辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期6月月考数学模拟试题（1）

机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（1） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足．其中为虚数单位，则 （      ） A． B．3 C． D．5 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是 （     ） A． B． C． D． 3．将函数的图像向右平移单位后得到函数的图像，若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为 （      ） A． B． C． D． 6．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：．根据复数乘方公式，复数在复平面内对应的点位于 （      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 （      ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 （      ） A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 10．小竹以某速度沿正北方向匀速行进． 某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向． 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动． 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是 （      ） A．1 m/s B．1.2 m/s C．2 m/s D．8 m/s 11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则 （      ） A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为 ． 13．已知复数z满足，则的最小值为 ． 14．已知为的内心，且，记分别为的外接圆、内切圆半径，若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． （1）求； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 已知函数，最小正周期为 （1）求的值及的的取值集合； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围 18．（本小题满分17分） 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． （1）若，求； （2）若平分，求AD的取值范围； （3）若，令，试求的最大值． 19．（本小题满分17分） 设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点． （1）试求向量的坐标，并求出当时的值； （2）若为锐角，求的取值范围； （3）若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 答案第1页，共2页 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（1） 高一数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD BD BCD 1．C 【分析】 利用复数的除法运算及共轭复数的定义求模即可． 【详解】由题意可知， 所以． 故选：C 2．A 【分析】根据函数解析式以及函数奇偶性定义，利用诱导公式或画出对应函数图象对选项逐一分析即可判断得出结论． 【详解】对于A，易知满足，为偶函数， 画出函数图象如下图所示： 最小正周期为，满足题意，即A正确； 对于B，易知为奇函数，因此B错误； 对于C，易知为奇函数，可知C错误； 对于D，易知满足为偶函数， 其图象如下图所示： 显然其最小正周期为，不合题意，即D错误． 故选：A 3．D 【分析】先由函数平移的性质得到，再由半角公式和二倍角的余弦公式计算即可． 【详解】由题意可得， ， 又， 所以． 故选：D 4．A 【分析】由面面平行的性质可得A正确；由线面的位置关系可得B，C，D错误． 【详解】对于A，若则由面面平行的性质可得A正确； 对于B，若则或者异面，故B错误； 对于C，若则或，故C错误； 对于D，若则或异面，故D错误． 故选：A 5．C 【分析】结合图形，设，将，用的三角函数式表示，利用三角恒等变换将矩形面积化成，利用的范围，结合正弦函数的图象特点即可求得其最大值． 【详解】如图，设，则，， 由正弦定理，，解得， 故矩形的面积为： ， 因，则得， 故当时，即时，． 故选：C． 6．D 【分析】根据复数乘方公式结合三角函数诱导公式及复数的几何意义可求得结果． 【详解】由题意得， 因为，，， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D 7．B 【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解． 【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或． 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解． 8．C 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解． 【详解】由，得取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为． 故选：C 9．BD 【分析】对于A，向量不能比较大小； 对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断． 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C错误； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BD． 10．BD 【分析】建系，分析危险区域的范围，可知原问题转化为图像，，与图像的交点问题，结合图象分析求解． 【详解】依题意，绘出示意图如图所示 易知，当且仅当在喷洒范围与行进路线重叠的危险区域内，小竹可能被淋湿． 由于洒水桩最初面朝正东方向，不妨以洒水桩为起点向面朝方向作射线，即可将问题转化为小竹（用点代替）与该射线在行进路线上的交点不重合的问题． 设时间为t秒 以洒水桩为原点，正东方向、正北方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 则小竹行进路线的方程为， 由每3秒旋转一周循环转动知t秒旋转， 因为， 结合题意可知， 因为水柱所在射线与行进路线的交点纵坐标为， 又因为小竹（用点代替）的纵坐标为， 故可将原问题转化为图像，， 与图像的交点问题，即求当v为何值时两图像无交点， 由图可得：． 结合选项可知：AC错误；BD正确． 故选：BD． 【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 11．BCD 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D． 【详解】对于A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，A错误； 对于B，取中点，中点，连结， 易证，因为，所以，即，又，，所以平面， 因为，所以点的轨迹为矩形，，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C：连接，，以为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 易知平面，FT不含于平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面． 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．-1 【分析】利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。 【详解】向量，满足，，且，可得， 即，可得，则在方向上的投影为： 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。 13．2 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替． 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 14． 【分析】取的中点，即可得到､､三点共线，求出，作于，再求出的三角函数值，从而求出，再由二倍角公式求出，最后由正弦定理计算可得． 【详解】如图，取的中点， 依题意，有． 所以､､三点共线，． 由，知． 作于，则， 所以，，． 所以． 又． 所以，则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）根据锥体体积公式可得，在利用割补法求； （2）根据题意利用等体积法求点到面的距离． 【详解】（1）截面将正方体分成两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥， 其底面是腰长为的等腰直角三角形，面积为． 又底面上的高为， 所以三棱锥的体积． 因为正方体的体积， 所以剩余部分的体积． （2）在中，， 如图，取的中点，连接， 则， 所以， 的面积． 设点到平面的距离为， 因为三棱锥与三棱锥是同一个几何体， 所以，结合（1）得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 17．（本小题满分15分） （1）2，； （2）． 【分析】（1）利用给定的周期求出，再解正弦函数不等式即得． （2）根据给定条件，求出的取值集合，再换元并借助二次函数列出不等式组求解即得． 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得， 于是，由，得， 因此，解得， 所以，的取值集合是． （2）由（1）知，， 由，得， 于是，则， 令，，不等式恒成立，即恒成立， 设， 因此，解得， 所以实数的取值范围是． 18．（本小题满分17分） （1） （2） （3） 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出bc的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值． 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； （2）因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即AD的取值范围为． （3）由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 19．（本小题满分17分） （1），； （2） （3）证明过程见解析 【分析】（1）由比例关系得到，结合向量减法法则得到，同理可得，两边平方，结合向量数量积公式求出，开方得到模长； （2）若为锐角，则且不同向共线，利用基底法和向量数量积公式得到，结合正弦和余弦函数单调性，得到； （3）作出辅助线，得到四边形与平行四边形的面积比为，结合平行四边形与平行四边形的面积比为，求出答案． 【详解】（1）由题意得，故， 因为为的中点，，所以， 因为， 所以， 所以； 所以； 同理，，，为的中点，所以， 故， 则， 即， ，又，故 ， 故； （2）， ， 若为锐角，则且不同向共线， 由于，两向量显然不共线， 其中 ， 故，， 又是平面内相交成角的两条不共线射线，故， 在上单调递减， 设，故，其中为锐角， 而在上单调递增，所以， 而，故； （3）连接，与相交于点，连接， 则，且，点为中点，四边形为平行四边形， 其中，， 所以， 设，则，， 所以， 故四边形与平行四边形的面积比为， 又平行四边形与平行四边形的面积比为， 故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（1） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足．其中为虚数单位，则 （      ） A． B．3 C． D．5 2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是 （     ） A． B． C． D． 3．将函数的图像向右平移单位后得到函数的图像，若，则的值为 （      ） A． B． C． D． 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为 （      ） A． B． C． D． 6．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：．根据复数乘方公式，复数在复平面内对应的点位于 （      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 （      ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 （      ） A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 10．小竹以某速度沿正北方向匀速行进． 某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向． 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动． 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是 （      ） A．1 m/s B．1.2 m/s C．2 m/s D．8 m/s 11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则 （      ） A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为 ． 13．已知复数z满足，则的最小值为 ． 14．已知为的内心，且，记分别为的外接圆、内切圆半径，若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且． （1）求； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 已知函数，最小正周期为 （1）求的值及的的取值集合； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围 18．（本小题满分17分） 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． （1）若，求； （2）若平分，求AD的取值范围； （3）若，令，试求的最大值． 19．（本小题满分17分） 设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点． （1）试求向量的坐标，并求出当时的值； （2）若为锐角，求的取值范围； （3）若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期期 6月月考调研试题（1） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考员 用 2B 铅笔填涂右侧 缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 由监考员负责粘贴 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 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