精品解析：四川省成都市列五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在等差数列中，为其前n项和，若，则 A. 60 B. 75 C. 90 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果. 【详解】，即，而，故选B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 2. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和. 【详解】, 令，则， 即， 又， 所以， 故选：D. 3. 已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】又得到，结合双曲线焦点位置求解即可. 【详解】解：因为双曲线C：的离心率为2， 所以，焦点， 又双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 4. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，然后列式求解即可. 【详解】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列， ，即，解得或63. 又当时，，不符合题意，舍去，故. 故选：B. 5. 将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 18种 【答案】A 【解析】 【分析】先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，由排列组合计数求解即可. 【详解】由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中， 则不同的安排方法有(种). 故选:A. 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（ ） ①函数的图象关于对称 ②函数在区间上为增函数 ③函数在处的切线的倾斜角大于 ④关于的不等式的解集为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到，即原函数是增函数可判断①②③；令，求判断在上单调性，利用单调性可解不等式可判断④. 【详解】对于①②，因为函数的导函数， 可知在上是单调递增函数，图象不关于对称，故①错误，②正确； 对于③，的图象都在的上方，所以， 设在处的切线的倾斜角为， 则在处切线的斜率， 因为正切函数在的单调递增，所以倾斜角大于，故③正确； 对于④，因为，令， 不等式等价于， 则，可知在上单调递增， 又因为，则不等式的解集为， 所以关于的不等式的解集为，故④正确. 故选：B. 8. 函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可. 【详解】由，又， 因为任意，都有， 所以是函数的最小值，也是极小值， 故有两实根，即有两实根，则， 记二次函数的零点为， 且，则在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，因为是最小值， 所以，即， 解得，故， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种 C. 不相邻的排法种数为72种 D. 按从左到右的顺序排列的排法有120种 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项通过捆绑法即可判断；B选项分在最左端和在最左端两种情况考虑；C选项利用插空法判断； D选项用的全排列除以的全排列即可. 【详解】A选项：把绑在一起，且在的右边，有种，A正确； B选项：若在最左端，则有种，若在最左端，则有种，共有种，B正确； C选项：先排，再把插入空中，有种，C正确； D选项：有种，D错误. 故选：ABC. 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D. 【详解】由可得， 设，则，所以（为常数）， 所以因为，所以，即 对于A，因为，所以时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确； 对于B，当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，且由A可知，在单调递增. 所以，解得，故B不正确； 对于C，若即，当时，恒成立； 当时，等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故C正确； 对于D，，即， 因为当时，，当时，在单调递增，且， 所以，且，则， 又因为，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定，再根据二项式展开式的通项求出时对应常数项，将代入通项即可求解. 【详解】根据 的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，可得， 所以展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故答案为： 13. 若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，考虑且不恒为零时实数的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零. 在上恒成立等价于在上恒成立， 故即， 而当，当且仅当时有，故不恒为零. 的最小值为. 填. 【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则且不恒为零． 14. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 ①，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以，， 故， 所以， 两式相减得， 所以. 16. 已知函数. （1）若在处的切线斜率为2，求切线方程. （2）求的单调区间； （3）当时，求函数的极值. 【答案】（1） （2） 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，递增区间为. （3），. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列方程求解a，然后求出，即可写出切线的点斜式方程； （2）求出导函数，分两类情况进行讨论，根据导数的正负确定单调性； （3）求出，因式分解为准二次函数型，根据导数的正负判断函数的单调性从而确定极值点，求出极值. 【小问1详解】 ，，所以 切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 若，由，得；由，得， 的单调递减区间为，递增区间为. 综上， 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，递增区间为. 【小问3详解】 当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由几何性质得四边形为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理证得结论； （2）取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式从而得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 由，点为中点，可得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为直线与平面所成的角为 ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2） （i）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程； （2）（i）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点；（ii）设，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理求得的最小值为；当直线斜率不存在时，由抛物线定义知，从而可求解. 【小问1详解】 由题可知，解得. 所以的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，当直线斜率存在时， 设直线的方程为， 与抛物线联立得，消去得， 由题意，所以. 所以 ， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数. （1）若是的极大值点，求的值 （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，由可得的取值，根据的取值检验极值点即可得结论； （2）先结合导函数求出函数的最小值，再进行分类讨论，结合零点存在性定理求解； （3）构造函数，求导函数，再结合的取值不同分类讨论即可． 【小问1详解】 又得， 当时，，此时是极大值点 当时，，此时是极小值点 ； 【小问2详解】 ，则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. 【小问3详解】 ，则， 令，则， ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故， 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在等差数列中，为其前n项和，若，则 A. 60 B. 75 C. 90 D. 105 2. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 18种 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，为的导函数，已知的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（ ） ①函数的图象关于对称 ②函数在区间上为增函数 ③函数在处的切线的倾斜角大于 ④关于的不等式的解集为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排或，最右端不能排，则不同的排法共有42种 C. 不相邻的排法种数为72种 D. 按从左到右的顺序排列的排法有120种 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 11. 设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的二项展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项为_____ 13. 若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______. 14. 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）在等差数列中，，，求数列的前n项和. 16. 已知函数. （1）若在处的切线斜率为2，求切线方程. （2）求的单调区间； （3）当时，求函数的极值. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 19. 已知函数. （1）若是的极大值点，求的值 （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $