二次函数压轴之角度问题 归纳练 2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与角度综合，通过分类讨论、辅助线构造等方法体系，系统整合函数性质与几何推理，培养数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|13题(第1问)|待定系数法求解析式|函数表达式与图像特征关联| |角度转化|13题(第3问)|构造全等/相似、对称性质、斜率计算|角度条件转化为坐标关系| |综合应用|13题(第2-3问)|方程思想、分类讨论|函数与几何（三角形/四边形）综合推理|

二次函数压轴之角度问题归纳练2026年中考数学三轮复习备 考 1.(2025贵州铜仁模拟预测)如图，已知二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0),与y轴 交于点C(0,-3). (1)求抛物线的解析式： (②)若点D为抛物线的顶点，连接CD、BD,求四边形OCDB的面积 (3)若点P是抛物线图象上的一点，且满足∠PAB=∠ABC,请直接写出满足要求的所有点P的 坐标. 2.(2025山东济南一模)抛物线y=ax2-2x+c与x轴分别交于A(-1,0),B两点（点A在 点B的左侧)，与y轴交于点C(0,-3),D是抛物线的顶点. 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标. ②如图1，线段C下方抛物线上是否存在一点么，使Saa· 若存在，请求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接PB,BD,当∠PBA=2∠CBD时，求点P的坐 标。 试卷第1页，共3页 3.(2025江苏盐城一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C,顶点为D.其中A(-3,0),D(-1,-4). A D D 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (②)E是该抛物线上一点。 ①连接DE,若∠EDA=∠DAB,求点E的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点E,使∠OCE=∠OAD,求点E的坐标. 4.(24-25九年级上·四川南充月考)如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两 点，与y轴交于点C(0,-3),且过点-2,5). (1)求抛物线解析式： (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不 存在，请说明理由 (3)点M是抛物线上的一点，连接BC、CM,当∠ABC=2BCM时，求点M的坐标， 5.(2025湖南娄底二模)已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+ca>0)与y轴交于点C,与 x轴交于A,B两点，点A在点B左侧.点A的坐标为-1,0)，点C的坐标为0，-3). 试卷第1页，共3页 4 2 B5主 (1)求抛物线的解析式： (②)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； (3)若抛物线上有一点M,使∠ACM=45°，求M点坐标点. 6.(2025内蒙古包头二模)如图，抛物线y=x2-x-2与x轴交于A、B两点，交y轴于点 C. (I)求点A、B、C的坐标，并直接写出∠OCA的度数； (②)若点D是AB和AC线段垂直平分线的交点，则△BCD与△ACO的周长之比为多少？ (3)在满足(2)的条件下，试探究抛物线y=x2-x-2上是否存在一点P,使得 ∠CAP=∠DBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 7.(2025湖北武汉模拟预测)抛物线y=ar2-2ax-3aa<0)交x轴于A,B两点，交y轴 于点C. VA (1) (2)） (1)直接写出点A,B的坐标； (2)如图(1)，当a=-1时，连接AC,点P在第四象限内抛物线上，若∠PAB=2LAC0, 试卷第1页，共3页 求点P的坐标； (3)如图(2)，若顶点为H,在第一象限的抛物线上取点D,连接HD并延长交x轴于点E, 当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△AEB.将抛物线L平移得到抛物线L',使 得点A,B都落在抛物线L'上，试判断抛物线L与L是否交于某个定点.若是，求出该定 点坐标；若不是，请说明理由 8.(24-25湖南长沙·期末)已知二次函数y=x2-2r-1-3. 备用图 ()求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示)； (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-5，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点B(5,0),且与x轴交于另一点A,与y轴交于点C,在对 称轴上是否存在点P,使得∠APC=45°，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理 由 9.（24-25九年级上辽宁大连月考)如图1，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C,顶点为D. B 图1 图2 (1)点B坐标为 (②)抛物线的对称轴上有一点P,使△ACP绕点P顺时针旋转90°后，点C恰好落在抛物线 试卷第1页，共3页 上，求点P坐标； (3)如图2，在抛物线上有一点F,连接FC交线段BD于点E,若∠BEF=45°，求点F的坐 标 10.(24-25九年级下·湖北武汉·月考)己知抛物线y=-x2+bx+c的图像与x轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，M为抛物线上一点，∠MAB=∠ACB,求M点的坐标： (3)如图2，Q为y轴右侧抛物线上一点，直线PQ:y=+b交y轴于点P,与抛物线仅有一 个公共点，将直线P2沿y轴翻折与抛物线交于点M、N,若MN2=2PM·PN,求k的值. 11.（24-25九年级下·重庆月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A,B两点，交y轴于C.且点B(3,0),tan∠0AC=3. 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H,过点P作PM⊥BC于点 M,点Q、点R分别是直线BC、y轴上的两动点，连接QH,HR,QR.当√2PM+AH 取得最大值时，求三角形HQR周长的最小值： 试卷第1页，共3页 (3)将抛物线沿射线AC方向平移2√10个单位得新抛物线y,点K是x轴上方新抛物线y上 的一点，连接KB,过点K作KG⊥BC交直线BC于点G,当∠BKG=∠BCA时，直接写出 所有符合条件的点K的横坐标。 12.(24-25重庆北碚期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点 A-4,0,B(1,0),与y轴的交点为C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D.点E、点F是 直线CA上的动点，满足点E在点F的左侧且EF=2√2.当线段PD最大时，求PEF的周 长的最小值. (③)点Q为抛物线上的一个动点，点E、点F为第(2)问PEF周长取得最小值时的点，当 ∠QEA=∠OFA时，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的过程。 13.(2025湖北武汉模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴 交于点C,A(-1,0),顶点坐标为 3 B 图1 图2 试卷第1页，共3页 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P,使LBCP=∠AC0,若存在，求点P的横坐标； (3)点D为C点上方y轴上的一点，抛物线上有两点E、F(E在F的左边)，直线DE、DF均 与抛物线有且仅有一个交点，连接EF与y轴交于点Q,求tan∠DQF的值. 试卷第1页，共3页 参考答案 1,(1)解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,其图象经过点A-1,0),B(3,0), C(0,-3, a-b+c=0 a=1 则9a+3b+c=0,解得： b=-2, c=-3 C=-3 ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2)解：设直线BC的解析式为y=mx+n, B(3,0),C0,-3, 3m+n=0 n=-3 m=1 解得： n=-3' :直线BC的解析式为y=x-3. :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, D(1,-4, 过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,如图I, Y D 图1 .E(1,-2), .DE=-2+4=2, S.mcD-5.mg+5.cm=x2x2+x2x1=3: 1 2 2 答案第1页，共2页 B(3,0),C(0,-3, 5,a0c=2×3x3=4.5 .四边形0CDB的面积为SBcD+S。BcD=3+4.5=7.5 (3)解：抛物线上存在点P,使∠PAB=∠ABC,理由如下： 如图2， P2 B 1 D 图2 ①取点C(0,-3)关于对称轴x=1的对称点P(2,-3),连接AC,BP, :BC=V32+32=3V2,PA=V2+1)2+32=3V2, AC=V1P+32=V0,PB=V3-2}2+32=10, :BC=PA,AC=BP, AB=BA, .△ABC≌△BAP, ∠PAB=∠ABC, P(2,-3)符合题意； ②当直线PA∥BC时，则有∠PAB=∠ABC, :直线BC的解析式为y=x-3, 直线AP的解析式中一次项系数为1. 设与BC平行的直线AP的解析式为y=x+m, 答案第1页，共2页 将A(-1,0)代入得：-1+m=0, 解得：m=1, .直线AP的解析式为y=x+1, 联立抛物线解析式得： y=x+1 y=x2-2x-3' 解得： [x=4x=-1 -5成-0 (不合题意，舍去)， P2(4,5). 综上所述，P(2,-3,P4,5. 【点晴】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方 法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系 数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键， 2.(1)y=x2-2x-3,D(1,-4 (2)存在，E(1,-4)或(2，-3) 8) 【分析】(1)利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可 (2)可证明S=S求出点B坐标，进面得到Sc=6,则S=3,求出直线 BC解析式，过点E作EF∥y轴交BC于F,设E(e,e2-2e-3,则F(e,e-3),根据 SABCE=S△CEr+SABEF=3建立方程求解即可； (3)利用勾股定理的逆定理证明∠BCD=90°取BD中点G,连接CG,过点P作PH⊥x轴 于H,过点C作CM⊥BD于M,通过导角证明∠PBA=∠CGD;则 (tan /PBA-tan∠CGD三CG-,求出CM.GW的张设Pnp-2p-3,则 BH=3-p,PH=p2-2p-3,据此建立方程求解即可. a+2+c=0 a=1 【详解】(1)解：A(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式中得 c=-3，解得： c=-31 答案第1页，共2页 .抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)-4, 点D(1,-4): 1 (2)解：：SacE-亏5边形0m- (Sc+5.nc) 在y=x2-2x-3中，当y=x2-2x-3=0时，解得x=3或x=-1, B(3,0, .AB=4, 1 S48c=)AB.0C=×4×3=6, 2 2 .S.BCE =3: [3s+t=0 设直线BC解析式为y=Sx+t,则 t=-3 s=1 t=-3' 直线BC解析式为y=x-3, 如图所示，过点E作EF∥y轴交BC于F,设Ee,e2-2e-3,则F(e,e-3, EF=e-3-e2-2e-3=-e2+3e, :S△BCE=SACEF+S△BEr=3, ÷3-0-e+3d-3 解得e=1或e=2, E(1,-4)或E(2,-3)； 答案第1页，共2页 (3)解：：B(3,0),C(0,-3,D(1,-4), ·BC2=(0-3)2+(-3-0)2=18,BD2=(3-12+[0-(-4]=20, CD2=(0-12+[-3-(-4)]=2, :CD2+BC2 BD2, .△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， 如图所示，取BD中点G,连接CG,过点P作PH⊥x轴于H,过点C作CM⊥BD于M, D A M CG=BG=DG=-BD=5, 2 LGBC=∠GCB, :ZCGD=ZGBC+ZGCB=2ZGBC :∠PBA=2∠CBD, ∠PBA=∠CGD; ©SA)CD·BC)BD.CM :.CM=BC.CD2x323V5 BC 2W5 5 ·GM=VCG2-Cw-45 tan∠PBA=tan∠CGD=CM_3 GM 4' .PH 3 ·BH4' 设P(p,p2-2p-3, .BH=3-p,PH=p2-2p-3, 答案第1页，共2页 p-2p-3.3 3-p 4 绕 (经检验是原方程的解)或x=3（舍去)： n（757 P416 【点晴】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直 角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， 3.(1)y=x2+2x-3 @06》.@(40 【分析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)-4,把点A(-3,0)代入，即可求解； (2)①过点B作BF∥DE交AD于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,过点D作DH⊥x轴 于点H,根据题意可得an∠BAD=DH=2,再由∠EDA=∠DAB,可得AB=BF, AH tan ZAFB=2,从而得到FG=2AG,再求出点B(1,O),可得BF=AB=4,在RtABGF中， 利用勾股定莲可得，4G-从而得到点下的坐标为 716 5-5 再求出直线BF的解析式， 进而得到直线DE的解析式，即可求解；②过点E作EF⊥y轴于点F,过点D作DG⊥x轴 于点G,则LEFC=∠DGA=90°，设点E的坐标为m,m2+2m-3),则 EF=-m,0F=-m2-2m+3,可得CF=OC-OF=3+m2+2m-3=m2+2m,然后根据 tan∠OCE=tan∠OAD,求出m的值，即可求解. 【详解】(1)解：D-1,-4, .可设抛物线的表达式为y=a(x+1)2-4, 把点A-3,0)代入得：4a-4=0, 解得：a=1, .抛物线的表达式为y=（x+1)-4=x2+2x-3: (2)解：①如图，过点B作BF∥DE交AD于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,过点D 作DH⊥x轴于点H, 答案第1页，共2页 GH 点D(-1,-4,A-3,0), .DH=4,OH=1,OA=3, .AH=2, :am∠BAD=DH=2, AH ∠EDA=∠DAB, .tan∠EDA=2, :BF∥DE, .∠EDA=LAFB=∠BAD, .AB=BF,tan∠AFB=2, :FG=2AG, 对于y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得：x=1,x2=-3, 点B1,0), :BF=AB=4, 在Rt△BGF中，BG2+FG2=BF2, .（4-AG2+(2AG2=42, 4G=或0（舍去） 16 (716 “点F的坐标为55)” 答案第1页，共2页 设直线BF的解析式为y=kx+b, 54+6s 16 3 5,解得： 4 k+b=0 b=- 3 ·直线BF的解析式为y=x-4 F3x-3 4 可设直线DE的解析式为y=x+b, 把点D(-到代入=音+么得：4= 4 3 +b2, 解得：6三 48 :直线DE的解析式为y=x 33 y=x2+2x-3 联立得： 48 y=x- 33 1 X=- x=-1 解得： 或 3 y=-41 y=- 0’ 9 点E的坐标为 120) 3’-99 ②如图，过点E作EF⊥y轴于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,则∠EFC=∠DGA=90°， G B :点D(-1,-4,A-3,0), .AG=2,DG=4, 当x=0时，y=-3, 点C(0,-3, .0C=3, 答案第1页，共2页 设点E的坐标为(m,m2+2m-3,则EF=-m,0F=-m2-2m+3, CF=0C-0F=3+m2+2m-3=m2+2m, .:∠0CE=0AD, .tan∠OCE=tan∠OAD, DG_EF AG CF' 4 即 -m 2Fm2+2m' 样：我0（合 :点E的坐标为 57 2-4 【点晴】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角 形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 4.(1)y=x2-2x-3 (2)1,-2 3)(3+V2,2+4v2)或1+V2,-2 【分析】(1)直接利用待定系数法求解即可； (2)先求出A-1,0,B(3,0),则有直线BC解析式为y=x-3;再求出对称轴为直线x=1 ;连接PA,PC,PB,由对称性可得PA=PB,则PA+PC=PB+PC,当P、B、C三点共 线时，PB+PC的值最小，即此时PA+PC的值最小，据此求出直线BC与对称轴的交点坐 标即可得到答案； (3)分点M在x轴上方和下方两种情况，根据∠ABC=2∠BCM构造角平分线讨论求解即 可 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+ca≠0)与y轴交于点C(0,-3),且过点(-2,5)， 「4-2b+c=5 c=-3 「b=-2 c=3 .抛物线解析式为y=x2-2x-3; 答案第1页，共2页 (2)解：在y=x2-2x-3中，当y=x2-2x-3=0时，解得x=3或x=-1, .A-1,0,B3,0), 设直线BC解析式为y=c+b', 3k+b'=0 16=-3 k=-1 16=3' .直线BC解析式为y=x-3; ∵抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 对称轴为直线x=1; 如图所示，连接PA,PC,PB, 由对称性可得PA=PB, .PA+PC=PB+PC, .当P、B、C三点共线时，PB+PC的值最小，即此时PA+PC的值最小， 在y=x-3中，当x=1时，y=-2, 当PA+PC的值最小时，点P的坐标为1，-2)； (3)解：如图所示，当点M在x轴上方时，设CM交x轴于G,过点G作GH⊥BC于H, B(3,0,C(0,-3), .0B=0C=3, ∠0CB=∠0BC, :∠ABC=2LBCM, 答案第1页，共2页 .∠OCB=2LBCM, .CM平分∠OCB, :OG⊥OC,CH⊥BC, :.0G=HG, 在Rt△0BC中，由勾股定理得BC=VOC2+0B2=3V2, SAORC=S△0cG+SARCG, 3x3-×30c+x3v5c. :9-306 22 320G, 2 .0G=32-3, G32-3,0, 设直线CG解析式为y=kx+b, ,32-3k+6=0 b=-3 解得 k=V2+1 b=-3 :直线cG解析式为y=V2+1x-3, 联立-5+r-3,解 x=3+V2 x=0 或 y=x2-2x-3 y=2+4v2y=-31 :此时点M的坐标为3+V2,2+4②)： V A G 答案第1页，共2页 如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取K3,-3),连接CK,BK,设直线CM交 BK于L, CK∥OB,CK⊥BK, .∠BCK=∠ABC, 同理可得CM平分∠KCB, 同理可得LK=32-3, BL=BL-LK=3-3V2-3=6-32, L(3,32-6, 同理可得直线CL解析式为y=(2-x-3, 联立=5-小-3，网1：5成-0 y=x2-2x-3 y=-2 y=-31 :此时点M的坐标为1+V2,-2； B 综上所述，点M的坐标为3+V2,2+4W2)或1+V2,-2). 【点晴】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质等等，利用 分类讨论的思想求解是解题的关键. 5.(1)y=x2-2x-3 ②g (3)M(4,5) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积的综合问题，全等三角形的构造，待定 系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键. (1)由待定系数法求解即可； 答案第1页，共2页 (2)过点D作DMIy轴分别交线段BC和x轴于点M,N.由SABDC=S△Bc+S△Bcn得 到Sx=6+分×DMx0B=6+DM,可求直线8C的解折式为：y=x-3.设 2 Dx-2-3列.Mcx-,则DM=-3-(-2-到=气x+骨即可求解DM符 最大值，即面积最大值： (3)过A作AK⊥AC交CD于点K,作KH⊥x轴于点H,则AC=AK,证明 △OAC≌△HKA(AAS),求出K(2,I),再求出直线CK表达式，与抛物线联立即可求解 【详解】(1)解：把点A,C的坐标代入y=ax2-2ax+c, a+2a+c=0 得 c=-3 a=1 解得c=3 :抛物线线的解析式为：y=x2-2x-3; (2)解：：点C的坐标为0，-3)， 0C=3. 如图，过点D作DMIy轴分别交线段BC和x轴于点M,N. M 抛物线线的解析式为y=x2-2x-3, 当y=0,则x2-2x-3=0, 解得：x=3或x=-1, .B3,0), .AB=4, 答案第1页，共2页 w+cABxOC+xDMx(BN+ON) 1 2 2 }x3×4+x DMxOB=6+3DM, 2 2 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O), B(3,0),C(0,-3), 「3k+b=0 b=3 k=1 解得b=3 故直线BC的解析式为：y=x-3. 设D(x,x2-2x-3,M(x,x-3), 则w=-3e-2-列=(-引+ 当x一时，DM有设大位}，此时匹边形48DC面积有设大值为 8 (3)解：如图，过A作AK⊥AC交CD于点K,作KH⊥x轴于点H, 6 M 4 2 .∠ACM=45°， A\O HB5衣 C -4 :AC=AK, ∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH, AOACD△KA(AAS), .AH=CO=3,KH=OA=1, ∴.K(2,1), 设直线CM的解析式为y=kx-3 .2k-3=1, 答案第1页，共2页 k=2, .直线CM的解析式为y=2x-3, 联立y=2-2x-3 y=2x-3 解得x=0(舍去)，或x=4, M(4,5) 6.(1)A2,0),B(-1,0),C(0,-2),∠0CA=45° (2)0 4 因存，化-2引分到 【分析】(1)利用二次函数的性质求出点A、B、C的坐标，再利用等腰直角三角形的性质 与判定即可得出∠OCA的度数； (2)利用勾股定理求出BC,4C的长，得出BC-,由点D是AB和AC线段垂直平分 AC 4 线的交点可知点D是ABC的外心，得到∠BDC=2LBAC=90°，BD=CD,推出△BCD是 等腰直角三角形，则有△BCD∽△AC0,再利用相似三角形的性质即可求解； (3)作点C关于抛物线的对称箱x的对称点C,连接4C,利用抛物线的对称性证出 四边形ABCC'是等腰梯形，得到∠ABC=∠BAC',进而得到∠DBA=∠CAC',分析可知当 点P与点C重合时符合题意，得出点P的一个坐标；作点C关于直线AC的对称点E,利 用对称性得到E(O,-1),∠CAE=∠CAC'=∠DBA,分析可知当点P在直线AE上时符合题 意，联立抛物线与直线AE的解析式即可得出点P的另一个坐标，即可解答. 【详解】(1)解：令y=0,则x2-x-2=0, 解得：x=2,x2=-1, A(2,0),B(-1,0, 0A=2, 令x=0,则y=-2, C(0,-2), 0C=2, 0A=0C, 答案第1页，共2页 又：∠A0C=90°， △OAC是等腰直角三角形，∠0AC=∠0CA=45°， :综上所述，A2,0,B(-1,0),C(0,-2),∠0CA=45°. (2)解：A2,0,B(-1,0),C(0,-2, BC=V2+22=V5,AC=V22+22=2V2, BC510 AC2√24 :点D是AB和AC线段垂直平分线的交点， :点D是ABC的外心， .∠BDC=2LBAC=2×45°=90°，BD=CD, ∴△BCD是等腰直角三角形， 由(1)得，△0AC是等腰直角三角形， △BCD∽aAC0, :△BCD与△AC0的周长之比等于相似比BC AC △BCD与△AC0的周长之比为i 4 (3)解：存在.理由如下： 1 作点C关于抛物线的对称轴x=2的对称点C,连接4C, 则C'1,-2), CC'∥AB, 由抛物线的对称性可得BC=AC', :四边形ABCC'是等腰梯形， LABC=∠BAC', 由(2)得，△BCD、△OAC是等腰直角三角形， ∠DBC=∠0AC=45°， :∠ABC-∠DBC=∠BAC'-∠OAC,即∠DBA=∠CAC', :当点P与点C重合时满足条件∠CAP=∠DBA, P(1,-2): 答案第1页，共2页 作点C关于直线AC的对称点E, CC'∥AB, LACC'=∠0AC=45°， 由对称性得CE=CC'=1,∠ECC'=2LACC'=2×45°=90°，∠CAE=∠CAC', E(0,-1,∠CAE=∠DBA, :当点P在直线AE上时满足条件∠CAP=∠DBA, 设直线AE的解析式为y=c+b, 2k+b=0 代入A2,0)和E(0,-1得， b=-11 k=- 解得： 2, b=-1 :直线AE的解析式为y=。x-1, 1 y=2-l 联立 y=x2-x-2 x=2 解得： 或 2 y=0 y=- 4 :综上所述，点P的坐标为，-2列或3 C C(P) 【点晴】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、等腰直角三角形的性质与判定、圆周角定理、 相似三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决 问题是解题的关键.本题属于函数与几何综合题，需要较强的综合能力，适合有能力解决压 轴难题的学生. 7.(1)A-1,0,B3,0 答案第1页，共2页 停8 (3)是；(3,0) 【分析】(1)令y=ax2-2ax-3a=0,解一元二次方程即可得出点A,点B的坐标. (2)过线段AC的中点M,作AC的垂直平分线MD交y轴于点D,连接AD,设OD=m, 则CD=3-m,AD=CD=3-m,OA=1,利用勾股定理求出点D的坐标，将AD绕A点顺 时针旋90°转得到线段AE,则AE=AD,作EF⊥x轴于F点，直线AE交第四象限的抛物 线于点P.R:40D≌RE4FAAS),由全等三角形的性质进一步求出点行-小，然后 求出AE解析式，再联立AE直线和抛物线解析解方程组即可得出答案， (3)过D作DM⊥x轴于M,设Dm,am2-2am-3a,则AM=m+1, DM=am2-2am-3a,将△ADB沿DE方向平移得到AAEB',相当于将△ADB向右平移 (0m+1)个单位，再向下平移am2-2am-3a个单位，即可得出抛物线L'解析式，由 ar2-2ax-3a=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a<0),解出x即可得出定点坐标. 【详解】(1)解：令y=ax2-2ax-3a=0, .ax2-2ax-3a=ax+1)(x-3=0 a≠0， x1=-1,x2=3, A-1,0,B(3,0. (2)解：当a=-1时，则抛物线解析式为：y=-x2+2x+3, 过线段AC的中点M,作AC的垂直平分线MD交y轴于点D,连接AD, 则CD=AD,∠AC0=∠DAC,∠AD0=∠DAC+∠ACD=2LAC0, 设OD=m, CD =3-m,AD CD =3-m,OA=1, 在RtaA0D中，∠A0D=90°， .12+m2=(3-m)2, .m=3 答案第1页，共2页 4 D0 将AD绕A点顺时针旋90°转得到线段AE,则AE=AD,作EF⊥x轴于F点，直线AE交 第四象限的抛物线于点P. :∠DA0+∠FAE=90°，∠DA0+∠AD0=90°， .∠FAE=∠ADO, :ZPAB=ZFAE ZADO 2ZAC0, 在RtAAOD和Rt△EAF中， ∠AOD=∠EFA=90° ∠FAE=∠ADO AD=AE .RIAAOD≌Rt△EFA(AAS), ·EF=0A=1,AF=OD=4 OF 6小 设AE的解析式为：y=x+b, 〔-k+b=0 州3k+b=-1 3 k= 解得： 4 3 b4 则直线E为y=-3x-3」 4x-4 答案第1页，共2页 33 y=- 联立 44 y=-x2+2x+3 15 解得 x4=-1 Xp= 4 (y4=0 57 yp=- 16 停别 (3)解：抛物线'与L交于定点(3,0)，理由如下： 过D作DM⊥x轴于M,如图： 设Dm,am2-2am-3a, AM =m+1,DM am2 -2am -3a, AD DE, .EM AM m+1, 将△ADB沿DE方向平移得到。AEB',相当于将△ADB向右平移(m+I)个单位，再向下平移 am2-2am-3a个单位， 又A(-1,0),B3,0),H(L,-4a), .A'm,-am2+2am+3a,B'(m+4,-am2+2am+3a,H'(m+2,-am2+2am-a, .抛物线L'的对称轴为直线x=m+2, 抛物线L'解析式为y=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a<0), ax2-2ax-3a=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a<0), 解得：x=3, 抛物线L'与L交于定点(3,0) 【点晴】本题了主要考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数与角度的问题，抛物线平移 答案第1页，共2页 问题，抛物线与坐标轴的交点问题等，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键。 8.(①)顶点坐标为，-2-1-3 (2)t的值为1 (3)存在点P坐标为(2，-2+3)或(2，-2-3)时，∠APC为45° 【分析】(1)将y=x2-2x-t-3化为顶点式即可解答。 (2)根据抛物线y=x2-2x-1-3得对称轴为x=t,分为若t<0,当x=0时函数取最小值； 若0≤t≤3，当x=1时函数取最小值.若t>3,当x=3时函数取最小值，列方程求出t即可； （3)由题意得：抛物线解析式为：y=x2-4x-5=(x-2)2-9,则抛物线图象的对称轴为 =2,C(0-引，根据题意，设P叫2，p小，求出直线CP的解析式为y=”x-5,过点A作 AQ⊥AP交CP于点Q,分别过点P,Q作x轴的垂线，垂足分别为E,F,分为当点P在 x轴上方时，和当点P在x轴下方时，分别画图求解即可. 【详解】（1)解：y=x2-2-t-3=(x-t2-t2-t-3, 则该二次函数的顶点坐标为1，-2-t-3. (2)解：抛物线y=x2-2x-t-3对称轴为x=t. 若t<0,当x=0时函数取最小值， -1-3=-5,解得：t=2(不符合题意，舍去)： 若0≤1≤3，当x=t时函数取最小值， .-t2-t-3=-5,解得：t=-2,t2=1; :0≤1≤3， t=1. 若t>3,当x=3时函数取最小值， ·9-61-1-3=-5,解得：1=11 (不符合题意，舍去)： 综上所述，t的值为1. (3)解：存在点P坐标为(2，-2+V3)或2，-2-13时，∠APC为45°， 理由如下： 由题意得：0=52-2t5-t-3,解得：t=2, 答案第1页，共2页 故抛物线解析式为：y=x2-4x-5=(x-2)2-9, 则抛物线图象的对称轴为x=2,C(0,-5),A-1,0), 根据题意，设P(2,p),直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将C(0,-5),P(2,p)代入y=kx+bk≠0)， 则 -5=b (p=2k+b' k=p+5 解得 2， b=-5 :直线CP的解析式为y=P+5x-5, 2 过点A作AQ⊥AP交CP于点Q,分别过点P,Q作x轴的垂线，垂足分别为E,F, 当点P在x轴上方时，如图， VA :∠APQ=45°，∠PAQ=90°， ∠AQP=45°， .△AQP是等腰直角三角形， .AP=A0, :∠PAE+∠QAE=∠PAE+∠APE=90°， .∠QAE=∠APE, :∠AEP=∠AFQ=90°， :△APE≌△QAF(AAS), .PE AF,AE=OF, :AE=0A+0E=1+2=3,PE=p, 答案第1页，共2页 :AF=p,OF=3, :OF=AF-OA=p-1, .0(p-1,-3), 格01gl-代入=兮-5，则-3=”5p-5, 解得：p=-2+√3或p=-2-√3（舍去） 当点P在x轴下方时，如图， E B x 同理△APE≌△QAF(AAS), :PE AF,AE=OF, :AE=0A+0E=1+2=3,PE=-p, ∴AF=-p,OF=3, ..OF=AF+OA=-p+1, 0(p-1,-3), 将0(p-1,-3, 代入6生-5则-3(2生）-小5， 解得：p=-2+V3(舍去)或p=-2-√3； 综上，当点P坐标为(2，-2+3或2，-2-3时，∠APC为45°. 【点晴】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解 析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌 握以上知识点. 9.(1)3,0 答案第1页，共2页 (2)1,2)或1,3)： 】 【分析】(1)当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x,=-1,x,=3,即可求出答案： (2)作PH⊥y轴于点H,MN⊥PH轴于点N,设P1,t),证明△PCH≌△MPN(AAS),则 PN=CH=3-t,MN=PH=1,得到M(4-t,1+1)把M(4-1,t+1)代入y=-x2+2x+3得到 6,=2,4=3,即可得到P点的坐标为1,2)或1,3)： (3)求出直线BD的解析式为y=-2x+6,过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线， 两吉线交于点G,过点H作HN1CE,则点H的单标为3小G1-号设M近=a则 HM=a,HE=√2a,CM 2 -a,EG=V2a 5 由勾股定理得到，CE2=GE2+CG, 可求得a= 3o,则E12 5'5 求出CE所在直线表达式为y=-。x+3,与y=-x2+2x+3 2 3 > 联立得到x=。或x=0(不合题意，舍去)，即可求出答案 【详解】(1)解：当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x,=-1,x,=3, .B(3,0, 故答案为：3,0)； (2)解：当x=0时，y=-x2+2x+3=3, C(0,3); :y=-x2+2x+3=-(x-1+4, 抛物线的对称轴为直线x=1,D(1,4), △ACP绕点P顺时针旋转90°后，点C恰好落在抛物线上，如图，作PH⊥y轴于点H, MN⊥PH轴于点N,设P(1,), 答案第1页，共2页 D M P B PC=PM,∠CPM=90°，∠HPC+∠CPD=90°，∠MPD+∠CPD=90°， .∠HPC=∠MPD, :MN平行于函数对称轴， .∠PMN=∠MPD, :∠CHP=∠MWP=90°，PC=PM, .△PCH≌aMPN(AAS), .PN=CH=3-t,MN =PH=1, .M4-t,1+1; 把M(4-1,t+1)代入y=-x2+2x+3得：t+1=-(4-t)2+2(4-t+3, 解得，t=2,t:=3, P点的坐标为1,2)或1,3)： (3)解：设直线BD的解析式为y=mx+n, 把BD的坐标代入得到 3m+n=0 m+n=4 m=-2 解得 n=6 .直线BD的解析式为y=-2x+6; 3 当y=3时，x=2' 过点C作x轴的平行线，交BD于点H,过点E作y轴的平行线，两直线交于点G,过点H 作HM⊥CE,则点H的坐标为 3 答案第1页，共2页 D M B :tan∠DBA=ya 4 =2=tana, Xs-xo 3-1 2 1 则sin∠DBA=店cosa-万· :GC∥x轴， ∠DHC=∠GHE=LDBA=a, 3 在△CEH中，CH=2,∠BEF=∠HEC=45, 2v2a 股ME=a,则HM=a.HE=2aCMa,BG=HEsing-了 .GH=Va 由勾股定理得到，CE2=GE2+CG2, 周-传 解得a004三-i0(舍去 20 设直线CE的解析式为y=pr+9, 9=3 把C、E的坐标代入得到 12, 5P+9= 5 1 解得p 3, 9=3 :CE所在直线表达式为y= 3+3, 与y=-x2+2x+3联立得到 答案第1页，共2页 y=-x2+2x+3 y= 1 3+3 解得，x=了或=0（不合题意，舍去. 720\ .点F的坐标为 3'9 【点晴】此题考查了二次函数综合题，涉及一次函数、解直角三角形、勾股定理、待定系数 法、图形的旋转、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是关键. 10.(1)y=-x2-2x+3 (2)M-1,4)或M(3,-12) (3)k=-10+46或k=-10-4V6 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2)根据抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,得出C(0,3),求出 AB=4,0C=A0=3,0B=1,BC=√0，AC=3√2，过点A作AH⊥BC,则 SB0CBC,AH,求出m,勾股定理求出CH,得出a乙CB份-2，根 Ch 据∠MAB=∠ACB,得出tan∠MAB=tan∠ACB=2,设分别画图求解； (3)根据直线PQ:y=x+b交y轴于点P,与抛物线y=-x2-2x+3仅有一个公共点，联立 得kx+b=-x2-2x+3,得出△=(k+2)2-4(b-3=0,整理得k2+4k=4b-16;根据直线 PQ:y=+b交y轴于点P,得出P(0,b),求出直线PQ沿y轴翻折后的解析式为 y=-kx+b,联立-kx+b=-x2-2x+3,整理得x2+(-k+2)x+b-3=0,设直线PQ与抛物线 的交点M、N,为M(x,y,N(x2,2),则x+x2=k-2,xx2=b-3,表示出乃+y2, ,果据MN=2PM-PN,得出-2，过点M,N分划作MH⊥POK1PO. PN 得兴祭微层即可pm,为-2-，龄 +,八1y2,x+x2,xx2代入化简和k2+4k=4b-16联立求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点， 0=-9-3b+c 10=-1+b+c’ 答案第1页，共2页 [b=-2 解得： c=3’ .抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. (2)解：：抛物线的解析式为y=-x2-2x+3, .C(0,3, A-3,0,B(1,0), AB=4,0C=A0=3,0B=1,BC=V1P+32=V10,AC=V32+32=3√2， 过点A作AH⊥BC, 则Sc=)AB-0C=BCAH, 2 2 :AH=4B:0C=4x36V10 BC √10 5 :CH=AC2-AH2 6W10 3v0 5 6V10 .tan ZACB=AHI 5=2, CH 310 5 :∠MAB=∠ACB, .tan∠MAB=tan∠ACB=2, 设M(m,-m2-2m+3), 当点M在x轴上方时， 过点M作MN⊥x轴， 则an∠MB=N=-m-2m+3=2, ANm-（-3) 解得：m=-3（舍去)或m=-1, 则M(-1,4): 答案第1页，共2页 A 当点M在x轴下方时， 过点M作MN⊥x轴， 则am∠MMB=-m+2m3-2, ANm-(-3) 解得：m=-3(舍去)或m=3, 则M(3,-12); 综上，M(-1,4)或M(3,-12); (3)解：：直线PQ:y=+b交y轴于点P,与抛物线y=-x2-2x+3仅有一个公共点， kx+b=-x2-2x+3,整理得x2+(k+2x+b-3=0, .△=(k+2)2-4b-3)=0, 整理得k2+4k=4b-16; :直线PQ:y=x+b交y轴于点P, 答案第1页，共2页 ÷P(0,b),令y=0,则x=-b 直线P0:y=a+b交维于点（会0 设直线P2沿y轴翻折后的解析式为y=:+b, b @0k+b,解得：'人 则直线PQ沿y轴翻折后的解析式为y=-kx+b, 则-kx+b=-x2-2x+3,整理得x2+(-k+2)x+b-3=0, 设直线P9与抛物线的交点M、N,为Mx,y),Nx,y), 则x1+x2=k-2,x1x2=b-3, y1+y2=-kx,+b+(-kx2+b)=-k(x+x2+2b=-k(k-2+2b=-k2+2k+2b, 月·y2=(-kx1+b(-kx2+b)=k2(x·x2)-kb(x+x2)+b2=-3k2+2kb+b2, MN2 =2PM.PN, :MN-2.PM :PN MN 过点M,N分别作MH⊥PO,NK⊥PO, A ⊙ K 图2 :MN_HK PM PH PN PK'MN HK' HK-2PH ·PKHK .HK2=2PH·PK, .(y-y2)=2(b-y)(b-y2), ·2(b-(b-y2)=2b2-2b(y+y2)+2yy2=2b2-2b-k2+2k+2b+2-3k2+2kb+b2) 答案第1页，共2页 (-2}=(+y2-4yy2=（-k2+2k+2b)2-4-3k2+2kb+b2), :.(-k2+2k+2b)-4-3k2+2b+b2）=262-2b(-k2+2k+2b+2-3k2+2kb+b2）, 整理得：k2-4k-6b+22=0, 将k2+4k=4b-16代入k2-4k-6b+22=0, 解得：k=-10+4√6或k=-10-4V6. 【点晴】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，勾 股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，解方程，轴对称等知识点，解题的关键是掌 握以上知识点，正确做出辅助线， 11.(1)y=-x2+2x+3 (2)V26 (3)0或1 【分析】(1)先求出点C的坐标，利用tan Z0AC=3,求出点A的坐标，结合B(3,0),利 用二次函数的交点式求解即可； (2)求出直线BC的解析式，设PH交BC于点T,设点P(m,-m2+2m+3,可得 T(m,-m+3,H(m,0),从而得到PT=-m2+3m,AH=m+1,再由等腰直角三角形的性质可 得PT=√2PM,从而得√2PM+AH=PT+AH=-(m-22+5,进而得到当m=2时， √2PM+AH取得最大值，此时点H(2,0),作点H关于轴的对称点H'(-2,0),关于直线 BC的对称点H",连接HR,HQ,BH',HH,由对称性可得点H"3,, HR=HR,H"Q=HQ,从而得到三角形HOR的周长=HR+QR+HQ=HR+QR+HQ,再 由两点之间线段最短得HR+QR+H"Q≥HH”,且当H'、R、Q、H"依次共线时取得最小 值，即可求解； (3)根据题意可得将抛物线沿射线AC方向平移210个单位得新抛物线y,相当于水平向 右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度，从而得到 y'=-(x-1-2+4+6=-x2+6x+1,然后分两种情况：当K在BC下方时，当K在BC上 方时，即可求解 【详解】(1)解：当x=0时，y=3, 答案第1页，共2页 点C(0,3),即0C=3, .:tan∠OAC=3, 00.3=3, ·OAOA 0A=1, 点A(-1,0), :抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A,B两点，且点B(3,0), 可设抛物线解析式为y=ax+)(x-3), 把点C(0,3)代入得：3=a0+1)(0-3, 解得：a=-1, .抛物线解析式为y=-x+1)x-3=-x2+2x+3; (2)解：设直线BC的解析式为y=x+d, 把点B3,0),C(0,3代入得： [3k+d= d=3 0,解得： k=-1 d=3’ 直线BC的解析式为y=-x+3, 设PH交BC于点T, 设点Pm,-m2+2m+3), PH⊥x轴， .T(m,-m+3,H(m,0, .PT=-m2+3m,AH=m+1, :OB=OC=3,∠BOC=90°， .∠0BC=∠0CB=45°， .∠CTP=∠BTH=45°， :PM⊥BC, .∠PMT=90°， .∠MTP=∠MPT=45°， 答案第1页，共2页 .PM=TM,PT=√2PM, .V2PM+AH=PT+AH=-m2+3m+m+1)=-m2+4m+1=-m-2)2+5, :-1<0, .当m=2时，√2PM+AH取得最大值，此时点H(2,0), 如图，作点H关于x轴的对称点H'(-2,O),关于直线BC的对称点H",连接 H'R,H'O,BH',HH', V 由对称性得：∠HBC=∠HBC=45°，BH=BH"=3-2=1, .∠HBH"=90°， 点H"3,1, 由对称性得：HR=HR,H"Q=HQ, .三角形HQR的周长=HR+QR+HQ=HR+QR+H"Q, 由两点之间线段最短得HR+QR+H"Q≥HH”,且当H'、R、Q、H"依次共线时取得最小 值， 此时角形0R周长的最小值=HH”=V-2-32+(-1)2=V26; (3)解：OA=1,OC=3,OB=3, AC=10,AB=4, :将抛物线沿射线AC方向平移2√10个单位得新抛物线y,相当于水平向右平移2个单位 长度，再向上平移6个单位长度， :y=-x2+2x+3=-x-12+4, 答案第1页，共2页 .y'=-(x-1-22+4+6=-x2+6x+1, 当K在BC下方时，如图，此时点K记为点K,设直线BK,交AC于点R,交y轴于点M, 过点M作ML⊥BC于点L, K2 G2 G(L R M A B ∠BK,G1=∠BCA,∠K,BG1=∠CBR,∠KG,B=90°， ∠CRB=∠K,GB=90°， S.0C =AB.OC=-AC.BR :BR=AB.0C_4×36V10 AC 10 5, :BC=V0C2+0B2=3V2, CR=BC2-BR-310 atan∠CBK,=CR-1, BR2' :ML⊥BC, ML 1 .tan∠CBK1= BL2 :BL=2ML, :∠0CB=45°， 答案第1页，共2页 .∠0CB=LCML=45°， :CL=ML, :BC=CL+BL ML+2ML =3ML =32, ML=√2， .CM=√2ML=2, .OM=1, .点M(0,1, 设直线BM的解析式为y=px+9, 把点M(0,,B(3,0)代入得： 1 3p+9=0 ,解得： 3, 9=1 9=1 1 .直线BM的解析式为y=-。x+1, 3 1 联立y=-x+6x+1得：-3x+1=-r+6x+1, 9 解得：x=0,2=3 (此时在x轴的下方，舍去)， .点K的横坐标为0： 当K在BC上方时，如图，此时点K记为点K2,设直线BK,交y轴于点N,过点N作 NS⊥BC于点S, .∠K,BG2=∠KBG1, NS 1 tan∠K,BG2= .BS =2NS, :∠NCS=∠0CB=45°， .∠NCS=∠CNS=45°， 、s=Cs=、 .BS=2NS=2CS, .WS=CS=BC=3√2， .NC=√2WS=6, 答案第1页，共2页 .0N=9, 点N(0,9, 设直线BN的解析式为y=r+e, [3t+e=0 t=-3 . e=9 ，解得： (e=9, .直线BN的解析式为y=-3x+9, 联立y'=-x2+6x+1得：-3x+9=-x2+6x+1, 解得：x1=1,x2=8(此时在x轴的下方，舍去)， 此时点K2的横坐标为1； 综上所述，满足条件的点K的横坐标为0或1. 【点晴】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数，二次函数的最值，一 次函数与二次函数的交点，勾股定理，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数， 熟练掌握这些性质和判定是解题的关键， 12.(1)y=-x2-3x+4 (2)PEF的周长的最小值为2V0+2√2 (3)点9的坐标为 -8-2√2172-2√21 或-4-2V5,-12-10V5 5 25 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)求出C(0,4),从而可求直线AC的解析式为y=x+4,设 P(m,-m2-3m+4)(-4<m<0),则D(m,m+4),表示出PD=-(m+22+4,结合二次函数 的性质可得当m=-2时，PD取得最大值为4，求出P(-2,6,过点P作PGIAC交y轴于 点G,求出直线PG的解析式为y=x+8,从而可得G(0,8),证明四边形PGFE为平行四边 形，得出PE=GF,连接PC并延长，使得PC=P'C,连接P'F,证明△PCG为等腰直角三 角形，得出PG⊥CP,求出点P、P关于直线AC对称，得到PF=P'F,即PEF的周长 =PE+PF+EF=GF+P'F+2√2，连接GP'交AC于F,当P、F、G在同一直线上时（即 F、F重合时)，GF+P'F最小，为GP',求出P'(2,2),最后由勾股定理计算即可得解； 答案第1页，共2页 (3)求出F(1,5),E(-1,3),过点EHI‖x轴，作FK⊥y轴交y轴于K,作OL⊥EH交EH 于，则K1Q5小，求m∠0水-架-行E明∠0L-∠2K0r,得出 m∠0L=m∠K0F-写设Q--3+4到则L3引，求出 m<01-是--兮解-.此时 -8-2V2172-2V21 25 作点 5 5 Q关于AC的对称点M,作直线EM,由轴对称的性质可得∠QEA=∠AEM,从而得出 LOFA=LAEM,即点g为直线EM与抛物线的交点，OF‖EM,求出直线EM的解析式 y=5x+8 为y=5x+8,联立 y-r2-3x+4求解即可 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+4经过点A-4,0),B(1,0), 16a-4b+4=0 a+b+4=0 a=-1 解得： b=-3' .抛物线的表达式为y=-x2-3x+4; (2)解：在y=-x2-3x+4中，当x=0时，y=4,即C0,4), 设直线AC的解析式为y=kx+b,(k≠0)， 「-4k+b=0 将C(0,4),A-4,0)代入直线AC的解析式可得 b=4 [k=1 解得： b=4' .直线AC的解析式为y=x+4, 设Pm,-m2-3m+4(-4<m<0), :PD∥y轴交AC于点D, ..D(m,m+4, .PD=-m2-3m+4-m+4)=-m2-4m=-(m+2）+4, 答案第1页，共2页 .-1<0, 当m=-2时，PD取得最大值，为4，此时-m2-3m+4=-(-2)-3×(-2+4=6, P(-2,6), 如图，过点P作PG‖AC交y轴于点G, ⊙ 设直线PG的解析式为y=x+b2, 将P(-2,6)代入解析式可得-2+b2=6, 解得：b=8, 直线PG的解析式为y=x+8, 当x=0时，y=8,即G(0,8), ·PG=V-2-02+(6-82=22, :PG=EF, .PGI AC, :四边形PGFE为平行四边形， .PE=GF, 连接PC并延长，使得PC=P'C,连接PF, :PC=V-2-0)2+(6-42=22,CG=8-4=4, PC2+PG2=CG2, :△PCG为等腰直角三角形，即PG⊥CP, :PG‖AC, 答案第1页，共2页 PC⊥AC, PC=P'C, .点P、P关于直线AC对称， :PF=P'F, .PEF的周长=PE+PF+EF=GF+P'F+2V2, 连接GP'交AC于F,当P、F、G在同一直线上时（即F、F重合时），GF+P'F最小， 为Gp', （-2+5=0 设P'(s,,则 2 6+ -=4 2 [s=2 解得： t=2’ 即P'(2,2), GP=V2-02+(2-8)2=210, :PEF的周长的最小值为2√0+2√2； (3)解：如图， 备用图 设直线P'G的解析式为y=kx+bk,≠0)， 将P'(2,2),G(0,8)代入解析式可得 2=2k2+b 8=b3 k=-3 解得： b=8, .直线P'G的解析式为y=-3x+8, 答案第1页，共2页 联立 g解容g即F5 y=x+4 设E(,r+4),则Vr-12+(r+4-5)2=22, 解得：r=-1或r=3(不符合题意，舍去)， E(-1,3), 如图，过点EH‖x轴，作FK⊥y轴交y轴于K,作QL⊥EH交EH于L, G H 备用图 01 则K(0,5), .FK=1,OK=5, ·tan∠FoK=KF=1 OK 5' :直线AC的解析式为y=x+4, .∠CA0=45°， .LHEA=∠CA0=45°， ∠HEQ+∠QEA=45°， :∠CA0+∠A0C+∠AF0+∠C0F=180°， .LAF0+∠C0F=45°， :∠QEA=∠OFA, .∠QEL=∠KOF, 答案第1页，共2页 :m∠0L=m∠K0F-写 设1，-2-31+4)，则L(1,3), EL=-1-t,LQ=3--2-31+4=t2+3t-1, tan∠QEL=g-+31-11 LE-1-t 5 解得：1=8-22或1=-8+22 .(不符合题意，舍去)， 5 5 1=-8-2V21 时f-*4=-8g42 ..0 -8-2W2172-2V21 5 25 作点Q关于AC的对称点M,作直线EM, 由轴对称的性质可得：∠QEA=∠AEM, :ZOFA=ZAEM, ∴点2为直线EM与抛物线的交点，OF IEM, 设直线OF的解析式为y=kx(k,≠O), 将F(1,5)代入解析式可得k,=5, 直线0F的解析式为y=5x, .设直线EM的解析式为y=5x+b, 将E(-1,3)代入解析式可得5×(-1)+b,=3, 解得：b=8, .直线EM的解析式为y=5x+8, 联立P=5x+8 0y=-x2-3x+4可得：x2+8x+4=0, 解得：x=-4-2√5或x=-4+2√5（不符合题意，舍去）， :x=-4-25,此时-x2-3x+4=-(-4-25-3×-4-2W5)+4=-12-10W3, .9,-4-2V5,-12-10V5: 答案第1页，共2页 -8-2√2172-2√21 综上所述，点Q的坐标为 或-4-2V5,-12-105) 25 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合一线段周长问题、二次 函数综合一角度问题、解直角三角形、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键。 13.0)y=- x-+ ②167或2 64 32 (③)an∠D0F=3 【分析】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与几何结合、相似三角形的判定与性质、 正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. (1)设抛物线解析式为y=ax-2+16 ，然后将4-10代入求得口的值即可解答。 (2)先求得0C=4,0B=3,OA=1、BC=5,再分点P位于点B的上方和下方两种情况， 分别过点B作BN⊥BC交CP的延长线于点N,过点N作NM⊥x轴于点M,则 ∠CBN=∠BMN=∠COB=∠COA=90°，通过证明△COA∽△CBN、△COB∽△BMN求得点N 的坐标，然后求得直线CN的解析式，再与抛物线解析式联立即可解答； (3)如图：过F作FT⊥y轴，设Ee,- 求得直线 4 88 DE:y= e+- x+ 3 由直线D5、0F均与抛物线有且仅有一个交点，则e+f=0,进而求得FPT=人、7Q-, 最后代入计算即可 【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=ax-2+16 把4-0代入可得：0=a-1-+5,解得：a= 3x-12+16 抛物线的解析式y=- 3 3x-12+16 (2)解：：y=- 31 :当x=0,得y=-0-1)+16=4,即c0,4, 3 3 当=0，得0=x-1+,解特：名=-15=3，即813.0,4d-1.01. 答案第1页，共2页 0C=4,0B=3,0A=1,BC=V0C2+0B2=5, 如图：当点P位于点B的上方时，过点B作BN⊥BC交CP的延长线于点N,过点N作 NM⊥x轴于点M,则∠CBN=∠BMN=∠COB=∠COA=90°， y BM衣 LCBN=∠C0A=90°，∠BCP=∠AC0, .△COA∽aCBN, 删，耳专解得：8w :∠OCB+∠CBO=90,∠OCB+∠MBN=90°， .∠OCB=∠MBN, :ACOB∽△BMN, OB OC BC 5 ·MN BM-BN=5=4 34 ·MNBM =4, MN BM-1. ∴.OM=OB+BM=4, 设CN的解析式为y=c+b, [4=b k、13 程+6解： 16 b=4 直线CN:y=-1 6+4 答案第1页，共2页 y- 联立抛物线解析式得 13 3、解得：七=x2=0（舍2 y=16x+4 121 如图：当点P位于点B的上方时，同理可得：x2= 32 B N P 综上，P点的横坐标为16？或21 64 32 (3)解：如图：过F作FT⊥y轴， D 设e+e4r.+f+4s, 同2)得直发EF位解新式为y-（手+引} e- x+ef+4, 3 设直线DE的解析式为y=gx+h, 令g+=音++4，整+g》r+4=0, 。8 :抛物线与直线DE只有一个交点E, 4 3e+3,h=e2+4, 88 4 .8= -e+ 3 答案第1页，共2页 :直DE的解折式为y-+》+号+4， 同，当线DF的解折式为-(+}+号+4， 8） 4e2+4=4f2+4,化简得e+f=0, FT=f,0T=-4f+8f+4, 3 3 0-4小r4r4 tan∠DQr=fg-f-3 8. 31 答案第1页，共2页