精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高三上学期（补习分部）10月月考数学试题

江油中学2022级分部第二学月考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 7. 党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最小值为________． 13. 若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为______． 14. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 17. 对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 11 10 8 6 5 14 （1）根据1至5月份的数据，先求出关于的回归直线方程；将6月份的数据作为检验数据，若由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所得到的回归直线方程是否理想？ （2）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 18. 已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线. （1）求函数的解析式； （2）求的极值； （3）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 19. 定义运算：，已知函数，. （1）若函数的最大值为0，求实数的值； （2）证明：. （3）若函数存在两个极值点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油中学2022级分部第二学月考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由已知集合，， 则. 故选：B 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 利用不等式性质逐一判断即可. 【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误； 选项B中，取 ，满足，但，故错误； 选项C中，若，则两边平方即得，故正确； 选项D中，取，满足，但，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题. 3. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断函数奇偶性排除A,B两项，再通过特殊值代入得到点的位置排除D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B. 因为，排除D. 故选：C. 5. 命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出恒成立时的取值范围，再用集合法判断充要条件即可 【详解】命题在内单调递增， 则，即在上恒成立， 令，由于，则， 则， 的最小值为0，则必有， 所以是的充分不必要条件． 故选：A 6. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得． 【详解】由已知， 因此，或， 若，则， 时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意， 若，则， 时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此 故选：C 7. 党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】D 【解析】 【分析】从年起，第该企业人均增加收入超过元，求出第年的人均增加收入，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】从年起，第该企业人均增加收入超过元， 因为从年起，每年将在此基础上以的增长率增长， 所以，第年该企业的人均增加收入为元，由，即， 可得，所以，， 故年开始，该企业每年人均增加收入开始超过元. 故选：D. 8. 已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数，利用导数求出最大值即可求出范围. 【详解】令函数在上单调递减，且， 则，即，而，于是， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数是解题的关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接判断选项AB，利用导数判断选项CD. 【详解】A.因为 在上是增函数，在上是减函数，所以在上是增函数，故A正确； B.在区间和上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故B错误； C.因为，所以， 由，得， 所以在上是减函数，故C错误； D.因为，所以， 所以在上是增函数，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由条件可得，即可判断函数的周期，并求值判断A，根据条件等式，两边取导数，判断BCD. 【详解】由条件可知，，即， 所以函数是周期为4的函数，，故A正确； 由，两边取导数，得，即，所以是偶函数，故B正确； 由，两边取导数，得，即， 令，得，即，故C错误； 因为，两边取导数，得，即，所以函数的周期为4，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意作出分段函数的图象，利用函数零点概念，图象对称性，以及函数与方程，对勾函数的单调性等知识点依次判断各选项即可. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 对于A，由图象知，方程有四个不同的零点，等价于，故A正确； 对于B，C， 因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，，是的两个根， 所以，即，所以， 由，是的两个根，所以， ，故B正确； 且，故C错误； 对于D，由，可得，， 令，，易得函数在上单调递增， 则，即，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【详解】， 当时，即时，则，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由题意可知：命题：，.是真命题， ①当时，结论显然成立； ②当时，则，解得； 故答案为：. 14. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】求导：导数；导数.  设切点写切线方程： 设与切点，切线方程.  设与切点，切线方程.   列方程组求解：由公切线性质得.  由得，代入另一式解得，.   求直线方程：把代入，得.  故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义写出的通项公式，由等差中项的性质有，应用等比数列的通项公式求公比，进而确定的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求. 【小问1详解】 因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； 【小问2详解】 由（1）， . 16. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 17. 对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 11 10 8 6 5 14 （1）根据1至5月份的数据，先求出关于的回归直线方程；将6月份的数据作为检验数据，若由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所得到的回归直线方程是否理想？ （2）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1），理想 （2）7.5 【解析】 【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；利用回归方程计算时的估计值，计算误差得出结论； （2）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x. 【小问1详解】 由题意知，. ， . . 当时，， ， 可认为所得到的回归直线方程是理想的. 【小问2详解】 依题意得，利润： . 当元时，取得最大值. 该产品的单价定为7.5元时，利润最大. 18. 已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线. （1）求函数的解析式； （2）求的极值； （3）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）极大值为，极小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据切线及导数几何意义、函数所过的点列方程求参数，即可得； （2）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，进而求极值； （3）由题设，利用导数研究右侧的区间值域，结合零点的个数求参数范围. 【小问1详解】 ， 由题意知：； 【小问2详解】 由定义域为，，令，得或 当变化时，、变化如下： 0 2 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，取得极大值， 当时，取得极小值； 【小问3详解】 令， 设， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， 因为函数在区间上有两个零点， 所以直线与函数的图象有两个交点， 故有，即实数的取值范围为. 19. 定义运算：，已知函数，. （1）若函数的最大值为0，求实数的值； （2）证明：. （3）若函数存在两个极值点，，证明：. 【答案】（1） （2）证明:要证： 即证： 由（1）知，，即（当且仅当时取“=”） . . . （3）证明: “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故. 成立. 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）需证，利用，，进而可证结论； （3）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，即证，令，求导确定函数的单调性，证明结论． 【小问1详解】 由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值. ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为. ，令，求导得， 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 因此，. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $