精品解析：2025年山西省吕梁市岚县中考二模数学试题

2025年中考模拟预测（二）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号在答题卡上涂黑） 1. 2025年一季度，我国经济运行起步平稳，发展向新向好，农产品集贸市场价格稳中略涨，若生猪价格上涨，记作，则活牛价格下降，记作（ ） A. B. C. D. 2. 中国传统窗棂图案丰富多样，每一种都蕴含着独特的寓意，承载着人们对美好生活的向往和祝福，下列四个窗棂纹样，其中图形部分是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 卍字纹 B. 龟背锦 C. 盘长 D. 井字纹 3. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一块长、宽的矩形区域，中间有四块等面积的绿化区域，其余部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616．设道路的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年政府工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，培育生物制造、量子科技、具身智能、等未来产业．小宇和小强分别对“量子科技”和“具身智能”最感兴趣．若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“量子科技”和“具身智能”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点B在反比例函数（，）的图象上，顶点A在x轴上，，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 10. 如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是_____． 12. 2025赛季中国足球甲级联赛在3月15日拉开大幕．如图是百度搜索“2025赛季中国足球甲级联赛”得到的一个图标，将其放在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为______． 13. 在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是_____． 14. 如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为______． 15. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 山西省2025年初中学业水平体育考试将足球、篮球、排球列入考试选考项目．某市的足球考试办法规定：场地设置为长，宽，场地四周设置明显的标志线．考试需要按规定往返运球，已知考生的运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，求两位考生的平均速度． 18. 如图，在中，，，，E为中点． （1）实践与操作：过点A作的垂线，垂足为F；（利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：试猜想四边形是哪种特殊四边形，并说明理由． 19. 2025年3月31日，经山西省委教育工作领导小组审定，公布了《2025年省级层面中小学社会事务进校园事项白名单》．科学家（精神）、科学普及专项活动进入了校园，某校组织了“学生急救技能科普知识”系列活动后，进行了知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现从七至九年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行分析． 数据收集： 七年级：90，70，80，80；100，80，80，90，80，100； 八年级：70，80，100，80，60，90，90，90，100，90； 九年级：80，60，80，90，80，80，90，100，90，100． 七、八年级数据描述： 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 85 80 a 八年级 b c 90 九年级 85 d 80 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中a，b，c，d的值； （2）这次调查中，七、八年级竞赛成绩样本数据波动较小的是 年级． （3）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （4）为了让学生重视急救技能科普知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的学生颁发奖状，该校七至九年级参赛学生共540人，试估计需要准备多少张奖状． 20 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： （1）学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； （2）类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； （3）小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 21. 塔吊是建筑工地用于竖直运输的核心起重设备，一般由塔身、吊臂与平衡臂、驾驶室与控制系统三部分组成．如图是某建筑工地上一个塔吊主体部分的平面示意图．已知吊臂与平衡臂上两点间距离，操作台在上的点D处，塔吊顶在操作台D正上方的点A处，且，拉绳与平衡臂的夹角，拉绳与吊臂的夹角．求操作台D到塔吊顶A的距离（即的长）．（参考数据：，，，，，） 22. 综合与实践 问题情境： 综合实践小组的同学通过搜集知识发现：投篮时将篮球以一定速度斜向上抛出，如果不计空气阻力，篮球在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．活动课上，他们对运动员小宇的投篮练习进行了研究． 数据收集： 信息一：篮圈距水平地面高度为； 信息二：如图是小宇第一次投篮的示意图，小宇竖直跳起投球，篮球出手点A距地面的高度为； 信息三：在这次投篮中，当篮球水平运动3m时到达抛物线的最高点B处，距地面高度为4m． 模型建立： （1）在图中，以地面为x轴，使篮球出手点A在y轴上，建立平面直角坐标系.设这次练习中，投出的篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式为，求a，b的值； 问题解决： （2）若篮球出手点A与篮圈中心C的水平距离为6m，第一次练习没有直接命中篮圈中心C，不考虑其他原因，请通过计算说明理由； （3）第二次练习中，投出的篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式为，篮球能直接命中篮圈中心，求篮球出手点A与篮圈中心的水平距离． 23. 综合与探究 如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接． 操作发现： （1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ； （2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想； 拓展延伸： （3）当，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考模拟预测（二）数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号在答题卡上涂黑） 1. 2025年一季度，我国经济运行起步平稳，发展向新向好，农产品集贸市场价格稳中略涨，若生猪价格上涨，记作，则活牛价格下降，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 由题意可知，上涨记为正，所以下降记为负，进而求解即可． 【详解】解：∵价格上涨，记作， ∴价格下降，记作， 故选：D． 2. 中国传统窗棂图案丰富多样，每一种都蕴含着独特的寓意，承载着人们对美好生活的向往和祝福，下列四个窗棂纹样，其中图形部分是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 卍字纹 B. 龟背锦 C. 盘长 D. 井字纹 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．根据不等式的解集确定不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴不等式组的解集为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图定义即可求解． 【详解】解：其主视图为：， 故选：C． 6. 如图是一块长、宽的矩形区域，中间有四块等面积的绿化区域，其余部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616．设道路的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设道路的宽度为xm，则余下的部分可合成长为，宽为的长方形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设道路的宽度为xm，， 由题意得， 故选：D． 7. 2025年政府工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，培育生物制造、量子科技、具身智能、等未来产业．小宇和小强分别对“量子科技”和“具身智能”最感兴趣．若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“量子科技”和“具身智能”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】解：根据题意画图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“量子科技”和“具身智能”的有2种， 则抽到的两张卡片恰好是“量子科技”和“具身智能”的概率是． 故选：D． 8. 如图，菱形的顶点B在反比例函数（，）的图象上，顶点A在x轴上，，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式．连接，与轴交于点，证明是等边三角形，在中，求得，，得到，据此求解即可． 【详解】解：连接，与轴交于点， ∵菱形,， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中， ∴，， ∴， ∵顶点B在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 9. 如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，由题意得，根据可求出；作，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵ ∴， 解得：， ∴，， 作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图1所示是“梦想起航社团”同学设计的社团logo部分图案．图案由分别以等边三角形ABC的顶点A，C为圆心，AB长为半径的两条弧和以AC的中点O为圆心，长为半径的第三条弧组成（如图2）．若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，含30度角的直角三角形. 分别求出扇形的面积=扇形的面积=，，半圆的面积=，再根据阴影部分的面积计算即可. 【详解】由题意可知：扇形的面积=扇形的面积=， ∵， ∴，， ∴，半圆的面积=， ∴阴影部分的面积 ， 故选：A. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程方法：直接利用开平法求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 2025赛季中国足球甲级联赛在3月15日拉开大幕．如图是百度搜索“2025赛季中国足球甲级联赛”得到的一个图标，将其放在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【详解】若A，B两点的坐标分别为，， ∴点C 的坐标为． 故答案为：． 13. 在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“电流＝电压÷电阻”即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 14. 如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，先求出A、B的坐标，然后根据三线合一的性质求出，则可求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线l的函数表达式为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D在上，，，，垂足分别为E，F，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，由知，得，由勾股定理得，从而得，再证明，运用相似三角形的性质可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的化简，有理数的计算，熟练计算是解题的关键． （1）先计算乘方，负整数指数幂，乘法和除法，最后加减即可； （2）先计算括号，再对分式的分子分母进行因式分解，最后约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 山西省2025年初中学业水平体育考试将足球、篮球、排球列入考试选考项目．某市的足球考试办法规定：场地设置为长，宽，场地四周设置明显的标志线．考试需要按规定往返运球，已知考生的运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，求两位考生的平均速度． 【答案】考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，是解题的关键． 设考生乙的平均速度为，则考生甲的平均速度为.根据运球路线的总路程均为．考生甲的平均速度是考生乙平均速度的1.25倍，在考试过程中考生甲暂时失去对球的控制，浪费了，但总用时仍比考生乙少，列方程解答． 【详解】设考生乙的平均速度为，则考生甲的平均速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． 所以，． 答：考生甲的平均速度为，考生乙的平均速度为． 18. 如图，在中，，，，E为的中点． （1）实践与操作：过点A作的垂线，垂足为F；（利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：试猜想四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定、正方形的判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规过点A作的垂线即可； （2）利用平行四边形的性质得到，，由（1）作图可得，结合推出是等腰直角三角形，，利用线段的和差得出，再利用正方形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，垂线即为所求： 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ， ，， E为的中点， ， 由（1）得，， ， 又， 是等腰直角三角形，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 19. 2025年3月31日，经山西省委教育工作领导小组审定，公布了《2025年省级层面中小学社会事务进校园事项白名单》．科学家（精神）、科学普及专项活动进入了校园，某校组织了“学生急救技能科普知识”系列活动后，进行了知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现从七至九年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行分析． 数据收集： 七年级：90，70，80，80；100，80，80，90，80，100； 八年级：70，80，100，80，60，90，90，90，100，90； 九年级：80，60，80，90，80，80，90，100，90，100． 七、八年级数据描述： 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 85 80 a 八年级 b c 90 九年级 85 d 80 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中a，b，c，d的值； （2）这次调查中，七、八年级竞赛成绩样本数据波动较小的是 年级． （3）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （4）为了让学生重视急救技能科普知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的学生颁发奖状，该校七至九年级参赛学生共540人，试估计需要准备多少张奖状． 【答案】（1）；；； （2）七 （3）八年级成绩比较好； （4）学校估计需要准备108张奖状． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得； （2）根据方差的概念求解可得； （3）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：七年级数据重新排列为：70，80，80，80，80，80，90，90，100，100； 出现次数最多的是80，共出现6次，则众数为80，即； 八年级数据重新排列为：60，70，80，80，90，90，90，90，100，100； 平均数为， 中位数为； 九年级数据重新排列为：60，80，80，80，80，90，90，90，100，100． 中位数为； 故答案为：80；85；90；85； 【小问2详解】 解：七、八年级数据描述看，七年级的数据波动较小， 故答案为：七； 【小问3详解】 解：从平均数上看三个年级都一样； 从中位数看，八年级最高是90； 从众数上看，八年级最高是90． 综上所述，八年级成绩比较好； 【小问4详解】 解：（张）． 答：学校估计需要准备108张奖状． 【点睛】本题主要考查众数、平均数、中位数和方差，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是解题的关键． 20. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： （1）学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； （2）类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； （3）小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （）根据“重排求差”法求解即可； （）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律； （）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可． 【小问1详解】 解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案：； 【小问2详解】 解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 21. 塔吊是建筑工地用于竖直运输的核心起重设备，一般由塔身、吊臂与平衡臂、驾驶室与控制系统三部分组成．如图是某建筑工地上一个塔吊主体部分的平面示意图．已知吊臂与平衡臂上两点间距离，操作台在上的点D处，塔吊顶在操作台D正上方的点A处，且，拉绳与平衡臂的夹角，拉绳与吊臂的夹角．求操作台D到塔吊顶A的距离（即的长）．（参考数据：，，，，，） 【答案】操作台D到塔吊顶A的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，则，解得到，解得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∴． 解得． ∴． 答：操作台D到塔吊顶A的距离约为． 22. 综合与实践 问题情境： 综合实践小组的同学通过搜集知识发现：投篮时将篮球以一定速度斜向上抛出，如果不计空气阻力，篮球在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．活动课上，他们对运动员小宇的投篮练习进行了研究． 数据收集： 信息一：篮圈距水平地面的高度为； 信息二：如图是小宇第一次投篮的示意图，小宇竖直跳起投球，篮球出手点A距地面的高度为； 信息三：在这次投篮中，当篮球水平运动3m时到达抛物线的最高点B处，距地面高度为4m． 模型建立： （1）在图中，以地面为x轴，使篮球出手点A在y轴上，建立平面直角坐标系.设这次练习中，投出的篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式为，求a，b的值； 问题解决： （2）若篮球出手点A与篮圈中心C的水平距离为6m，第一次练习没有直接命中篮圈中心C，不考虑其他原因，请通过计算说明理由； （3）第二次练习中，投出的篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式为，篮球能直接命中篮圈中心，求篮球出手点A与篮圈中心的水平距离． 【答案】（1），；（2）理由见解析；（3）篮球出手点A与篮圈中心的水平距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． （1）直接利用描点法画出函数图象，利用待定系数法即可得解； （2）由（1）得，当时，求得，据此比较即可得解； （3）令，解方程求出x，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意，得， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴抛物线经过点， ∵， ∴没有直接命中篮圈中心； （3）解：当篮球能直接命中篮圈中心时，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 答：篮球出手点A与篮圈中心的水平距离为． 23. 综合与探究 如图，在中，，，D是的中点，P是射线上一动点（点D除外），将线段绕点P顺时针旋转得到，连接． 操作发现： （1）如图，当点P与点A重合时，四边形的形状是 ； （2）如图，当点P在线段上时（点A，D除外），试猜想的度数，并证明你的猜想； 拓展延伸： （3）当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形；（2）的度数为，证明见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的判定；全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出图形是解答本题的关键． （1）先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论； （2）连接，由等腰直角三角形的性质得，，过点作，可证明，根据证明，得，，故可得结论； （3）分点在上和在的延长线上两种情况讨论，方法同（2）． 【详解】解：（1）中，，， ∴， 由旋转得，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形，即四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2） 连接，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 过点作，则， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）点在上时，如图， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴ 由（2）得， ∴， 当点在的延长线上时如图， 方法同上，可得， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$