精品解析：山东省菏泽第一中学2026-2027学年高三上学期期中考试模拟（一）数学试题

高三上学期期中考试模拟试题 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，则 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据补集和交集的定义求解. 【详解】因为，所以或， 所以或. 3. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象. 由 的图象关于 轴对称知，直线 是 图象的一条对称轴， 即 . 则 ，，即 ，. 又 ，故取 ，得 . 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值验证求解. 【详解】对，，且， 所以是奇函数，排除选项， 又当时，，排除选项B， 故A正确. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，将问题转化为求的最小值，结合基本不等式求解即可. 【详解】令，所以， 由于，所以， 由于，当且仅当时等号成立， 所以，则的最小值为 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以且， 即，且，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 7. 已知，，，．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用向量的坐标运算表示出，再表示出模长，然后利用三角换元结合辅助角公式可得. 【详解】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系， 因为，所以， 则， 因为，所以， 又，即， 所以， 因为，即， 设，， 可得 所以的最大值为. 8. 已知函数，若任意斜率为的直线与曲线都有且仅有一个公共点，则在下列区间中一定不存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出，且，再结合题意先假设函数在某区间上大于或小于恒成立，然后将看成自变量，将看成参数，求的范围. 【详解】设直线的方程为，联立方程由题意得对任意的，该方程有且只有一个实数根， 令，函数在上单调，由， ，函数在上只能单调递增，恒成立， ，，且， ， 当时，假设在某区间上恒成立， 由，且，， ，只需让恒成立， 令，，，， 函数是关于的开口向上的二次函数，其对称轴为， ， 由，，因此当时，恒成立， 函数在上一定不存在零点，C正确. 【点睛】得出，且之后，还可以通过取特值的方法去排除ABD选项. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知单位向量，的夹角为，为的外心，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算结合解三角形的正弦定理直接求解即可. 【详解】对于A选项，，，，所以， ，所以，即，故A对； 对于B选项，，所以，又因为，是等腰三角形，所以，故B错； 对于C选项，的外接圆半径可由正弦定理得，即，因为是等腰三角形，所以如草图所示： ，设， 有即 即，联立可得或， 当时，， 此时与不符， 当时，， 此时与相符，所以，故C对； 对于D选项，，由得，所以，故D对. 10. 关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. －1 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件判断的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可． 【详解】关于的不等式的解集中恰有4个整数， 所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个． 不等式，对应的方程为：， 方程的根为：和； 由题意知，，则，解得； 当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意． 当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意． 当时，不等式的解集是,，此时， 解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意． 当时，不等式的解集是,，， 解集中含有整数个数多于4个，不满足题意． 综上知，的值可以是和． 故选：AD 11. 已知是定义在区间上的增函数，且对任意的正数，，满足．设，，为互不相等的正数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求出，当时，，当时，，然后再逐一判断. 选项A：取特值排除. 选项B：由题意结合基本不等式判断. 选项C：先推导出，将原式变形为， 再结合题中条件可判断. 选项D：令，令，，， 将原式变形为，再结合题中条件可判断. 【详解】令，，， 是定义在区间上的增函数，当时，，当时，， 选项A：， 由题知不一定成立，例如当时， ，A错误. 选项B：，，为互不相等的正数，， ，， ，当时等号成立，，，为互不相等的正数，等号不成立， 成立. B正确. 选项C：令，，，， 令， ， 由，， 不妨设，，， 又是定义在区间上的增函数，，， ，， ，C正确. 选项D：令，令，，， ， ， , , 不妨设，，，， ，，，，, 又是定义在区间上的增函数，，， ，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 13. 已知关于的方程恰有2个实数解，则实常数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先注意到是方程的一个解，然后当时，分离变量并通过数形结合将问题等价转换为函数和的图象有且仅有一个交点，由此画出图象分析即可求解. 【详解】当时，方程成立，故是方程的一个解， 当时，将方程变形为， 不妨设， 则由题意可知函数和的图象有且仅有一个交点， 在同一平面直角坐标系中分别画出两函数图象，如下图所示： 当且仅当时，函数和的图象有且仅有一个交点，满足题意. 故答案为：. 14. 已知，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式可得消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得解． 【详解】由题意得：，，， 则， 当且仅当时等号成立， 即， 即， 则有， 则，， 又在，单调递增， 在，上单调递减， 故在，上单调递增， 则当，时，即、时， 有最大值， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及二倍角公式即可求解， （2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理可得. 因为， 所以， 即. 又，所以， 则. 因为，所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 故. 因为，所以. 由余弦定理得， 故. 16. 已知向量，，其中． （1）若与共线，求的值； （2）若，不共线，，，，，，三点共线，，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由与共线的坐标表示得到关于的方程,再结合确定的范围,求出. （2）先用,表示,,由,,三点共线且,不共线,比较系数求出.再把用坐标表示,利用辅助角公式化为,解关于的三角不等式,最后排除,共线的情形. 【小问1详解】 因为与共线,所以,即. 即. 由,得,所以或. 故或. 【小问2详解】 由已知,得,. 因为,,三点共线,所以存在,使得. 即,整理得. 因为,不共线,所以,且. 解得,. 所以. 又,所以. 由,,得,且. 由辅助角公式得. 所以. 由,得. 由,得. 所以,解得. 又,不共线,所以， 所以的取值范围为. 17. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程； （2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围； （3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【小问1详解】 若，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，，所以. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 【答案】（1）的单调递减区间是；单调递增区间是； （2） （3）由（2），， 又，可知， 因为函数在区间上单调递减，故， 令，， ，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， ，， 设 ， 故单调递增，， 即单调递减，，即， 所以得证； 综上，． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调区间即可； （2）先构造函数，再求出导函数分和时，讨论函数单调性计算求解参数； （3）先由（2），再构造，再构造结合导数求出单调性即可证明；. 【小问1详解】 函数的定义域为，所以， 因为，所以． 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是； 【小问2详解】 当时，，即， 设， 则， 令，则． 当时，，所以存在，使得当时，单调递增， 故当时，，即，不符合题意； 当时，，且当时，． 令， 则当时，因为，所以， 故当时，单调递减，此时， 所以当时，单调递减，即当时，，即 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 略 19. 已知为不小于4的整数，若有序数组满足，，且，则称是元阶数组．设是另一个元阶数组，若和满足，且，则称与孪生． （1）若，，写出个不同的，使得与孪生； （2）证明：若与孪生，则是偶数； （3）设是元阶数组，证明：若与孪生，则存在与，都孪生，且对任意与，都孪生的，． 【答案】（1）， （2）证明：法一：若与孪生，易知，，且，， 故， 所以，故是偶数． 法二：若与孪生，则，，，． 因为，，， 所以当时，，． 设， 因为，， 所以存在，使得，且，使得， 所以， 所以，故是偶数． （3）证明：设， 若，，则， 同理若，或，或，，均有． 因此，若与孪生，则，此时是元阶数组． 又，故与孪生． 同理与孪生． 设，，是两两孪生的元阶数组，且由（2）知，故不妨设当时，；当时，各有列满足，或，；当时，． 设，并由，，得到如下数表： 设数表第三行的第列至第列中有个数是，其中，故有列满足，且；设数表第三行的第列至第列中有个数是，其中，故有列满足，且． 若保证与及与孪生，则在第列至第列（共列）中，各有列满足或，且由于第列至第列（共列）中的每一列均满足，故与的列数相同，且与的列数也相同，故第一行和第三行及第二行和第三行满足，或的列数各为，故，即，此时数表中共有列（列）的数全部为． 由，，，得， 且由（2）可知， 由上可知， 故． 【解析】 【分析】（1）由题得中有两个差为，两个差为，分类讨论即可求出所有，任取两个即可； （2）法一：根据孪生的定义得，，且，有，得，即可证明；     法二：根据孪生的定义得，，，存在，使得，且，使得，得，即，即可证明； （3）首先通过构造 验证了满足条件的的存在性，利用 数组性质可知此时亦为 阶数组且与 均孪生；随后在处理不等式时，利用 将通项 化简 ，结合第（2）问结论知两两乘积均为，从而将原求和式转化为；设数表第三行的第列至第列中有个数是数表第三行的第列至第列中有个数是，通过分类讨论在不同取值区间的分布，推导出与的关系，进而利用放缩法证得该式小于等于. 【小问1详解】 因为，所以，即， 因为与孪生，所以， 所以中有两个差为，两个差为， 因为， 若，， 则，，，，，且，符合题意； 若，， 则，，，，，且，符合题意； 若，， 则，，，，，不符题意，舍去； 若，， 则，，，，，不符题意，舍去； 若，， 则，，，，，且；符合题意； 若，， 则，，，，，且；符合题意； 综上所述符合条件的有，，，，任取两个即可. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期期中考试模拟试题 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若任意斜率为的直线与曲线都有且仅有一个公共点，则在下列区间中一定不存在零点的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知单位向量，的夹角为，为的外心，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（ ） A. B. C. D. －1 11. 已知是定义在区间上的增函数，且对任意的正数，，满足．设，，为互不相等的正数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是______________． 13. 已知关于的方程恰有2个实数解，则实常数的取值范围是__________. 14. 已知，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 16. 已知向量，，其中． （1）若与共线，求的值； （2）若，不共线，，，，，，三点共线，，求的取值范围． 17. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 19. 已知为不小于4的整数，若有序数组满足，，且，则称是元阶数组．设是另一个元阶数组，若和满足，且，则称与孪生． （1）若，，写出个不同的，使得与孪生； （2）证明：若与孪生，则是偶数； （3）设是元阶数组，证明：若与孪生，则存在与，都孪生，且对任意与，都孪生的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $