精品解析：湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟考试 数学 试卷

祁阳市2025年中考第二次模拟考试 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中．例如收入40元记作元，则支出15元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△与 位似，点是它们的位似中心，其中相似比为 ，则与 的面积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在中，， ，．点P在边上，过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F，连接，取的中点E，在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____ 12. 因式分解： _______． 13. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________ ． 14. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 15. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线长为，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径长为 _____． 16. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若 的面积是2，则________． 17. 关于x的一元二次方程的两个根为，，且 ，则 的值为___________ 18. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中，中间正六边形的中心到直线的距离为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)－(x－2)2，其中x＝2． 21. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在网络课堂中学生参与互动的次数，在5月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 参与互动（次） 占调查人数的百分率 A B C D E 16次以上 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）共抽查学生_____人，_______； （2）已知该校共有学生1600人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？ （3）该校计划在A组随机抽取两人了解情况，已知A组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率． 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 23. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面 的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到 米；参考数据：） 24. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 25. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：AC平分∠FAB； （2）求证：BC2＝CE•CP； （3）当AB＝4且时，求弦BC与其所对的劣弧 所组成的弓形面积． 26. 如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标； （3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳市2025年中考第二次模拟考试 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中．例如收入40元记作元，则支出15元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入40元记作元，则支出15元记作元， 故选：A． 2. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据151亿用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当 时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　） A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30 C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图，可得答案． 【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意； B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意； C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意； D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键． 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则 ， ∴， 故选：A． 7. 如图，△与 位似，点是它们的位似中心，其中相似比为 ，则与 的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵△与 位似，点是它们的位似中心，其中相似比为 ， ∴与 的面积之比是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 8. 已知 ，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意得，，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴， 故， 故选：D． 9. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 10. 如图，在中，， ，．点P在边上，过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F，连接，取的中点E，在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，综合运用这些性质是解题的关键． 以C为原点，建立坐标系，设，则，利用含度角的直角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线上运动，求出点P分别与A，C重合时点E的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以C为原点，建立坐标系，过点D作于G， 设，则， 点P坐标为， ， ． ， ． ． ． ， ． ，． ，，， ∴四边形为矩形． ． 点F坐标为． ∵E为的中点， 点E坐标为． 令，． ． 点E在直线上运动， 当点P与A重合时， ，此时， 当点P与C重合时，，此时． ∴点E所经过的路径长为：． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式和分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 12. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为： ． 14. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 【答案】不确定事件 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，属于随机事件． 【详解】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，是不确定事件， 故答案为：不确定事件． 15. 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线长为，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径长为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，列出方程计算即可，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，是解此题的关键． 【详解】解：由题意得；， 解得：， 该圆锥的底面圆的半径长为， 故答案为：． 16. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若 的面积是2，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可求 ，， 由，即可求解． 【详解】解：设， 轴， ，，轴， ， 解得：， 在上， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键． 17. 关于x的一元二次方程的两个根为，，且 ，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系可得，，再把 变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中，中间正六边形的中心到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质．取中间正六边形的中心为O，过点O作于点M，交直线l于点N，把向两边延长，交两边正六边形的垂直直线l的两边于点B，F，延长交直线l于点E，连接，则，，，，，证明四边形 是矩形，可得，，再证明，可得，根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取中间正六边形的中心为O，过点O作于点M，交直线l于点N，把向两边延长，交两边正六边形的垂直直线l的两边于点B，F，延长交直线l于点E，连接，则，，，，， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴，， ∵ 根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据化简绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 20. 先化简再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)－(x－2)2，其中x＝2． 【答案】﹣x2+8x﹣13，-1． 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，最后把x的值代入计算可得． 【详解】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣x2+4x﹣4， ＝﹣x2+8x﹣13， 当x＝2时，原式＝﹣4+16﹣13＝﹣1． 【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 21. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了了解在网络课堂中学生参与互动的次数，在5月份某天随机抽取若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 参与互动（次） 占调查人数的百分率 A B C D E 16次以上 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）共抽查学生_____人，_______； （2）已知该校共有学生1600人，请你估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有多少人？ （3）该校计划在A组随机抽取两人了解情况，已知A组有男生2人，女生1人，请用画树状图法或列表法求出抽取两名学生都是男生的概率． 【答案】（1）60， （2）1200人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频率分布表，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意是解题的关键． （1）用A的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；用1减去除去C的所有组别的百分比即可求出a的值； （2）用1600乘以样本中一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生占比即可得到答案； （3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽取两名学生都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；共抽查学生为：（人）， C组的人数所占的百分比为：，即， 故答案为：60，； 【小问2详解】 解：估计该校这一天参与互动次数在8次以上（不含8次）的学生有：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知，共有6个等可能的结果，抽取两名学生都是男生的结果有2个， ∴抽取两名学生都是男生的概率为． 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 23. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面 的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到 米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作 于点，于点，则四边形是矩形，在 中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在 中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． （1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 （2）当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案． 【小问1详解】 解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． 【小问2详解】 解：设种型号帐篷购买顶，总费用为 元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， 故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：AC平分∠FAB； （2）求证：BC2＝CE•CP； （3）当AB＝4且时，求弦BC与其所对的劣弧 所组成的弓形面积． 【答案】 （1）证明：∵PF是切线， ∴OC⊥PF， ∵AF⊥PF， ∴AF∥OC． ∴∠FAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB； （2）证明：∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB， ∴∠OCP＝∠CEB＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠BCP， ∵CD是直径， ∴∠CBD＝∠CBP＝90°， ∴△CBE∽△CPB， ∴， ∴BC2＝CE•CP； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到OC⊥PF，再说明AF∥OC，进而得到∠FAC＝∠ACO；又OA＝OC得∠OAC＝∠ACO ，则∠FAC＝∠CAB 即可证明； （2）先证明△CBE∽△CPB，得到即可证明； （3）作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a， ∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°， ∴∠MCB＝∠PBM， ∵CD是直径，BM⊥PC， ∴∠CMB＝∠BMP＝90°， ∴△BMC∽△PMB， ∴， ∴BM2＝CM•PM＝3a2， ∴BM＝a， ∴tan∠BCM＝＝ ， ∴∠BCM＝30°， ∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°， ∵AB＝4， ∴OC＝OB＝2， ∴弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积＝． 【点睛】本题考查了圆的综合运用、相似三角形的判定和性质、圆的面积公式、三角函数等知识点，掌握切线的性质定理、圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 26. 如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标； （3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标； 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）在抛物线y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求出a的值即可得到二次函数的解析式； （2）易证∠CPM＝∠OBC，则可分两种情况讨论：①当△PCM∽△BAC时，②当△PCM∽△BCA时；求出直线BC解析式，设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），分别表示出PM，PC，利用相似三角形的性质列出比例式，求出m的值即可得到对应的点P的坐标； （3）分三种情况讨论：①当点P在线段BC上时（不与B，C重合），根据折叠的性质和平行线的性质证明∠PCM＝∠PMC，则PC＝PM，然后列方程求解即可得出P点坐标；②当点P在线段CB的延长线上时，同理可求P点坐标；③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上，此情况不存在． 【小问1详解】 解：在y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2−2ax−3a＝0， 解得：x1＝3，x2＝−1， ∴A（−1，0），B（3，0）， ∴OB＝3， ∵OB＝OC， ∴OC＝3， ∴C（0，−3）， ∴−3a＝−3， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3； 【小问2详解】 解：∵OB＝OC＝3，OA＝1，∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AB＝4，BC＝， ∵PM⊥x轴， ∴PM∥y轴， ∴∠CPM＝∠OCB＝45°， ∴∠CPM＝∠OBC， 分情况讨论： ①当△PCM∽△BAC时， 设直线BC解析式为y＝kx＋b， 代入B（3，0），C（0，−3）得：， 解得：， ∴直线BC解析式为：y＝x−3， 设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3）， ∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝， ∵△PCM∽△BAC， ∴，即， 整理得：， 解得：或 （舍去）， 当时，m−3＝， ∴此时P的坐标为（，）； ②当△PCM∽△BCA时，则有， 由①可得， 整理得：， 解得：或 （舍去）， 当时，m−3＝， ∴此时P的坐标为（，）； 综上所述：当△PCM和△ABC相似时，点P的坐标为（，）或（，）； 【小问3详解】 解：分三种情况讨论： ①当点P在线段BC上时（不与B，C重合）， 由（2）可知直线BC解析式为：y＝x−3， 设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝， ∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上， ∴∠PCM＝∠NCM， ∵PM∥y轴， ∴∠NCM＝∠PMC， ∴∠PCM＝∠PMC， ∴PC＝PM， ∴， 整理得：， 解得：，m2＝0（舍去）， 当m＝时，m−3＝， ∴此时P的坐标为； ②当点P在线段CB的延长线上时， 由（3）中情况①可知：PM＝m2−2m−3−（m−3）＝m2−3m，PC＝， ∵PC＝PM， ∴， 整理得：， 解得：，m2＝0（舍去）， 当m＝时，m−3＝， ∴此时P的坐标为； ③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上， 故此情况不存在； 综上所述：当点P的对应点N恰好落在y轴上时，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $