2025届高三数学解题方法立体几何板块六大招5：三余弦定理讲义

大招5    三余弦定理 处理斜线与平面相交的相关问题时，三余弦定理可以帮助我们快速建立起一个等量关系． 1． 三余弦定理 如图所示，O为平面α内一点，直线l是平面α的一条过点O的斜线，OB为OA在平面α内的投影，OC为平面α内任一直线，则． 证明 如图所示，作于点D，连接AD．因为OB为OA在平面α内的投影，所以平面α，所以．又，，所以平面ABD，所以，所以． 2． 三余弦定理的应用 三余弦定理实际上构建了“水平面”上的、“竖直面”上的以及“斜面”上的的余弦之间的关系，知道其中两个角，就能求出另外一个角，可用于求直线与平面所成的角等相关问题中，能大大简化运算． 【典例1】正四面体中，O为的重心，则_______. 【大招指引】四面体中AB，BO，BD分别为斜线，射影和同点线，故可以联想三余弦定理. 【解析】如图，由三余弦公式，， 显然，，所以. 【答案】 【举一反三】 （2019·新课标Ⅰ卷） 1． 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ． 【答案】. 【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决． 【详解】作分别垂直于，平面，连， 知，， 平面，平面， ，．， ， ，为平分线， ，又， ． 【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍． 【典例2】平行六面体中，已知底面四边形ABCD为正方形，，其中，，体对角线，则b的最大值为______． 【大招指引】平行六面体中，得到，，，，．再由，，得平面，故可以联想三余弦定理，接着在中使用正弦定理得解. 【解析】先过点作平面ABCD于E，过点E作于F，过点E作于G，连接AC，，，得到下图． 由平面ABCD，得到，，，，．再由，，得平面．依葫芦画瓢就有平面．此时用三余弦定理得与．根据，得到，从而有．由于四边形ABCD为正方形，因此，于是点E在直线AC上． 此时，于是．接着在中使用正弦定理得，即，得到．由于，因此b的最大值为，当时取得． 答案 【温馨提醒】 这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积.斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角. 【举一反三】 2． 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是 ．    【答案】 【详解】当位于的中点，点与中点重合，． 随点到点，由，， 得平面，则． 又，，则． 因为，， 所以，故． 综上，的取值范围为． 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件. 3． 二面角是直二面角，，，设直线与、所成的角分别为和，则（    ） A． B． B． D． 【答案】C 【分析】先作出直线与、所成的角，由最小角定理可得：，即可判断出. 【详解】如图， 作出，，连结BC，AD. 因为二面角是直二面角，所以，所以为与所成的角. 同理：为与所成的角. 由最小角定理可得：． 又， ． 故选：C． 4． 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于， 因此 从而 因为，所以即，选D.    【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 5． 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【答案】45° 【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦公式，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°．    6． 在中，，，，P是平面外一点，，则直线与平面所成的角为 . 【答案】45° 【详解】解法一：如图l，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，作于E，∵平面，∴，故平面，从而，不妨设，则， ，∴，从而，故直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，∴，由三余弦公式，， 从而， 故，即直线与平面所成的角为45°．    7． 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意找到异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为，利用勾股定理求出各边长，再利用余弦定理，即可求出结果． 【详解】解：设的中点为，由题意可知平面， 连接、、，在三棱柱中， 所以即为异面直线与所成的角； 设三棱柱的侧棱与底面边长为， 则， 分别在和中，由勾股定理，可知 ，， 在中，由余弦定理，得； 所以异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：D． 8． 如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60°角，则侧棱与底面所成的角为 ．    【答案】45° 【详解】如图，作平面于E，由题意，E应落在的平分线上，即，由三余弦公式，，即， ∴，从而，故侧棱与底面所成的角为45°．    9． 已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为 ． 【答案】## 【分析】利用题干条件证明出全等，作出辅助线，证明出线面垂直，即高线，利用余弦定理和勾股定理求出高线，进而利用体积公式求出答案. 【详解】取BC中点D，连接AD，，过点作⊥AD于点E，因为，，，所以，，故，所以，因为，所以BC⊥平面，因为平面，所以BC⊥，因为，所以⊥平面ABC，由余弦定理得：，所以，因为，由勾股定理逆定理可得：，由勾股定理得：，所以，所以，因为，所以，所以，故，所以点B到底面的距离为，，则四面体的体积为. 故答案为： 10． 如下图所示，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作平面于H，设，，则， 由三余弦公式，，∴， ∵，∴， 从而，故， 两式平方相加得：，∴， 从而，故该三棱柱的高为．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招5    三余弦定理 处理斜线与平面相交的相关问题时，三余弦定理可以帮助我们快速建立起一个等量关系． 1． 三余弦定理 如图所示，O为平面α内一点，直线l是平面α的一条过点O的斜线，OB为OA在平面α内的投影，OC为平面α内任一直线，则． 证明 如图所示，作于点D，连接AD．因为OB为OA在平面α内的投影，所以平面α，所以．又，，所以平面ABD，所以，所以． 2． 三余弦定理的应用 三余弦定理实际上构建了“水平面”上的、“竖直面”上的以及“斜面”上的的余弦之间的关系，知道其中两个角，就能求出另外一个角，可用于求直线与平面所成的角等相关问题中，能大大简化运算． 【典例1】正四面体中，O为的重心，则_______. 【大招指引】四面体中AB，BO，BD分别为斜线，射影和同点线，故可以联想三余弦定理. 【解析】如图，由三余弦公式，， 显然，，所以. 【答案】 【举一反三】 （2019·新课标Ⅰ卷） 1． 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ． 【典例2】平行六面体中，已知底面四边形ABCD为正方形，，其中，，体对角线，则b的最大值为______． 【大招指引】平行六面体中，得到，，，，．再由，，得平面，故可以联想三余弦定理，接着在中使用正弦定理得解. 【解析】先过点作平面ABCD于E，过点E作于F，过点E作于G，连接AC，，，得到下图． 由平面ABCD，得到，，，，．再由，，得平面．依葫芦画瓢就有平面．此时用三余弦定理得与．根据，得到，从而有．由于四边形ABCD为正方形，因此，于是点E在直线AC上． 此时，于是．接着在中使用正弦定理得，即，得到．由于，因此b的最大值为，当时取得． 答案 【温馨提醒】 这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积.斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角. 【举一反三】 2． 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是 ．    3． 二面角是直二面角，，，设直线与、所成的角分别为和，则（    ） A． B． B． D． 4． 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 5． 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    6． 在中，，，，P是平面外一点，，则直线与平面所成的角为 . 7． 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8． 如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60°角，则侧棱与底面所成的角为 ．    9． 已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为 ． 10． 如下图所示，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高为（    ）    A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$