精品解析：2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县贯洞中学一模数学试题

2025年从江县贯洞中学中考一模 九年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下各小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列各数中，数值最大的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 截至2025年1月，贵州省高速公路总里程达9042公里．数据9042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算结果等于（ ） A. B. a C. 1 D. 5. 贵阳老城“九门四阁”之一的大西门城门楼亮相，再现了贵阳老城的历史文化风采．若将次南门的位置记为原点O建立如图所示的直角坐标系，则可以表示“大西门城门楼”位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过．若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋中装有9个红球、8个白球、7个黑球、个黄球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，以下事件中，可能性最小的是（ ） A. 摸出一个红球 B. 摸出一个白球 C. 摸出一个黑球 D. 摸出一个黄球 8. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 5 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 11. 某花园内有一块五边形空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 13. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 15. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为______． 16. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察下面的例题及解答过程，完成下列问题： ①多项式为 ，多项式为 ； ②请继续完成该题，并求出计算结果． 18. 每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，并从参加竞赛的学生中随机抽取50名学生，将其成绩统计如下： 成绩（单位：分） 人数（单位：人） 2 8 12 16 12 其中分的成绩如下：81，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，90 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出此次竞赛成绩的中位数； （2）已知全校共有500名学生参加此次竞赛，若成绩在85分以上为优秀，请估计此次竞赛成绩为优秀的学生人数； （3）根据以上数据分析并请写出一条你认为正确的结论． 19. 如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2），，，求的长 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 21. 如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． （1）从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） （2）若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 22. 综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：×× 组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． （1）任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． （2）任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求的半径的长． 24. 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，点在球台中轴线上，发球机的出球在点正上方处，以球台的中轴线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若把球看成点，球从点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球台边界距点的水平距离为． （1）求与函数关系式； （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）保持发球角度、速度不变的情况下，将发球机调低后（抛物线形状不变），球从点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与点的水平距离． 25. 【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________； 问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道． ①判断的形状，并说明理由； ②试求该运输通道的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年从江县贯洞中学中考一模 九年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下各小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列各数中，数值最大的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正确估算无理数的大小是解题的关键．根据实数比较大小的方法分析即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴最大的数为， 故选：A． 2. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的概念是关键；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据定义逐一判断即可. 【详解】解：A、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； B、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； C、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； D、本选项中的字母是中心对称图形，符合题意； 故选：D. 3. 截至2025年1月，贵州省高速公路总里程达9042公里．数据9042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 计算的结果等于（ ） A. B. a C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．根据同分母分式加减法则计算即可得解． 【详解】解： , 故选：C； 5. 贵阳老城“九门四阁”之一的大西门城门楼亮相，再现了贵阳老城的历史文化风采．若将次南门的位置记为原点O建立如图所示的直角坐标系，则可以表示“大西门城门楼”位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的特点，熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的正负规律是解题的特点．根据平面直角坐标系内各象限内点的特点进行解答即可． 【详解】解：大西门城门楼在第二象限内，因此横坐标为负数、纵坐标都是正数， 所以可以表示大西门城门楼的位置，故C正确． 故选：C． 6. 如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过．若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据不超过是小于等于的意思即可得到答案． 【详解】解：∵小型汽车在该路段行驶的速度不超过， ∴， 故选：A． 7. 一个不透明的袋中装有9个红球、8个白球、7个黑球、个黄球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，以下事件中，可能性最小的是（ ） A. 摸出一个红球 B. 摸出一个白球 C. 摸出一个黑球 D. 摸出一个黄球 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，熟练掌握随机事件发生的概率的计算方法是解本题的关键． 根据概率公式，然后结合选项，即可得到结论． 【详解】解：摸到红球的可能性为：， 摸到黄球的可能性为：， 摸到白球的可能性为：， 摸到黑球的可能性为：， ∵， ∴摸到黑球的可能性最小， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键；由题意可知，是的垂直平分线，可得，再结合线段间的代换计算三角形的周长即可. 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ， ， 的周长， 故选A. 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为，每人8竿少2竿时竹竿总数为，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设牧童有x人， ∵每人6竿多14竿， ∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿， ∴竹竿总数为， ∴， 故选：A． 11. 某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是，半径是的扇形的面积是解题关键．先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：该五边形的内角和为， 扇形区域总面积是， 故选：C． 12. 如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于点，如解图， 由题意得，，， ， ， ， ， 故选：D． 13. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 14. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 【答案】1000 【解析】 【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 所以估计鱼塘中约有1000条鱼， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的概念，相似三角形的性质是解答问题的关键． 根据位似变换的概念得到，求出相似比，计算即可． 【详解】解：根据题意得与是位似图形， ， ， ， 与的位似比为， 点的坐标为，即， 故答案为： ． 16. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察下面的例题及解答过程，完成下列问题： ①多项式为 ，多项式为 ； ②请继续完成该题，并求出计算结果． 【答案】（1）；（2）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，负整数指数幂和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此计算求解即可；②根据已给过程合并同类项即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①由题意得，； ，； ②原式 ． 18. 每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，并从参加竞赛的学生中随机抽取50名学生，将其成绩统计如下： 成绩（单位：分） 人数（单位：人） 2 8 12 16 12 其中分的成绩如下：81，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，87，87，88，88，90 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出此次竞赛成绩的中位数； （2）已知全校共有500名学生参加此次竞赛，若成绩在85分以上为优秀，请估计此次竞赛成绩为优秀的学生人数； （3）根据以上数据分析并请写出一条你认为正确的结论． 【答案】（1）82 （2）180人 （3）抽取的学生中有2人成绩小于或等于60分 【解析】 【分析】本题考查的是从频数分布表中获取信息，求解数据的中位数，样本估计总体，利用合适的统计量进行分析，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． （1）由从小到大排列的50个数据得到排在第25个，26个数据是82，82，可得中位数； （2）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可； （3）根据表格信息即可作答． 【小问1详解】 解：∵分的成绩如下： 81   81   82   82   83   84   84   84   85   85   86   87   87   88   88   90 ∴排在第25个，26个数据是82，82， ∴中位数为：（分） 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计此次竞赛成绩为优秀的学生有180人； 【小问3详解】 解：①抽取的学生中90分以上有12人， 占总人数的； ②抽取的学生中有2人成绩小于或等于60分（答案不唯一，只要言之有理均可）． 19. 如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2），，，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理得，结合，即可求证； （2）证明是等边三角形，，再由勾股定理求解，即可求解． 【小问1详解】 证明：点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ， 即的长为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，表示出，，结合得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 一次函数的解析式为， 把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 设，则， ，， ， ， 或， 或． 21. 如图，某工厂与，两地有公路和铁路相连．该工厂从地购买1000元/吨的原料运回工厂，加工成8000元/吨的产品运到地．已知公路的运价为元/（吨·km），铁路的运价为元/（吨·km）． （1）从地运回吨原料到工厂，需要的运费是多少？（用含的代数式表示） （2）若其中一批原料，从地运回工厂，到加工成产品运到地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料为多少吨？每吨原料能加工成的产品的重量是多少？ 【答案】（1）需要的运费是元 （2）这一批原料有500吨，每吨原料能加工成的产品的重量是吨 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找准等量关系． （1）根据题意，列代数式，合并同类项即可； （2）设这一批原料有吨，加工成的产品有吨，根据所需的费用列出方程组进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得（元）， 答：需要的运费是元； 【小问2详解】 解：设这一批原料有吨，加工成的产品有吨， 解得 ， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品的重量是吨． 22. 综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：×× 组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． （1）任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． （2）任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】（1）②，③ （2）选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【解析】 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【小问1详解】 解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； 【小问2详解】 解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求的半径的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接、，根据切线的性质得，再根据垂径定理得，则，于是证得得到，再根据切线的判定定理即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接、， 是的切线， ， ，是直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：，理由如下 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 的半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，点在球台中轴线上，发球机的出球在点正上方处，以球台的中轴线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若把球看成点，球从点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球台边界距点的水平距离为． （1）求与的函数关系式； （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）保持发球角度、速度不变的情况下，将发球机调低后（抛物线形状不变），球从点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与点的水平距离． 【答案】（1） （2）解：球能越过球网，不会出界，理由如下： 当时，， ∴球能过网， 当时，， ∴球不会出界， ∴球能越过球网，也不会出界； （3）球的落点与点的水平距离为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点代入求出的值即可求解； （2）分别求出，时的函数值，再比较判断即可； （3）将代入，得出，再令，则，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将点代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，点， 设， 将代入，得：， 解得：， ∴， 令，则， 解得，（舍去）， ∴球的落点与O点的水平距离为米． 25. 【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道． ①判断的形状，并说明理由； ②试求该运输通道的长度． 【答案】（1）6； （2）是等腰直角三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 （3）①△ABE是等腰直角三角形，理由： 过点A作于点G，如图③． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， ∴，米， ∴40米， 在和中， ， ∴， ∴，，即， ∴是等腰直角三角形． ②该运输通道的长度DF为80米 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形的中位线定理，即可解答； （2）通过证明，得出，即可得出结论； （3）①过点A作于点G，通过证明 ，得出，，即，即可得出结论是等腰直角三角形．②连接、，取的中点M，连接， 根据等腰直角三角形的性质得出．再证明，得出．则为的中位线，得出米，，进而得出为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴点为中点， ∵点F为边的中点， ∴， ∴，即正方形边长为6； 故答案为：6； （2）略 （3）①略 ②连接、，取的中点M，连接，如图③． ∵F为的中点，和都是直角三角形， ． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点F、M分别为、的中点， ∴为的中位线， 米，， ，即为等腰直角三角形， 米， 即该运输通道的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $