2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习

2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习 1．如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接． (1)求的度数； (2)若的半径为3，，求的长． 3．如图，内接于，，AD是的直径，交BC于点E，过点D作，交AB的延长线于点F，连接BD． (1)求证：DF是的切线． (2)若，，求BD的长． 4．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的长； (3)若，在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 5．如图，在中，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 6．如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点．若，，求的长． 7．如图，以为直径的交于点，于点，过点的切线交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．如图，是的直径，是的弦，为上一点，连接，，过点作交延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为10，，求的长． 9．如图，是的切线，切点为B，交于点C，过点C的切线交于点D．若，． (1)求的半径； (2)若点P在上运动，设点P到直线的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 10．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 11．如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 12．如图，从外一点A作的切线，切点分别为点B，C，作的直径，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．如图，已知线段是的直径，点C是上的一点，，平分交于点F，交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 14．如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 15．如图所示，已知是的直径，的弦交于点E，且，T是延长线的一点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点G，若，．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习》参考答案 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由圆周角定理可得，进而可得，即得，即可求证； （）由已知得，再由得，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 由（）知，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论； （2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，C为切点， ∴． ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由圆周角定理得，即，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得，，则，然后由平行线的性质得，则，即，即可得出结论； （2）证，得，则，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 又是的半径， 是的切线； （2）∵是的切线； ∴， 是的直径， ， ， ， ∴ ，， ， ∴ ， ． 4．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由角平分线定义得到，由圆中半径相等，根据等腰三角形性质得到，再由平行线的判定与性质即可得证； （2）连接，过点作于点，如图所示，由矩形的判定与性质求出相关线段长，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）解直角三角形求出，间接表示出不规则图形的面积，利用三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 平分， ． ， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，过点作于点，如图所示： ． ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及角平分线定义、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据等边对等角得，所以，证得，再结合得，即可得证； （2）连接，交于点，证明四边形是矩形，设的半径为，则，，然后在中，列出勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接，交于点， 点是的中点， ， 为的切线， ， 又， 四边形是矩形， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论； （2）连接，得到，继而得到，求出，．得到． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． ， ． ． ． ． 是的切线， ． ． ． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ∵， 是的中点． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 7．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明，得出即可； （2）连接，根据切线的性质求出，根据勾股定理求出，根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的直径， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 是的切线， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）得， ． 8．(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，利用平行线的判定定理证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，，证明，推出，利用勾股定理求得，推出是等边三角形，在中，利用正切函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为10，， ， ， 解得（负值已舍去）， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 9．(1) (2)，自变量的取值范围是 【分析】（1）连接，先根据切线长定理可得，，，再根据含30度的直角三角形的性质可得，然后解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）过点作于点，连接，先求出的面积，再求出弓形的面积，从而可得阴影部分的面积，然后根据圆的性质可得当点到的垂线经过圆心时，的值最大，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即的半径为． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵点到直线的距离为， ∴， ∵弓形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵点P在上运动， ∴当点与点（或点）重合时，的值最小，最小值为0， 当点到的垂线经过圆心时，的值最大，最大值为， 综上，，自变量的取值范围是． 【点睛】本题考查了切线长定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、一次函数的应用、扇形的面积等知识，熟练掌握切线长定理和扇形的面积公式是解题关键． 10．(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握切线的判定，锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，，平分，，得，，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，由平行线截线段成比例得到，解得，则，根据，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点H，由题意得点O在垂直平分线上，易证，推出，结合，推出，即可证明； （2）连接，证明，求出，再证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H， ∵内接于， ∴点O在垂直平分线上， ∴，， ∴，即， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， 由（1）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形相似，熟练运用所学知识． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质及切线长定理可得，，即可得，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质即可证得，由此即可证得结论； （2）连接，易证，根据相似三角形的性质，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵、分别切于、， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定、圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，会综合运用平行线的判定、切线的性质、相似三角形的判定与性质是解答的关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的性质，角的平分线的定义，勾股定理，利用解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵线段是的直径，， ∴，， ∴， 解得， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线是解题的关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； （1）连接，根据，，可得，根据可得，进而得出，即可得证； （2）设与交于点，得出，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）连接 ，， ， ， 又， ， ， 点在上， 为的切线； （2）设与交于点， ，， ， ， ， 在中，，， ，． 15．(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由垂径定理得，证明，则，即可证明； （2）连接，，证明， 则，再证明，则，那么，即可证明； （3）过点G作于点P，由（1）得，，则，那么，设半径为r，，则，解得：，那么，由勾股定理得，可求，显然，则，设：，则，，同理可得，则，那么，求出，得，，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，的弦交于点E，且， ∴， ∵是圆的直径， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是圆的直径， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，                在中， ， ∴， ∴； （3）解：过点G作于点P， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴在中，， 设半径为r， ∵，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ∴， ∵于点P，， ∴， 又， ∴， ∴，             设，则，， 同理可得：， 则， 即：， 解得：， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角和垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$