精品解析：2025年吉林省长春市德惠市中考二模数学试题

2025年德惠市九年级质量监测（二）数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 5. 抛物线与直线的交点情况是（　　） A. 有两个交点 B. 有且只有一个交点 C. 至少有一个交点 D. 没有交点 6. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的相反数是_________． 10. 分解因式：_______ 11. 多项式的次数是___________． 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 13. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 14. 已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是___________． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 17. 某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 19. 为了在格格、莹莹两名跳水运动员中选择一人代表跳水队参加比赛，现随机抽取两人今年内平时训练的10次成绩进行考察，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，测试成绩用x 表示，满分为10分，分为四个等级：A（优秀）；B（良好）；C（合格）；D（待提高）． 格格的十次成绩（分）：6.5，9.2，8.7，8.4，9.7，8.7，9.6，7.9，9.5，8.8． 莹莹的十次成绩中在C 组的是：7.7，7.2，7.8. 部分信息相关如下： 信息一：格格、莹莹被抽取的跳水成绩统计表 平均数 中位数 方差 格格 a b 0.828 莹莹 8.7 c 0.87 信息二：莹莹被抽取的跳水成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）格格、莹莹被抽取的跳水成绩统计表中， ， ；莹莹被抽取的跳水成绩扇形统计图中，扇形B对应的圆心角度数为 ； （2）求格格被抽取的十次跳水成绩的平均数a； （3）根据本次调查，请你结合平均数和方差对格格、莹莹被抽取的十次成绩进行评价，并根据评价结果在 格格、莹莹中推荐一位选手代表跳水队参加比赛． 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中，在上找一点，连接平分的周长． （2）在图②中，在上找一点，连接平分的面积． （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 21. 在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． （1）从地到地的距离为___________； （2）求出段的函数表达式； （3）求小明距地时所用的时间． 22. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 23. 如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是___________； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连结，以为边构造矩形．当，且抛物线的顶点到所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年德惠市九年级质量监测（二）数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面给出的四个数，使式子的结果为正数的是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算、正负数等知识，熟练掌握有理数加法法则是解题关键．根据有理数加法法则以及负数的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D. ，本选项符合题意． 故选：D． 2. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得． 【详解】解：由题意可得：小明这样走的数学依据是：垂线段最短， 故选：B． 4. 已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 5. 抛物线与直线的交点情况是（　　） A. 有两个交点 B. 有且只有一个交点 C. 至少有一个交点 D. 没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式来判断方程根的个数是解题的关键．将直线解析式代入抛物线解析式，消去，得到关于的一元二次方程，然后利用根的判别式来判断方程根的个数，即可解答． 【详解】解：将代入，得， 整理得，， ， 抛物线与直线没有交点． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．由矩形的性质得，，由翻折得，，由，，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 把△沿折叠，点落在边上的点处， ，， ，， ， ， 故选：C． 7. 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， 故选：C 8. 如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点B，以为斜边作等腰直角三角形，且点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，连接，作轴于D，轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设A点坐标为，得出得出，，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于D，轴于E， ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设A点坐标为，得出，， ∴C点坐标为， ∵， ∴点C在比例函数图象上． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 的相反数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 10. 分解因式：_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式和公式法分解因式，先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 多项式的次数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数，根据“一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数”即可求解，掌握多项式的次数的定义是解题的关键． 根据多项式的次数知识，进行作答，即可求解 【详解】解：多项式的次数是3， 故答案为：3 12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 13. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 14. 已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是___________． ①； ②若为直径，则； ③若，则四边形是轴对称图形； ④若，则． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，理解相关知识是解答关键．根据题意，无法证明，结论①不正确；根据题意可得，即可证明，结合为直径可知，然后利用勾股定理计算的值，可判断结论②；设交于点，首先证明为直径，进而可知，均为等腰三角形，即可判定结论③；连接，设交于点，证明，进而可得，再证明，，在中，利用三角函数解得的值，进一步确定，可判断结论④． 【详解】解：根据题意，无法证明，结论①不正确； 若为直径，如下图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为直径，且的半径为2， ∴，， ∴，即， 解得（负值舍去），故结论②正确； 如下图，设交于点， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴为直径， ∵， ∴， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴四边形是轴对称图形，故结论③正确； 若，如下图，连接，设交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，先根据完全平方公式和去括号法则化简，然后合并同类项，最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为： 由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种， ∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率． 17. 某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 18. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ： （1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 19. 为了在格格、莹莹两名跳水运动员中选择一人代表跳水队参加比赛，现随机抽取两人今年内平时训练的10次成绩进行考察，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，测试成绩用x 表示，满分为10分，分为四个等级：A（优秀）；B（良好）；C（合格）；D（待提高）． 格格的十次成绩（分）：6.5，9.2，8.7，8.4，9.7，8.7，9.6，7.9，9.5，8.8． 莹莹的十次成绩中在C 组的是：7.7，7.2，7.8. 部分信息相关如下： 信息一：格格、莹莹被抽取的跳水成绩统计表 平均数 中位数 方差 格格 a b 0.828 莹莹 8.7 c 0.87 信息二：莹莹被抽取的跳水成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）格格、莹莹被抽取的跳水成绩统计表中， ， ；莹莹被抽取的跳水成绩扇形统计图中，扇形B对应的圆心角度数为 ； （2）求格格被抽取的十次跳水成绩的平均数a； （3）根据本次调查，请你结合平均数和方差对格格、莹莹被抽取的十次成绩进行评价，并根据评价结果在 格格、莹莹中推荐一位选手代表跳水队参加比赛． 【答案】（1）8.75，7.75，， （2）8.7 （3）推荐甲代表跳水队参赛 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握中位数的计算，圆心角的计算，平均数的计算，由方差作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数的计算方法，圆心角的计算方法计算即可求解； （2）根据平均数的计算方法计算即可； （3）根据调查数据作决策即可求解． 【小问1详解】 解：格格的十次成绩（分）：6.5，9.2，8.7，8.4，9.7，8.7，9.6，7.9，9.5，8.8， 从小到大的排序为：6.5，7.9，8.4，8.7，8.7，8.8，9.2，9.5，9.6，9.7， ∴， 已知满分为10分，分为四个等级：A（优秀）；B（良好）；C（合格）；D（待提高）， 莹莹在A（优秀）等级的分数有个，在C（合格）等级的分数是：7.7，7.2，7.8，在D（待提高）等级的分数有个， ∴莹莹在B（良好）等级的分数有个， ∴， ∴扇形B对应的圆心角度数为， 故答案为：8.75，7.75，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：甲与乙的平均数虽然一样，但乙的方差较大，，说明乙的成绩波动较大，故我推荐甲代表跳水队参赛． 20. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中，在上找一点，连接平分的周长． （2）在图②中，在上找一点，连接平分的面积． （3）在图③中，在上找一点，连接，使． 【答案】（1） 点即为所求． （2） 点即为所求． （3） 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即可． （2）取的中点即可． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图①，由勾股定理得，， 取的中点，则点即为所求． 【小问2详解】 解：取的中点，则点即为所求． 【小问3详解】 解：取格点，，使，且，连接交于点， 此时△△， 则， ， 则点即为所求． 21. 在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． （1）从地到地的距离为___________； （2）求出段的函数表达式； （3）求小明距地时所用的时间． 【答案】（1）1500 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式； （3）令（2）中的值为，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间． 【小问1详解】 解：由图象可得，从地到地的距离为：， 故答案为：1500； 【小问2详解】 解：由图象可得，小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 22. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 【答案】定理证明： 证明：延长到E，使，连接，则，     ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； 结论应用：； 拓展应用：2 【解析】 【分析】定理证明：证明四边形为矩形，利用矩形的性质，即可得证； 结论应用：设交于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出，进而得到，证明为等腰三角形，得到，即可得出结果； 拓展应用：根据题意可证，，， 得到，，则，连接，结合斜边上的中线的性质的，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：定理证明：略 结论应用：如图中，设交于点O． ∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展应用：∵，，，， 则，， ∴，， ∴， ∴，，则， 连接， ∵点分别为的中点， ∴，， ∴， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，直线三角形斜边上的中线，等腰三角判定和性质，勾股定理，解直角三角形．准确的添加辅助线，是解题的关键． 23. 如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长； （2）根据等面积法即可解答； （3）如图2，证明，列比例式得：：：：，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答； （4）分两种情况：①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；②当，在的两侧时，如图，同理可解答． 【小问1详解】 解：如图1，， 菱形的边长为，面积为， ， ， 由勾股定理得： 【小问2详解】 如图2，过点作于，过点作于， 由（1）可得：， ，， ， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【小问3详解】 如图2，，， ， ， 即：：：：， 如图，过点作于， 设，，， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即正方形的边长为 【小问4详解】 分两种情况： ①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， 由（3）知：设，，， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点， 同理设，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键，并运用分类讨论的思想解决问题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，y的取值范围是___________； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图像G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连结，以为边构造矩形．当，且抛物线的顶点到所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）是或 （4）1或0或． 【解析】 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）先求出对称轴，然后求出当时，的最大值和最小值即可； （3）当时，图象在处取最大值，在处取最小值，即可表示出，进而求解，同理可得和时的情况； （4）由题意可知轴，轴，抛物线的顶点到所在直线的距离等于，当，且抛物线的顶点到所在直线的距离等于矩形一边的长度时，有两种情况：和，构造方程即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入中，得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：，对称轴为直线， 当时，函数在时，有最大值为2， 函数在时，有最小值为0， 当时，的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点，分3种情况进行讨论： ①当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得或（舍去）， ②当时， 同理可得， ， 不等式无解， ③当时，图象在顶点处最高，在处最低， ， ， 解得或（舍去）， 综上的取值范围是或； 【小问4详解】 解：由题意知轴，轴， 抛物线的顶点到所在直线的距离等于， 当时，与顶点重合，此时， 当时，点在点的左侧或右侧， ， 解得或（当时，点在点的左侧） 的值为1或0或． 【点睛】本题考查二次函数的性质和矩形的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，利用点的坐标建立方程或不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $