培优点2　权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式（5大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高

培优点2　权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：柯西不等式 5 题型二：权方和不等式 7 题型三：排序不等式 8 题型四：切比雪夫不等式 10 题型五：琴生不等式 13 04 课时精练 17 高考中，利用权方和、柯西、琴生、排序及切比雪夫不等式求最值，是考察学生数学思维与技巧的重要考点。这些不等式能简化复杂计算，快速定位最值。掌握它们，可提升解题效率，在高考中占据优势，展现数学素养。 1、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 3、排序不等式 给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列． 4、切比雪夫不等式 对于两个实数数列，若有， 则有， 类似地，若有，则有． 5、琴生不等式 凹函数的定义 设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数. （1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）． （2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有 题型一：柯西不等式 【例1】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式1-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 题型二：权方和不等式 【例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式2-3】权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 题型三：排序不等式 【例3】已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为 . 【变式3-1】排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和. (1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________. (2)设是个互不相同的正整数，求证：. (3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 【变式3-2】已知为正数，用排序不等式证明：． 题型四：切比雪夫不等式 【例4】应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若， ，则 【变式4-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（    ） A．数组和的反序和为30 B．若，，其中（）都是正实数，则 C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3 D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为 【变式4-2】已知锐角三角形中，内角所对的边分别为，且．设，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【变式4-3】若，其中都是正数，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型五：琴生不等式 【例5】在锐角中，的最小值为 ． 【变式5-1】定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Johan  Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）. (1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数； (2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围； (3)设数列中的各项均不小于1，证明：. 【变式5-2】已知，且，求证：． 【变式5-3】若，则有 (1)； (2)． 1．（2025·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 2．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 6．（2025·四川德阳·模拟预测）已知. (1)解不等式； (2)若为的最小值，设，求的最小值. 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 8．已知． (1)若，解不等式． (2)当时，的最小值为3，正实数满足，证明：． 9．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 10．设，求证：． 11．设，且，求证：等号成立当且仅当． 12．若a，b，c为任意的正数，则有． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点2　权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：柯西不等式 5 题型二：权方和不等式 7 题型三：排序不等式 8 题型四：切比雪夫不等式 10 题型五：琴生不等式 13 04 课时精练 17 高考中，利用权方和、柯西、琴生、排序及切比雪夫不等式求最值，是考察学生数学思维与技巧的重要考点。这些不等式能简化复杂计算，快速定位最值。掌握它们，可提升解题效率，在高考中占据优势，展现数学素养。 1、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 3、排序不等式 给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列． 4、切比雪夫不等式 对于两个实数数列，若有， 则有， 类似地，若有，则有． 5、琴生不等式 凹函数的定义 设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数. （1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）． （2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有 题型一：柯西不等式 【例1】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 【变式1-1】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 【变式1-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 题型二：权方和不等式 【例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【解析】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 【变式2-2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【解析】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式2-3】权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：8 题型三：排序不等式 【例3】已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为 . 【答案】 【解析】注意到，. 由排序不等式，知当时，和式的值为最大.此时. 【变式3-1】排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和. (1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________. (2)设是个互不相同的正整数，求证：. (3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 【解析】（1）依题意，是的任一排列， 设两组数与， 则可看作与两组实数的“乱序和”； 设也是的一个排列，且， 其中满足集合. 则为与两组实数的”顺序和“， 且. 则由排序不等式：乱序和顺序和， 得. 故答案为：. （2）设两组数：与. 由是个互不相同的正整数， 设是的一个排列，且满足， 即是这个互不相同的正整数从小到大的排列， 因此，又， 由排序不等式：乱序和序和，得 ， 所以. （3）依题意，水龙头注满第个人的水桶需要分钟， 则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为， 则所有人打完水，他们等候的总时间为， 设两组数：与，由假定，这些各不相同， 设为的一个排列，且， 又因为， 由排序不等式：乱序和反序和，得， 所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水， 即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水， 等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列. 【变式3-2】已知为正数，用排序不等式证明：． 【解析】不妨设，则， 由排序不等式可得： ，，， 三式相加得， 当且仅当时，取等号. ∴. 题型四：切比雪夫不等式 【例4】应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若， ，则 【解析】同序和乱序和反序和．固定的位置，让进行轮换，轮换一周，恰好轮换次，共得以下个式子： ， ， ， ， ……， ， 将以上个式子相加，得， 即 【变式4-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（    ） A．数组和的反序和为30 B．若，，其中（）都是正实数，则 C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3 D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为 【答案】AC 【解析】选项A，根据反序和的定义可知，数组和的反序和为 ，故A正确； 选项B，设两组正实数均为，则为两组正实数的顺序和，为两组正实数的乱序和，由排序原理知，故B错误； 选项C，不妨设两组正实数为，，和，，，其中， 则，则是两组正实数的乱序和， 是两组正实数的反序和，故，故C正确； 选项D：设两组正实数为，，…，和，，…，，其中， 则，则是两组正实数的乱序和， 是两组正实数的反序和， 故，故D错误． 故选：AC. 【变式4-2】已知锐角三角形中，内角所对的边分别为，且．设，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】由题意知， 则， 则由排序不等式有 ， ， 两式相加得 【变式4-3】若，其中都是正数，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依序列的各项都是正数，不妨设则为序列的一个排列．由排序不等式，得，即． 题型五：琴生不等式 【例5】在锐角中，的最小值为 ． 【答案】 【解析】构造函数，，则， 令，则， 所以函数在上为下凸函数． 由琴生不等式得， 即，当且仅当时等号成立． 因此在锐角中，的最小值为． 故答案为：. 【变式5-1】定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Johan  Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）. (1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数； (2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围； (3)设数列中的各项均不小于1，证明：. 【解析】（1）的导函数为， 因为函数不是上的增函数， 所以不是上的凹函数. 的导函数为， 当时，令， 由对勾函数的单调性知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以函数是上的凹函数. （2）由题可知， 设，则. 因为函数为上的凹函数，所以为增函数， 所以，即恒成立. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故m的取值范围是. （3）设，因为，故，记， 由（1）知为定义域上的凹函数，所以由琴生不等式可知 ， 所以. 【变式5-2】已知，且，求证：． 【解析】已知，且， 则有， ， ， ，当且仅当时等号成立， ， ， 设，由幂函数性质可知它在是上凸函数， 由琴生不等式得， ， ， 又，所以， 所以，当且仅当时等号成立． 【变式5-3】若，则有 (1)； (2)． 【解析】（1）由是凹函数，应用琴生不等式可得： 即,得证. （2）应用琴生不等式可得： , 而， 则 . 即,得证. 1．（2025·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则条件为，所以 ， 等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为． 故选：D 3．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则． 由题意，，，，且， 由绝对值不等式，得， ∴，即，因此． 故选：C． 4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【解析】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 6．（2025·四川德阳·模拟预测）已知. (1)解不等式； (2)若为的最小值，设，求的最小值. 【解析】（1）因为，由，得到，即， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 综上，不等式的解集为. （2）因为， 所以，得到， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 【解析】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2）由正四面体的体积， 将正四面体放入到棱长为为正方体中， 则, 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 8．已知． (1)若，解不等式． (2)当时，的最小值为3，正实数满足，证明：． 【解析】（1）若，不等式为． 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，，即，显然不成立，不等式无解． 综上，不等式的解集为． （2）当时， 当时等号成立． 由得，所以． 由柯西不等式得， 即，当且仅当，即时取等号． 9．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【解析】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 10．设，求证：． 【解析】证明：由幂函数的图像可知，在上为上凸函数，由琴生不等式， 则 ， 且，，不能同时相等，从而等号取不到． ∴． 11．设，且，求证：等号成立当且仅当． 【解析】若某个为0，易知不等式成立．以下设，令，则且．考虑函数， 由，，所以是上的严格上凸函数，应用琴生不等式可得：， 即， 易知等号成立当且仅当，即． 12．若a，b，c为任意的正数，则有． 【解析】利用函数的凸性，在琴生不等式（3）中，取 ，，，，， 可以算得：． 由此推得：． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$