精品解析：河南省安阳市2024—2025学年下学期创新人才选拔测评（二）九年级数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年创新人才选拨测评（二） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点P所表示数可能为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 据国家统计局河南调查总队2025年核定，信阳市连续14年粮食总产量稳定在110亿斤以上．将数据“110亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个立体图形从正面、左面、上面看到的平面图形如下，则该立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图1为超市手推车，图2为其模型，已知，直线与交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各数中，属于不等式组的整数解的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，在中，点D，E，F，G分别为，边的三等分点，点H为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 在四张反面无差别的卡片的正面分别印有如下四种车标．现将这四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面的图形都是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用代数式表示：a的2倍与3的和是______． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______ 。 13. 在一张纸片（部分污损）上写有4个数字，若这4个数据的平均数为3，则这组数据的众数是______． 3 2 ▲ 5 14. 如图，在正方形的边上取点E，以为边在的右侧构造正方形，连接，点P，Q分别为的中点，连接．若，，则______． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D为直线上方一点，且，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 17. DeepSeek可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，还能激发学生的自主学习兴趣，培养信息检索和分析能力，为未来的学习和成长奠定坚实基础．某学校开展了“DeepSeek”使用技巧培训活动，为了解学生的使用技巧及水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用x表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表： DeepSeek使用技巧测试成绩扇形统计图 DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布直方图 组别 分数段 频数 A 5 B m C D 20 C组学生的成绩∶86，81，88，82，87，81，88，88，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查属于______调查，样本容量为______； （2）表格中的m为______，本次调查数据的中位数为______； （3）请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 18. 如图，平面直角坐标系中，有一面积为15菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． （1）求点D的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 19. 楼顶信号发射器（如图2）的主要作用是接收和发射无线电信号，包括移动通信、卫星通信和无线局域网等．这些发射器通常安装在建筑物的最高点，如屋顶中央或屋脊处，以确保信号覆盖的最大范围和稳定性．如图1，某数学兴趣小组在A点测得发射器底端B的仰角为，从A点向右直行2.5米到达C点，在C点测得发射器顶端D的仰角为，已知，楼房的高度为7.2米，且A，B，C，D，O在同一平面内，请依据相关数据求信号发射器的高度． （结果精确到01米，参考数据：，，，） 20. 某中学劳动实践基地需要种A，B两种菜苗．经问询知，购买2把A菜苗和3把B菜苗需花费元，购买3把A菜苗和4把B菜苗需花费元． （1）分别求A，B两种菜苗每把的价格为多少元； （2）若最终确定购买A，B两种菜苗共30把，且要求A种菜苗的数量不低于B种菜苗数量的倍，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用为多少元． 21. 如图，内接于，为的直径，为的切线，连接，分别交，圆周于P，D两点，请解答如下问题． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规过点D作，垂足为点G，交于点Q； （3）若点D为的中点，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 22. 如图1，一场女子排球比赛中，运动员发球后排球的飞行轨迹可近似为抛物线，以排球网所在的位置为y轴，水平线为x轴建立平面直角坐标系，排球飞行的水平距离x（米）与其飞行高度y（米）之间的函数关系式为，已知在y轴左侧2米处排球的飞行高度最大为米． 资料备注：正规的排球比赛场地的长为18米，宽为9米，女子排球比赛中球网高度为米． （1）求飞行轨迹所在抛物线的解析式； （2）排球的落地点在球场的内部还是外部？距离后场边界多远？ （3）在保证排球飞行高度以及轨迹形状不变的情况下，运动员后退2米发球，对方一名跳起摸高达米的球员在对排球飞行路线判断无误的情况下能否成功拦网？ 23. 如图，在中，，，边的长度为m，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接． [问题发现]（1）如图1，当时，求的度数； [深度求索]（2）如图2，猜想在m值发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； [思维拓展]（3）若四边形中有一组对边互相平行，请直接写出m值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024—2025学年创新人才选拨测评（二） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点P所表示的数可能为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数比较大小，根据数轴可得点P所表示的数要大于负2，小于负1，再证明即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点P所表示的数要大于负2，小于负1， ∵，且， ∴， ∴数轴上点P所表示的数可能为， 故选：A． 2. 据国家统计局河南调查总队2025年核定，信阳市连续14年粮食总产量稳定在110亿斤以上．将数据“110亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将110亿写成，再写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：110亿， 故选D． 3. 一个立体图形从正面、左面、上面看到的平面图形如下，则该立体图形是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题由物体的三种视图判断原来几何体的形状，先由主视图和左视图确定是柱体、锥体、还是球体，再由俯视图确定具体形状；也可以对选项几何体的各个视图与所给视图比较判断． 【详解】解：根据主视图和左视图的形状可得该几何体为柱体， 在根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则，准确计算即可． 根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项法则依次判断即可． 【详解】解：A.、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、与不能合并，选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 图1为超市手推车，图2为其模型，已知，直线与交于点O．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角的计算．熟练掌握平行线的性质以及邻补角的计算是解题的关键． 根据，可得出，再根据邻补角的定义可知，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 6. 下列各数中，属于不等式组的整数解的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，，0， 故选：B． 7. 如图，在中，点D，E，F，G分别为，边的三等分点，点H为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，，可得出，求出，则得出，证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F，G分别为，边的三等分点， ∴，， ∴，， 又， ∴，， ∴，，，即， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 在四张反面无差别的卡片的正面分别印有如下四种车标．现将这四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面的图形都是轴对称图形的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确两张都是轴对称图形是同时发生的． 首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：这四张卡片分别用A、B、C、D，其中B、C是轴对称图形， 画树状图如下： ∴随机抽取两张，共有12种等可能结果，其中都是轴对称图形的有2种， 则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为， 故选：D． 9. 如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，根据扇形的面积公式求出面积，过点Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F， 则四边形是矩形， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴中间空白区域面积等于正方形的面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积． 故选：A． 10. 如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，先根据函数图象得出当B、E重合时，F和C重合，此时，即，然后证明，求出，进而求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图2知：当时，， ∴当B、E重合时，F和C重合，此时， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用代数式表示：a的2倍与3的和是______． 【答案】2a+3． 【解析】 【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a+3． 【详解】a的2倍就是：2a， a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 故答案为2a+3. 【点睛】本题是一道列代数式的文字题，考查了数量之间的和差倍的关系,理清关系的运算顺序是解答的关键． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______ 。 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式求参数，根据一元二次方程有两个相等的实数根得，即，求出答案即可． 【详解】∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：1． 13. 在一张纸片（部分污损）上写有4个数字，若这4个数据平均数为3，则这组数据的众数是______． 3 2 ▲ 5 【答案】2 【解析】 【分析】本题重点考查了算术平均数的计算公式，众数的求法，熟练掌握平均数及众数的计算方法是解题关键． 根据平均数公式列方程求解确定数据，然后求众数即可． 【详解】解：由题意得， ∴▲=3， ∴2出现2次，出现得次数最多， ∴众数为2， 故答案为：2． 14. 如图，在正方形的边上取点E，以为边在的右侧构造正方形，连接，点P，Q分别为的中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，连接，证明四边形和四边形都是矩形，则，，进而得点P，E，F在同一条直线上，，再由勾股定理求出，继而根据直角三角形斜边中线性质即可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示：   ∵四边形和四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴点P，E，F在同一条直线上， 在中，， 由勾股定理得：， ∵点Q是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故答案：． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，，点D为直线上方一点，且，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点C作，根据题意得出，确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理确定，再由等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数次幂，负整数指数幂，分式的混合运算等，解题关键是掌握相关的运算法则． （1）根据零指数次幂，绝对值的意义，算术平方根分别化简即可； （2）先计算括号内分式减法，并运用除以法则转化为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. DeepSeek可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，还能激发学生的自主学习兴趣，培养信息检索和分析能力，为未来的学习和成长奠定坚实基础．某学校开展了“DeepSeek”使用技巧培训活动，为了解学生的使用技巧及水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用x表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表： DeepSeek使用技巧测试成绩扇形统计图 DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布直方图 组别 分数段 频数 A 5 B m C D 20 C组学生的成绩∶86，81，88，82，87，81，88，88，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查属于______调查，样本容量为______； （2）表格中的m为______，本次调查数据的中位数为______； （3）请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 【答案】（1）抽样，50 （2）15，87.5 （3）1080人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，中位数，样本估计总体，解题的关键是： （1）根据抽样调查和普查的区别即可得出答案，利用A组频数初一其所占百分比即可求出样本容量； （2）根据样本容量减去其余各组频数即可求出m，根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：本次调查属于抽样调查，样本容量为， 故答案为：抽样；50； 【小问2详解】 解：C组数据有10个，所以， ∵排序后，中位数为第25、26个数的平均数，，， ∴第25、26个数在C组， C组数据从小到大为：81，82，81， 86， 87， 88，88，88，89，89， ∴第25、26个数为87， 88， ∴中位数为， 故答案为：15，87.5； 【小问3详解】 解：， 即估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数为1080人． 18. 如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． （1）求点D的坐标及反比例函数的解析式； （2）将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过D作于E，根据A、B的坐标求出，结合菱形的面积为15求出，根据勾股定理求出，则可求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移性质求出点B平移后的坐标，然后代入（1）中函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：过D作于E， ∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形的面积为15， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 代入，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵菱形ABCD向上平移m个单位长度， ∴点B平移后的坐标为， ∵平移后点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即平移距离为1． 19. 楼顶信号发射器（如图2）的主要作用是接收和发射无线电信号，包括移动通信、卫星通信和无线局域网等．这些发射器通常安装在建筑物的最高点，如屋顶中央或屋脊处，以确保信号覆盖的最大范围和稳定性．如图1，某数学兴趣小组在A点测得发射器底端B的仰角为，从A点向右直行2.5米到达C点，在C点测得发射器顶端D的仰角为，已知，楼房的高度为7.2米，且A，B，C，D，O在同一平面内，请依据相关数据求信号发射器的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中根据，正切的定义求出，进而求出，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 又， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 即信号发射器的高度约为米． 20. 某中学劳动实践基地需要种A，B两种菜苗．经问询知，购买2把A菜苗和3把B菜苗需花费元，购买3把A菜苗和4把B菜苗需花费元． （1）分别求A，B两种菜苗每把的价格为多少元； （2）若最终确定购买A，B两种菜苗共30把，且要求A种菜苗的数量不低于B种菜苗数量的倍，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用为多少元． 【答案】（1）A菜苗每把的价格为元，B菜苗每把的价格为元，见解析 （2）购买A菜苗把、B菜苗把可使费用最低，最低费用为元，见解析 【解析】 【分析】（1）分别设A，B两种菜苗每把的价格为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买A菜苗x把，则购买B菜苗把，根据题意列关于x的一元一次方程并求其解集，设购买费用为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值． 【小问1详解】 解：设A菜苗每把的价格为a元，B菜苗每把的价格为b元． 根据题意，得， 解得， 答：A菜苗每把的价格为元，B菜苗每把的价格为元． 【小问2详解】 设购买A菜苗x把，则购买B菜苗把． 根据题意，得， 解得， 设购买费用为W元，则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时W值最小，， （把）． 答：购买A菜苗把、B菜苗把可使费用最低，最低费用为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题关键是掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性． 21. 如图，内接于，为的直径，为的切线，连接，分别交，圆周于P，D两点，请解答如下问题． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规过点D作，垂足为点G，交于点Q； （3）若点D为的中点，猜想与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂线的作图等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键． （1）由为的直径得到，由为的切线得到，即可证明； （2）根据垂线的作图方法作图即可； （3）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，即为所求， 【小问3详解】 ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 22. 如图1，一场女子排球比赛中，运动员发球后排球的飞行轨迹可近似为抛物线，以排球网所在的位置为y轴，水平线为x轴建立平面直角坐标系，排球飞行的水平距离x（米）与其飞行高度y（米）之间的函数关系式为，已知在y轴左侧2米处排球的飞行高度最大为米． 资料备注：正规的排球比赛场地的长为18米，宽为9米，女子排球比赛中球网高度为米． （1）求飞行轨迹所在抛物线的解析式； （2）排球的落地点在球场的内部还是外部？距离后场边界多远？ （3）在保证排球飞行高度以及轨迹形状不变的情况下，运动员后退2米发球，对方一名跳起摸高达米的球员在对排球飞行路线判断无误的情况下能否成功拦网？ 【答案】（1） （2）排球的落地点在球场的外部；距离后场边界2米 （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数与x轴，y轴的交点坐标，解题的关键是求出抛物线的解析式． （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的解析式即可； （2）把代入，求出抛物线与x轴的交点，然后进行判断即可； （3）先求出后退2米发球时抛物线的解析式，然后求出与y轴的交点坐标，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵在y轴左侧2米处排球飞行高度最大为米， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：，， ∵排球比赛场地的长为18米， ∴后场边界线到排球网的距离为：（米）， ∵， ∴排球的落地点在球场的外部， 距离边界线为（米）． 【小问3详解】 解：运动员后退2米发球，抛物线的解析式为： ， 把代入得：， ∵， ∴球员在对排球飞行路线判断无误的情况下能成功拦网． 23. 如图，在中，，，边的长度为m，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接． [问题发现]（1）如图1，当时，求的度数； [深度求索]（2）如图2，猜想在m的值发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； [思维拓展]（3）若四边形中有一组对边互相平行，请直接写出m的值． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形，平行线的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求角度即可； （2）连接，可得，即可得到四点共圆，即可解答； （3）分类讨论，分或两种情况即可解答． 【详解】解：（1）当时，， 将线段绕点P逆时针旋转得线段， ， ； （2）的大小不变，理由如下： 如图，连接， 线段绕点P逆时针旋转得线段， ， ， 四点共圆， ， ， ； （3）当时，如图， ， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， 过点作， ， ， ， ． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $