2025届高三数学解题方法立体几何板块六大招6：运动中找不变量讲义

大招6   运动中找不变量 对于涉及动点的问题来说，关键是找到运动中哪些长度、角度以及位置关系等是不变的，进而可以利用这些运动过程中的不变量为突破口解决问题． 立体几何动态问题是高考的热点问题.几何图形在变化的过程中蕴含着某些变与不变的因素，我们可从中分析其变化特点，寻找不变的静态因素，并追踪运动的轨迹，或通过引进参数构建方程、函数或不等式等进行定量计算，从而实现用代数方法解决立体几何问题的目的. 1. 在运动变化中寻找相关的不变因素，建立变量与不变量的有机统一体. 2. 在运动变化中寻找变化的轨迹，考虑运动变化过程中的所有可能情况与区域. 3. 将立体几何问题用代数方法解决，在运动变化中建立函数、方程或不等式等，将所求问题转化为求值或求最值的问题. 4. 利用极限思想考虑运动变化中的极限位置. 5. 利用特殊化思想考虑运动变化中的特殊位置. 6. 通过降维思想，将空间动态问题转化为平面动态问题，利用平面知识加以解决. 【典例1】 长方体中，，，，P是棱上的动点，则的面积最小时，=______． 【大招指引】由于四棱柱是长方体，因此平面，而点P在棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量），这是解题的前提和关键. 【解析】 我们只要得到点P到直线距离的最小值，就能得到面积的最小值．连接AC，，由于四棱柱是长方体，因此平面，而点P在棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量）．又由于直线在平面中，因此点P到直线的距离大于等于点P到平面的距离．接下来就去找棱上有没有点，使得点到直线的距离等于点到平面的距离．过点D作AC的垂线DE，垂足为E．过点作的垂线，垂足为．连接，与相交于Q．过点Q作平行于DE与相交于，如图所示． 因为，，，于是平面．又平行于DE，因此平面，因此点到直线的距离就等于点到平面的距离，也就是当点P运动到点时，的面积最小． 运用相似三角形相关知识可得，当的面积最小时，，而，，又，，因此当的面积最小时，． 答案 【题后反思】本题考查面积的最值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 【温馨提醒】立体几何中求最值的方法： （1） 代数法：建立函数关系式，利用函数求最值； （2） 几何法：利用几何关系找到取最值时的条件，直接求最值. 【举一反三】 1． 如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（    ） A．12 B． C． D． 【典例2】在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. （1） 求证:BF⊥DE; （2） 当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【大招指引】本题以直三棱柱为载体，从运动的视角考查了空间想象能力与逻辑推理能力，试题情境为课程学习情境和探索创新情境，解题过程彰显了数学的理性精神.在解题过程中要数形结合，动中求静，寻找几何关系中的不变性.在第（1）题的证法1中，要寻找与运动相关的不变因素，发现无论点D运动到棱A1B1的任何位置，直线DE都在平面EGB1D内，我们可以通过证明BF垂直于平面EGB1D证得BF⊥DE;证法2则通过建立空间直角坐标系，利用数量积为0证得垂直.第（2）题的方法1利用空间直角坐标系，构建所求二面角的关系式，通过求关系式的最值解决问题. 【解析】（1） 证法1: 取BC的中点G，连接EG，GB1，如图①. 因为E，G分别为AC，BC的中点，则EG∥AB∥A1B1，所以点E，G，B1，D共面. 易知BCC1B1为正方形，因为F，G分别为CC1，BC的中点，所以BF⊥GB1. 又BF⊥A1B1，GB1∩A1B1=B1，GB1，A1B1⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D， 因为DE⊂平面EGB1D，则BF⊥DE. 证法2: 因为三棱柱ABC⁃A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，从而BB1⊥AB. 因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，又BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1，故BA，BC，BB1两两垂直. 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图②，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F（0，2，1）.由题意，设D（a，0，2）（0≤a≤2）. 因为=（0，2，1），=（1-a，1，-2），根据·=0×（1-a）+2×1+1×（-2）=0，知BF⊥DE. （3） 方法1: 根据（1）中证法2，设平面DFE的法向量为m=（x，y，z）， 因为=（-1，1，1），=（1-a，1，-2），所以即 令z=2-a，则m=（3，1+a，2-a）. 记平面BB1C1C与平面DEF所成二面角的平面角为θ，因为平面BB1C1C的一个法向量为=（2，0，0），则===. 当a=时，2a2-2a+14取得最小值，此时|cosθ|取得最大值=. 所以（sinθ）min==，此时B1D=. 即当B1D=时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 方法2: 取BC的中点为G，易知△B1GF是△DEF在平面BB1C1C的投影，根据二面角公式，cosθ=，要使得平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，即cosθ=的值最大. 由△DEF在平面BCC1B1上的投影△B1GF为定值，则所求问题转化为求△DEF面积的最小值，而题中E，F为两定点，即线段EF的长度为定值，故所求问题又转化为求点D到EF的距离的最小值. 根据空间向量的点到直线的距离公式，由（1）中证法2得 d===. 当a=时，dmin=，此时=·dmin=··=， 即cosθ的最大值为==， 所以（sinθ）min==，此时B1D=. 即当B1D=时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 【题后反思】本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化，可以求对应的三角形的面积. 【举一反三】 2． 如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.        (1) 求证：； (2) 设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积. 3． 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． B． D． 4． 如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ） A． B． C． D． 5． 如图，在长方体中，为线段上的动点，且为线段上的动点，且为棱上的动点，则下列判断正确的是（ ） A．三棱锥的体积是定值，等于 B．三棱锥的体积不是定值，最小为 C．四棱锥的体积是定值，等于 D．四棱锥的体积不是定值，最大为 6． 如图，在长方体中，点分别是棱上的动点，,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是 A． B． C． D． 7． 在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是 ． 8． 在平面四边形中，，，且，，现沿着把折起，使点到达点P的位置，且，则三棱锥体积的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招6   运动中找不变量 对于涉及动点的问题来说，关键是找到运动中哪些长度、角度以及位置关系等是不变的，进而可以利用这些运动过程中的不变量为突破口解决问题． 立体几何动态问题是高考的热点问题.几何图形在变化的过程中蕴含着某些变与不变的因素，我们可从中分析其变化特点，寻找不变的静态因素，并追踪运动的轨迹，或通过引进参数构建方程、函数或不等式等进行定量计算，从而实现用代数方法解决立体几何问题的目的. 1. 在运动变化中寻找相关的不变因素，建立变量与不变量的有机统一体. 2. 在运动变化中寻找变化的轨迹，考虑运动变化过程中的所有可能情况与区域. 3. 将立体几何问题用代数方法解决，在运动变化中建立函数、方程或不等式等，将所求问题转化为求值或求最值的问题. 4. 利用极限思想考虑运动变化中的极限位置. 5. 利用特殊化思想考虑运动变化中的特殊位置. 6. 通过降维思想，将空间动态问题转化为平面动态问题，利用平面知识加以解决. 【典例1】 长方体中，，，，P是棱上的动点，则的面积最小时，=______． 【大招指引】由于四棱柱是长方体，因此平面，而点P在棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量），这是解题的前提和关键. 【解析】 我们只要得到点P到直线距离的最小值，就能得到面积的最小值．连接AC，，由于四棱柱是长方体，因此平面，而点P在棱上，于是点P到平面的距离是定值（本题中的不变量）．又由于直线在平面中，因此点P到直线的距离大于等于点P到平面的距离．接下来就去找棱上有没有点，使得点到直线的距离等于点到平面的距离．过点D作AC的垂线DE，垂足为E．过点作的垂线，垂足为．连接，与相交于Q．过点Q作平行于DE与相交于，如图所示． 因为，，，于是平面．又平行于DE，因此平面，因此点到直线的距离就等于点到平面的距离，也就是当点P运动到点时，的面积最小． 运用相似三角形相关知识可得，当的面积最小时，，而，，又，，因此当的面积最小时，． 答案 【题后反思】本题考查面积的最值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 【温馨提醒】立体几何中求最值的方法： （1） 代数法：建立函数关系式，利用函数求最值； （2） 几何法：利用几何关系找到取最值时的条件，直接求最值. 【举一反三】 1． 如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可. 【详解】在和中，，所以，则， 过作于，连接，显然，则，且， 又因为，所以平面， 所以， 当最大时，取得最大值，取的中点，则， 所以， 因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为， 所以最大值为，故的最大值为. 故选：C.    【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 【典例2】在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. （1） 求证:BF⊥DE; （2） 当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【大招指引】本题以直三棱柱为载体，从运动的视角考查了空间想象能力与逻辑推理能力，试题情境为课程学习情境和探索创新情境，解题过程彰显了数学的理性精神.在解题过程中要数形结合，动中求静，寻找几何关系中的不变性.在第（1）题的证法1中，要寻找与运动相关的不变因素，发现无论点D运动到棱A1B1的任何位置，直线DE都在平面EGB1D内，我们可以通过证明BF垂直于平面EGB1D证得BF⊥DE;证法2则通过建立空间直角坐标系，利用数量积为0证得垂直.第（2）题的方法1利用空间直角坐标系，构建所求二面角的关系式，通过求关系式的最值解决问题. 【解析】（1） 证法1: 取BC的中点G，连接EG，GB1，如图①. 因为E，G分别为AC，BC的中点，则EG∥AB∥A1B1，所以点E，G，B1，D共面. 易知BCC1B1为正方形，因为F，G分别为CC1，BC的中点，所以BF⊥GB1. 又BF⊥A1B1，GB1∩A1B1=B1，GB1，A1B1⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D， 因为DE⊂平面EGB1D，则BF⊥DE. 证法2: 因为三棱柱ABC⁃A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，从而BB1⊥AB. 因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，又BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1，故BA，BC，BB1两两垂直. 以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图②，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F（0，2，1）.由题意，设D（a，0，2）（0≤a≤2）. 因为=（0，2，1），=（1-a，1，-2），根据·=0×（1-a）+2×1+1×（-2）=0，知BF⊥DE. （3） 方法1: 根据（1）中证法2，设平面DFE的法向量为m=（x，y，z）， 因为=（-1，1，1），=（1-a，1，-2），所以即 令z=2-a，则m=（3，1+a，2-a）. 记平面BB1C1C与平面DEF所成二面角的平面角为θ，因为平面BB1C1C的一个法向量为=（2，0，0），则===. 当a=时，2a2-2a+14取得最小值，此时|cosθ|取得最大值=. 所以（sinθ）min==，此时B1D=. 即当B1D=时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 方法2: 取BC的中点为G，易知△B1GF是△DEF在平面BB1C1C的投影，根据二面角公式，cosθ=，要使得平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，即cosθ=的值最大. 由△DEF在平面BCC1B1上的投影△B1GF为定值，则所求问题转化为求△DEF面积的最小值，而题中E，F为两定点，即线段EF的长度为定值，故所求问题又转化为求点D到EF的距离的最小值. 根据空间向量的点到直线的距离公式，由（1）中证法2得 d===. 当a=时，dmin=，此时=·dmin=··=， 即cosθ的最大值为==， 所以（sinθ）min==，此时B1D=. 即当B1D=时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小. 【题后反思】本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化，可以求对应的三角形的面积. 【举一反三】 2． 如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.        (1)求证：； (2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用可证，从而可证平面，进而可证，从而可证平面，利用线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）可得平面，从而有，进而可知当时，最小，此时面积最小. 过做于，从而可得平面，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接， ，为中点，. 又，，，且. ， ，， 又，，平面， 平面，又平面，. 由已知，，， 又，平面，平面. 而，平面，. （2）由（1）可知，. 又，平面，平面， 又，平面，. 所以，又在棱上移动， 当时，最小，此时面积最小. 在中，，，则，，. 在中，过做于，则， ，平面，于是可得. .    3． 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】由题可得最小，利用展开图可得此时，，利用正弦定理可得的外接圆半径为，进而可得，即得. 【详解】因为固定，所以要使的周长最小，只需最小． 如图，将四棱锥的侧面沿展开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值． 易得，，，． 设的外接圆半径为，则． 设三棱锥外接球的半径为，则， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：D. 4． 如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作，则，则由三角形中位线定理可得，得是异面直线与所成的角，当与在平面里的投影重合时，最小，然后根据已知条件在中求解即可 【详解】如图，作，则. 为中点，是的中位线，则， 则是异面直线与所成的角. 当与在平面里的投影重合时，最小， 设平面，易知为等边的重心，连接 并延长，交于点，作交于点. . 设正四面体的棱长为，则， . 在中，为重心，. 又，则 在中，设， ， . 故选：C. 5． 如图，在长方体中，为线段上的动点，且为线段上的动点，且为棱上的动点，则下列判断正确的是（ ） A．三棱锥的体积是定值，等于 B．三棱锥的体积不是定值，最小为 C．四棱锥的体积是定值，等于 D．四棱锥的体积不是定值，最大为 【答案】D 【分析】根据长方体的性质及锥体的体积公式逐项分析即得. 【详解】对于A：，平面，平面， 平面， 为棱上的动点，点到平面的距离等于到的距离， 点到平面的距离， 所以，体积为定值，故A错； 对于B： ，体积为定值，故B错； 对于C： ，故C错； 对于D：设， ， 所以当时，体积取得最大值16，故D对. 故选：D 6． 如图，在长方体中，点分别是棱上的动点，,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． 设平面PQC′的一个法向量为 则 令z=1，得 a2b2≥2ab，解得ab≥8． ∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小， ∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2 ∵VC′-PQC=VC-PQC′， 故选B 点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积. 7． 在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是 ． 【答案】 【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，可知当时，三角形面积最小，然后证明，得到 为三棱锥的外接球的直径，进一步求解得答案． 【详解】补全截面为截面 如图，设， 直线与平面不存在公共点，平面， 易知平面平面，， 且当与重合时，最短，此时的面积最小， 由等面积法得，即，， ，，平面，则， 又，为三棱锥的外接球的直径，长度为． 三棱锥的外接球的半径为，体积为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 （1） 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． （2） 若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解，考查学生的空间想象能力与思维能力，是中档题． 8． 在平面四边形中，，，且，，现沿着把折起，使点到达点P的位置，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】过点P作于F，连接.过F作EF⊥PC于E，得到，利用分析法，要使三棱锥的体积最大，只需要三角形PCF的面积最大，只需AF最大.判断出当F为BD中点时，即可求解.求出三角形PCF的面积，即可求出体积. 【详解】如图示： 过点P作于F，连接.由题意知，，，且. 所以.又,所以平面. 所以，所以当最大时，取得最大值. 过F作EF⊥AC于E.因为，所以只需EF最大. 在三角形ABD中，，所以A在以D、B 为焦点的椭圆上,如图示： 因为AF⊥BD，由椭圆的几何性质可得，要使AF最大，只需A为短轴顶点，即AF为短轴的一半.此时所以. 所以，所以， 所以. 即三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 【点睛】立体几何中求最值的方法： （1） 代数法：建立函数关系式，利用函数求最值； （2） 几何法：利用几何关系找到取最值时的条件，直接求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$