二次函数中平移、翻折、旋转综合问题压轴题预测练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数中平移、翻折、旋转综合问题压轴题预测练 2025年中考数学三轮复习备考 1．已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点，求平移后的二次函数表达式； (3)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于两点(在的左侧)，，连接，抛物线的对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值； (3)点为抛物线上一点，其横坐标比在(2)中取得最大值时点的横坐标大，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值． 5．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 7．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 9．如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围 ； (3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ． 10．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，连接． (1)求的面积 (2)将沿直线翻折，点落在平面内的点处，请直接写出点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． (1)求，的值； (2)如图，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图，在（）的条件下，将沿翻折得到，点在的延长线上，连接，，，交抛物线于点，求直线的解析式． 12．如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点．与轴交于，两点（在的左侧），连接、． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，点、分别为直线、轴上点．连接、、．当最大时，求点的坐标以及的最小值； (3)将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点是轴下方新抛物线对称轴左侧上的一点，点是直线上的一点，是否存在点，使得．且满足．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数中平移、翻折、旋转综合问题压轴题预测练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1)或； (2) (3)证明见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入，求解一元二次方程即可∶ （2）先得出顶点式，然后根据平移的法则得出表达式，再将代入求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【详解】（1）∵点在该二次函数的图象上， ， ， 解得或； （2）解： ∵二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后的二次函数表达式为， 平移后的二次函数经过点， ， 解得， 平移后的二次函数表达式为； （3）证明：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，当时，取最大值为， 当时，取最小值为， ， ， ． 2．(1) (2)的最小值为 (3)N的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． （1）将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：将，代入 ， ， ； （2）解：如图1， 作于，交于， 轴， ， ∵当时，， ， ，又， ， ， ， 当最大时，最大， ，， 直线的解析式为：， 设，， ， ，， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得，或， ， ， 综上所述：或． 3．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据题意得出抛物线对称轴是直线进而求得点的坐标为，，设，把代入即可求解； （2）先求得的解析式为，设则，根据，得，进而勾股定理得出，则，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）依题意求得点的坐标为，进而求得平移后的解析式，联立直线与抛物线求得，根据已知得出是等腰直角三角形，分两种情况：①当点在轴的下方时，当点在轴的上方时，分别求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 点的坐标为， 对称轴是直线 设， 把代入得：， （2）设的解析式为：， 解得： 的解析式为 设则 如图，延长交轴于点， ，轴， ，， ， 当时，有最大值为 （3）由（2）得：点的横坐标为， 为抛物线上一点，其横坐标比的横坐标大，即的横坐标为， 点的坐标为 由题意知：原抛物线沿射线方向平移，即原抛物线向上抛物线平移个单位，再向右平移个单位， 平移后的抛物线的解析式为： 解得：， ， 如图，设交轴于， 由，，可得的解析式为：， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 分两种情况： ①当点在轴的下方时， ，， ， 过点作轴于， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得： 同理可得的解析式为： 解得： 的坐标为 ②如图3，当点在轴的上方时， 由①知：， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴ 解得：， ∴的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰直角三角形的性质，点的坐标和位置之间的关系等知识，解决问题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，找出角的关系． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，不妨设，通过与抛物线联立，判别式为0，可求得，接着利用勾股定理算出和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值；接着通过平移规律求得，最后利用两点距离公式求得，最后求得答案； （3）先写出新抛物线表达式，表示出，，，，接着分成或者讨论，分别表示出，，，的表达式，通过斜率相等即可得出答案． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ，， 直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ， 解得，， 抛物线的表达式为． （2）解：为直线上方抛物线上一点， 作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 不妨设：， 则，即有两个相等的实数根， ， 解得， ：， ，解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ， 为等腰直角三角形， ， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线， ， 时，， 与轴右交点记为点， ， 直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ，， 点在原抛物线上的对应点为， ，即， 、、、四点构成的四边形有一组对边平行， 有可能或者， 当时， 不妨设直线为，代入，， ， ， 不妨设直线为，代入，， ， ， ， ， ， 或， ， ； 同理可得，当时，，符合题意； 综上，可得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数与线段最短问题，两点距离公式，两点之间线段最短，二次函数的平移问题，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 5．(1) (2)点坐标为或 (3)是定值，，见解析 【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案； （2）先根据待定系数法求出直线，再表示出点，，进而求出，再根据点，关于对称轴对称，表示，然后根据，列出方程，再分当和当时，分别求出的值，进而得出答案； （3）先求出平移后的解析式为，再设直线的关系式，即可表示出，，进而得出，然后联立，求出，，再连接，，过作轴，作，作，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，再根据坐标和线段之间的关系得，可得，的关系式，进而得出答案． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点， ， 解得：， 解析式为：； （2）解：设直线，代入，，得， 解得：，， 直线． 点在抛物线上，点在上， 设，． 在直线上方， ， 轴， ，关于对称轴对称， ， ， ，即． ①当时，， 解得：，， 在上方， ， ， ； ②当时，， 解得：（舍），， ； 综上：P点坐标为或． （3）解：平移后的解析式为：， 设， ，，，， ， 联立，得， ，， 连接，，过作轴，作于，作于， 根据垂直平分线可得，，， ∵， ∴， 、都是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， 整理，得， ，， ， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键． 6．(1)见解析 (2)①；②向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位 【分析】本题主要考查了二次函数综合，垂线的尺规作图，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； （2）①根据顶点坐标得到，，则，根据对称性可得，则可求出，，再利用待定系数法求解即可；②设平移后的抛物线解析式为，先求出，在求出直线的解析式为；求出向左平移抛物线，且平移后的抛物线经过时m的值；求出向右平移抛物线时，平移后得到抛物线与线段只有一个公共点时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求；    （2）解：①∵顶点D的坐标为，轴 ，， ，， ， ， ，， ，， 把，代入，， 解得：， 抛物线的解析式为； ②设平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 若向左平移抛物线，把代入得：， 解得，（舍去）， ， 若向右平移抛物线，令，整理得：， 当抛物线与线段只有一个公共点时，， 即，解得：， ， 抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位． 7．(1)和 (2)若抛物线向右下方平移单位 (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解； （2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解； （3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴抛物线 经过点， 设抛物线表达式为， 将，，代入表达式， ， ∴抛物线为， ∵直线 与轴所夹锐角为， ， ， 设直线表达式为，把，代入， 得， 解得 直线：， ∴抛物线和直线的表达式分别为：和； （2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意； ②若抛物线向右下方平移， ∵二四象限角平分线表达式：， ∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位， ∵原抛物线 为， ∴其顶点为， ∴平移后顶点为， ∴平移后抛物线表达式为， 令， 若平移后抛物线与直线只有一个交点， 则, ， 平移的距离为； （3）解：设， 则点关于的对称点为， ， 则的横坐标为：， 则的解析式为：， 因为该点在直线上， 则； 将代入， 可得：， 解得：或（舍去）； 点坐标为： 8．(1) (2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）根据题意分和两种情况分别求解即可； （3）由函数的对称性知，，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，函数取得最小值，即； 当时，抛物线在顶点处取得最小值，即， 综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为； （3）解：由函数的对称性知，，则， 即， 解得：． 9．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，待定系数法，求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）根据图像直接写出时，函数值的范围即可． （3）根据函数图像沿x轴翻折抛物线形状不变，开口向上，顶点的坐标为，待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点的坐标为， 当时，的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：根据函数图像沿轴翻折，抛物线形状不变，开口向上， 顶点的坐标为， 设翻折后的解析式为， 将点代入得：，解得， 翻折后的解析式为， 故答案为：． 10．(1) (2)点的坐标为 【分析】主要考查抛物线与坐标轴的交点，三角形面积的计算，图形的翻折，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得出点的坐标为，进而得出，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据题意求出点的坐标为，得到，进而得出，可得，进而得到将翻折点落在线段上，即，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 轴， 点和点的纵坐标相同， ， 解得：或， ， ， ； （2）解：令， ， 解得或， ， ， ， 轴， ， 将沿直线翻折，点落上的点处， ， ， ． 11．(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （）过作于点，过作轴于点，则，由抛物线得，，从而有，由旋转性质可知，，证明，，，由点的横坐标为，点的横坐标为，则，，然后利用即可求解； （）设，则，，，，过作于点，然后证明，再由，，求出，过作轴于点，同理求出，设直线的解析式为，则，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，． ∴， 解得：； （2）解：过作于点，过作轴于点，则， 由（）得：， ∴抛物线， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴，即； （3）解：由沿翻折得到， ∴，， 设， ∴， 则，，，， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 过作轴于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， （舍）， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 12．(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 13．(1) (2)最大值为9，此时， (3)或． 【分析】（1）将，，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则， 可得出，再求解即可； （3）分为当点在的下方时及当点在的上方时，这两种情况，构造全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 将，，三点坐标代入抛物线解析式： ，解得：, 抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴， 设直线的函数关系式为，将，两点坐标代入得： ，解得， 直线的函数关系式为， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，为9，此时； （3）解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线， 关于对称点都在抛物线上， 设新抛物线的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， 新抛物线的函数关系式为， 当点在的下方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 当点在的上方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点 ， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 14．(1) (2)当最大时，点的坐标为；的最小值为 (3)或 【分析】本题考查了正切的定义，二次函数综合问题，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据已知得出，根据，得出，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）先求出直线的解析式为，设交于点，设，则，，根据是等腰直角三角形，得出，进而用含的关系式表示出的长度，进而根据二次函数的性质得出当时，的最大值为，点的坐标为；作关于和轴的对称点，当在上时，取得最小值，即可求解； （3）先求得新抛物线的解析式为：，过点作与点，交于点，得出，设，则，进而可得，得出，则，可得，可得的解析式为，设，则根据得出或，进而分别求得直线的解析式为或，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：，当时， ∴，则， ∵, ∴， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴； （2）解：当时， 解得：， ∵， ∴， ∵，设直线的解析式为，代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，设交于点， 设，则， ∵，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，则 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴当时，的最大值为 此时点的坐标为，如图，作关于和轴的对称点， ∴ ∴ ∵ ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长，为 （3）解：∵ ∴顶点为， 关于的对称点为即 ∵绕点旋转得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为： 如图，过点作与点，交于点， ∵，则 设，则 又∵在直线上，当时， ∴ 设，则 ∴． ∵． ∴． ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵， 同理可得的解析式为， 设 ∵ ∴ 解得或 ∴或 ∴直线的解析式为或 联立或 解得：（舍去）或或或（舍去） ∵点是轴下方新抛物线对称轴左侧上的一点， ∴或 即点的横坐标为：或 15．(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$