精品解析：江西省2025届高三下学期5月模拟预测数学试题

高三考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：C 2. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要条件进行判断即可. 【详解】若，则，反之，若，则或 . 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知抛物线： （ ）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由已知先求出点的坐标，由即可求得，利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，解得，又因为，所以. 故选：B. 4. 已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 5. 函数是（ ） A. 奇函数，且最大值为5 B. 奇函数，且最小值为 C. 偶函数，且最大值为5 D. 偶函数，且最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义先判断奇偶性，利用二倍角的余弦公式得，利用换元法即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数，故AB错误； 又因为， 令（），， 则在上单调递减，， 故选：C. 6. 已知长方体，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由长方体的性质可得，所以直线与直线所成的角即为直线与直线 所成的角，即，由余弦定理求解即可. 【详解】连接 ，，由长方体的性质可得， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线 所成的角，即（或其补角）. 在中，， ，， 所以. 故选：B. 7. 老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出从篇诗歌中随机抽篇的总情况数，再分别算出甲同学能背出篇和篇的情况数，两者相加得到甲同学及格的情况数，最后代入古典概型概率公式计算甲同学能及格的概率. 【详解】计算从篇诗歌中随机抽篇的总情况数，种. 计算甲同学能背出篇的情况数， 甲同学只能背诵其中篇，那么从这篇会背的中选篇的组合数为，同时从剩下 篇不会背的中选 篇的组合数为. 所以甲同学能背出篇的情况数为种. 计算甲同学能背出篇的情况数， 从篇会背的诗歌中选篇的组合数为，根据组合数公式种. 计算甲同学及格的情况数， 因为至少能背出篇才算及格，所以甲同学及格的情况数为能背出篇的情况数与能背出篇的情况数之和，即种. 根据古典概型概率公式，将， 代入可得. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作差，由函数的单调性与特殊值即可判断 大小，从而判断A，B选项；作积，结合指数函数的性质判断的符合，从而可判断C，D选项. 【详解】因为，所以，且 因为是单调递减函数，且 ，即 能成立，所以A，B都不正确； 因为，又当时，，则，当时，，则， 当时，， 综上，，所以C错误，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则可以取3 【答案】AC 【解析】 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10. 已知双曲线：（， ）的离心率为3，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于16，且，则（ ） A. B. 焦距为3 C. 焦点到渐近线的距离为 D. 双曲线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由离心率解出即可判断A，由双曲线的定义和余弦定理结合题意解出即可判断BD，利用点到直线的距离公式即可判断C. 【详解】A选项，因为双曲线的离心率为3，所以， 解得，故A正确； B选项，设 ，（），则的方程为. 由双曲线的定义可知，. 在中，. 由余弦定理有， 所以， 即，解得. 又因为，所以， 则，解得， 所以，故B错误， C选项，渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离，故C正确； D选项，由，所以双曲线的方程为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】若函数恰有3个零点，则方程有3个不同的实数根，令，则函数恰有3个零点.设，求导分析单调性，极值，分析的零点，即可得出答案． 【详解】等价于， 设，所以函数恰有3个零点. 令，则， 当 时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，，当时， ，则. 因为函数恰有3个零点，所以有一个负根和一个小于的正根， 所以，解得. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，即可利用夹角公式求解. 【详解】因为，所以，即，解得. 由，，可得. 故答案为： 13. 已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形，的中心分别为，，连接，可得正六棱柱外接球的球心为的中点，再结合棱柱的体积公式求出，进而求得外接球的半径，再结合球的表面积公式计算即可. 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 14. 某校积极开展“武术进校园”活动，为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5，极差不大于6，且样本数据互不相等，则该样本数据的方差的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设这5个班级的样本数据分别为，，，， （），且，，，，，根据已知得，，又，进而有对应数据依次为2，3，5，7，8或2，4，5，6，8或3，4，5，6，7，比较它们的方差即可得. 【详解】不妨设这5个班级的样本数据分别为，，，， （），且，，，，， 依题意有，易知， 所以，则，，又， 所以，，，， 的值可能有如下三种情况， 2，3，5，7，8，则均值为5，方差为； 2，4，5，6，8，则均值为5，方差为； 3，4，5，6，7，则均值为5，方差为； 所以2，3，5，7，8的方差最大，为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，，，已知 ，. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）当，时，的周长为；当，时，的周长为. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形的面积公式即可求解； （2）由 利用正弦定理得，结合即可解出，进而得解. 【小问1详解】 因为 ，，， 所以， 化简得，解得 . 故的面积. 【小问2详解】 因为 ，由正弦定理有， 又， 所以上面两个方程联立，解得，. 由，知 为锐角，所以，或. 当，时，可知， 所以，，的周长为. 当，时，可知， 所以，从而，的周长为. 16. 已知椭圆：（ ）的离心率为， ， 分别为椭圆的左、右顶点. （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线 上，点的纵坐标为正数，且， ，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 . 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率的计算公式列式求出即可. （2）设点，利用垂直关系求出直线的方程，再由长度等，结合椭圆方程求出点的坐标即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，设，由 ，得， 直线的斜率，则直线的方程为，即， 于是，而，，则， 因此，解得 或 ，即点或， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或 . 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，利用函数解析式求得，可求切线方程； （2）由题意可得，且在处两侧的值异号，进而分，两种情况分类讨论可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 可得，，， 所以所求曲线的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，. 因为在处取得极大值， 所以，且在处两侧的值异号. ①当时，在上单调递增，而， 所以在上，，在上单调递减， 在上，，在上单调递增， 则在处取得极小值，不符合题意. ②当时， （ⅰ）若，， 令 ，则， 当时， ，即函数 在上为减函数， 当， ，即函数 在上为增函数， 所以，当且仅当时取到等号， 所以 则在上，为减函数，所以不是极值点，不符合题意. （ⅱ）若，设，则， 当时， ，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在上， ，单调递增， 在上， ，单调递减，则在处取得极大值，符合题意. （iii）若，， 当时， ，当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以在上， ，单调递减， 在上， ，单调递增，则函数在处取得极小值，不符合题意. 综上，，即的取值范围为. 18. 在四棱锥中，已知，，， ，平面平面. （1）证明：平面平面. （2）若 ，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 分别取，的中点和，连接，，. 则， . 又，，所以， ， 所以四边形 是平行四边形，， 因为 ，所以，又,则平面， 所以 平面， 因为 面，所以. 因为 ， ，,所以 平面 ， 又 ,所以平面平面 . （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分别取，的中点和，连接，，，证 平面 ，进而根据面面垂直的判定定理得到答案. （2）建立空间直角坐标系，假设存在，设出坐标，用空间向量法表示平面与平面的夹角，求出的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，为的中点，，所以 . 又 ，所以 是等边三角形. 取的中点，连接，由（1）可知 ，所以平面. 如图，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，. 设平面的法向量为， 所以即取 ，得. 假设存在一点满足条件，设（ ）， 所以，. 设平面的法向量为， 所以即取，得. 设平面与平面的夹角为，则， 即，解得或 （舍去），此时 ， 所以在棱上存在中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 定义除数函数（）的函数值为的正因数的个数，例如 ， .已知合数，其中，，…，为互不相同的素数，，，.当取得最大值时，其发生的概率为. （1）求，，的值. （2）设，为素数，试探究，，的大小关系. （3）若无穷正项数列同时满足下列两个性质，则称数列具有性质.① ，， ；②为单调数列.记，证明：数列具有性质. 【答案】（1） ， ， . （2） （3）证明如下： 由计数原理和元均值不等式可知， 当且仅当 时，的最大值. 当取得最大值时，其发生的概率， 则. 由 元均值不等式可得 ， 所以为单调数列.. 设 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以 ，即 ， 所以，从而 ， 所以 . 综上所述，数列具有性质. 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）由计数原理结合函数新定义即可判断； （3）由计数原理和元均值不等式得到的最大值.进而得到，转换成，构造函数 ，求导，确定单调性，进而解决问题. 【小问1详解】 依题意可得 ， ， . 【小问2详解】 解：当时，由计数原理可知 ， ， ， 则. 当 时，由计数原理可得 ，， ，则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线： （ ）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或 5. 函数是（ ） A. 奇函数，且最大值为5 B. 奇函数，且最小值为 C. 偶函数，且最大值为5 D. 偶函数，且最小值为 6. 已知长方体，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则可以取3 10. 已知双曲线：（， ）的离心率为3，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于16，且，则（ ） A. B. 焦距为3 C. 焦点到渐近线的距离为 D. 双曲线的方程为 11. 已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角______. 13. 已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 14. 某校积极开展“武术进校园”活动，为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5，极差不大于6，且样本数据互不相等，则该样本数据的方差的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，，，已知 ，. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 16. 已知椭圆：（ ）的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线 上，点的纵坐标为正数，且， ，求直线的方程. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围. 18. 在四棱锥中，已知，，， ，平面平面. （1）证明：平面平面. （2）若 ，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 定义除数函数（）的函数值为的正因数的个数，例如 ， .已知合数，其中，，…，为互不相同的素数，，，.当取得最大值时，其发生的概率为. （1）求，，的值. （2）设，为素数，试探究，，的大小关系. （3）若无穷正项数列同时满足下列两个性质，则称数列具有性质.① ，， ；②为单调数列.记，证明：数列具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $