精品解析：辽宁省大连市2025年中考二模数学试题

2025年大连市初中学业水平考试模拟考试（二） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：抛物线的顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 家庭记录收支账目，若收入500元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．根据正数和负数是一组具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：若收入500元记作元，则支出300元应记作元． 故选：A． 2. 如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看到的图形是： 故选：D． 3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，预估无理数的取值，解题的关键是掌握预估无理数的取值． 确定的取值范围即可在数轴上表示出其位置． 【详解】解：， 即， ， 故选：B． 4. 如图，在四边形中，，，，则的值是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形四边形内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键 根据四边形内角和定理，列方程，求解x的值即可． 【详解】已知在四边形中，，，． 根据四边形内角和定理得：， ． 解得；． 所以x的值是65； 故选：B． 5. 第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. 自由式小轮车 B. 游泳 C. 乒乓球 D. 网球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．掌握相关定义即可．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知： A．不是中心对称图形，符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相乘法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、图形翻折变换的性质以及等角对等边．解题的关键在于利用菱形性质得到相关线段和角的关系，结合翻折性质推出是中点，进而求出的长度．本题可利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵点是的中点， ∴是、交点（菱形对角线互相平分）． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴、 故选：C． 9. 抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 10. 用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不能为零求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 12. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：红色小球用数字1、2表示，黑色小球用3表示，列表得： 1 2 3 1 2 3 由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4个， ∴两次都摸到红球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的对角线，分别在轴和轴上， ∴， 故答案为：． 14. 一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为_____（用含x的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．分别把Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域的面积表示出来，相加即可． 【详解】解：这所住宅的建筑面积为： ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知垂直平分线，即得，，由平行四边形的性质得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算各项，根据乘方的定义计算，根据乘法法则计算，根据绝对值的性质，因为，所以 ，化简为，最后将各项结果进行加减运算． （2）先根据完全平方公式展开，根据单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查乘方运算、乘法运算、绝对值的性质、二次根式的化简、完全平方公式、单项式乘多项式以及代数式求值等知识点．解题关键在于准确运用相关运算法则和公式进行计算，对于绝对值要判断绝对值内式子的正负来去掉绝对值符号，对于二次根式要正确化简，在代数式化简求值中要先化简再代入求值． 17. 为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 10 高中组 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【答案】（1）8，10，初中组 （2）A队的平均成绩为7分 （3）估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差的概念，加权平均数的计算以及用样本估计总体；解题关键是理解相关统计量的定义，准确运用公式进行计算． （1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可； （3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比；再用此占比乘以高中组参赛队伍总数，从而估计出搭建项目中获优秀的队伍数量． 【小问1详解】 解：初中组共20个数据，将初中组搭建项目成绩从小到大排列，第10、11个数据都在成绩为分的组中， ∴中位数， 由高中组搭建项目成绩扇形统计图可知，100分所占比例为，是占比最高的， ∴众数， ∵初中组方差小于高中组方差， ∴搭建项目成绩更稳定的是初中组， 故答案为：8，10，初中组． 【小问2详解】 解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比确定平均成绩， A队伍编程分、调试分、搭建分、讲解分， （分）， ∴A队的平均成绩是7分． 【小问3详解】 解：在抽取的20支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于分的包括分和10分的队伍， 分的占，10分的占， ∴不低于分的队伍所占比例为， ∵高中组共60支队伍参赛， ∴估计获得优秀（搭建项目成绩不低于分）的队伍有（支）． 18. 某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． （1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 【答案】（1）A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元 （2）该公司至少要采购5台A型电脑 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题关键在于准确找出题目中的等量关系和不等关系，通过合理设未知数，列出方程组和不等式，进而求解得出答案． （1）已知两种不同的采购组合及对应的花费，通过设未知数，利用这两个等量关系列出二元一次方程组．方程组中表示“1台型电脑和2台型电脑花费万元” ，表示“3台型电脑和1台型电脑花费万元” ．然后通过解方程组得出、两种型号电脑的单价． （2）已知要采购两种电脑共台，设采购型电脑台，则采购型电脑台．根据“总费用不超过万元”这一不等关系列出一元一次不等式．不等式左边表示采购、两种电脑的总费用，通过解不等式得出的取值范围，进而得到型电脑最少的采购数量． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电脑每台的售价分别为万元和万元． 解得． 答：A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元． 【小问2详解】 解：设该公司要采购A型电脑a台． ． 解得． 答：该公司至少要采购5台A型电脑． 19. 如图，建筑物分别与地面垂直，两建筑物之间的水平距离为，一架无人机以的速度从处起飞，沿射线方向飞行，飞行方向与水平线的夹角为，无人机飞行后到达处，此时从距地面的处观测无人机的仰角为，求处到地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 【答案】处到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得长，在中求出，得到长，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：作，垂足为与的延长线相交于点． 由题意知． 四边形为矩形，四边形为矩形． ． 由题意． 在Rt中，， ． ． ． ． ， ． ． ． ． 答：处到地面的距离约为． 20. 如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接,证明，得，由可得，由可得，从而可证，即可得出结论； （2）作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，再求出，最后根据弧长公式求出的长即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， 是的切线， ， ． ，垂足为， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：作，垂足为． ． 四边形为矩形． ． 在中，， ． 的长为． 21. 甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求B、C两地之间的路程； （2）乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1） （2）乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先求出甲车的速度为，然后求出B、C两地之间的路程即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：；当甲、乙到达C地前，求出两车间距离为时，乙出发的时间，求出乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为：，得出当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲车的速度为：， ∴B、C两地之间的路程为： ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 乙车从C地到B地所用时间为： ， ， 则点C的坐标为， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当甲、乙到达C地前，根据题意得：， 解得：， ， ∴乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为， 乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为： ， ∴当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为； 综上分析可知：当乙出发后，两车之间的路程为． 22. 综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 【答案】 （1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．利用解直角三角形可求得，再利用勾股定理求得；再证明，从而求得；再证明，求得；再证明，由对应边成比例可求得，从而求得最后结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点． ． 和是同位等腰三角形， 垂直平分． 由题意知． 在中，． 在Rt中，，， ． ． ， ． ， ． ， ， ． ． ． 垂直平分， ． ， ． ， ． ． ，， ． ． 即． 解得． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；题目有一定的难度，构造辅助线并证明三角形全等与相似是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． （1）如图1，求的长． （2）点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； （3）约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） ①证明：∵将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， 连接，作轴于点， ∵以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∵当时，， ∴点在该反比例函数图象上； ②或； （3）当或时，使得． 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）①利用平移的性质求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式为，再求得，，连接，作轴于点，根据旋转的性质结合解直角三角形求得点，据此即可证明结论成立； ②先求得，同理求得，判断出点的运动轨迹为，联立，计算即可求解； （3）分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②∵线段与抛物线有公共点，点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， 由旋转的性质得， ∴点的运动轨迹为， 联立， 解得，， 即，， 解得，， 结合图象得或； 【小问3详解】 解：由题意，点，，，， 对于抛物线， 顶点坐标为，对称轴为直线， 对于点，， ∵， ∴， 当即时， ， 当即时，， 对于点，， 当点在点左侧时，，即， 当点在点右侧时，，即， 当时，， 当时，， 当时，若有， 则，解得； 当时，若有， 则， 整理得，，方程无解， ∴当时，不存在的值，使得； 当时，若有， 则， 解得（舍去），； 综上，当或时，使得． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程的求解，旋转的性质等．分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年大连市初中学业水平考试模拟考试（二） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：抛物线的顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 家庭记录收支账目，若收入500元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 4. 如图，在四边形中，，，，则的值是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 130 5. 第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. 自由式小轮车 B. 游泳 C. 乒乓球 D. 网球 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 9. 抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 10. 用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是_____． 14. 一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为_____（用含x的代数式表示）． 15. 如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 10 高中组 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 18. 某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． （1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 19. 如图，建筑物分别与地面垂直，两建筑物之间的水平距离为，一架无人机以的速度从处起飞，沿射线方向飞行，飞行方向与水平线的夹角为，无人机飞行后到达处，此时从距地面的处观测无人机的仰角为，求处到地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 20. 如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求B、C两地之间的路程； （2）乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 22. 综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． （1）如图1，求的长． （2）点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； （3）约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $