127,8，则 1 b+1= 1 这里k=1,2,7,8 则2≤k≤3 13分 k=2,3时第三和第四项系数最大，系数最大项为7x,7215分 7 （方法二）设第k1项系数为b1=2C,k=01,27,8，则令 1 18! 2k(8-k)！ k b 2C1 8! 1 2 (k-1)(9-k)月 “9-k =9-k21,k=1,27,8 2k .k≤3 13分 k=1,2时，b41>b: k=3时，b=b4=7 k=4,5,6,7,8时b1<b 第三和第四项系数最大，系数最大项为7x5,7x215分 18. 罪)X可能玫0L23.且X~, muPx=o=c6rx=-cgg-号 Px=2=c(8)-Px==cg=7 4分 故X的分布列为： 3 8 4 2 27 9 9 27 5分 (2) (i)Y可能取24,15,6， 所以P(Y,=24= 20 27 PX=15-号PK=6=7 故Y的分布列为： 5 24 15 6 20 2 1 27 27 8分 64 .E(Y)= 3 9分 (ii)由题 方 27 18 9 0 8 4 2 1 27 9 9 27 E(Y)=18 11分 E(Y)= 64 3 Y 21 12 26 1 P 27 27 62 ∴E(Y2)= 13分 3 E(Y3)=27-9=18.15分 .E(Y)最大，即招聘维修工人1人.17分 19.解：(1)设A=“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个”，i=0,1,2, B=“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”， 则P叫=PA41-份-名4=c[gP84g84号 P(BA=g 1.1,1.2.1.41 则P(-2P4PBAP4*g*号+g4 14 故P(AB)e P(4,B_P(A,)P(B4P_49=4 P(B) P(B 19 5分 (2) r=0.k2由期Px=2-p+p1-p叭+-p-号 同可得P叫X=川=CpI-p叭+2+1-p门+Cl-pi= 则PX=0)=1-PX=小-PX=2= 故X的信息熵 =得}-个e4e 10分 (3) 由题知P(Y=n=(1-p)p,其中n=1,2,3,, 则EY)=1(1-p)°p+2(1-p'p++n(1-p)p+…, 2p1-p=p21-p, 则1-p=11-p°+2(1-p'++m-1-p,① 1-p川-1-p=l1-p+21-p++n1-p,@ ①-②得：p∑(1-p)=1-p)°+(1-p'++(1-p)-n1-p) -(--(--1---p PP 1 由题知，当n无限增大时，(1-p)“趋近于零，n(1-p)”趋近于零，则E(Y)趋近于- 所以当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.17分报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高二数 学答题卷 姓名： 班级： 学号： 正确填涂 考 号 [o] [0] [0] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 缺考标记 [1] [1] [1] C1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 21 [2] [2] [3] [3] [3] [3] 31 [31 [3] [31 [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] 61 6] [6] [6] 6 [6 [61 [6] [6] [6] [7] [7] [7 [7] 「71 [7] [7] [7 [7] [7] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] L9] 9] [9] [9] 9] [9] [9] [9] [9] I9] 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 单选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 多选题 9[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 1I[A][B][c][D] 填空题 12 13 14. 囚囚■ 解答题 15. 颜率 组距 0.25 8 -- 0.10 0.05 01 2 345 6时间/小时 囚囚■ ■ 16. ■ ■ 17. I 囚■囚 囚■囚 8L ■ 口 19 ■