精品解析：广西壮族自治区柳州市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2025年春季学期柳州市第三中学高一年级3月月考 科目：数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 命题人：曾蓓莉 审题人：龙高盘 注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再利用交集运算即可. 【详解】由可得或， 又； 则 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程的根，利用充分条件，必要条件的定义判断即可； 【详解】由，可得或， 所以，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 【详解】因为是BC的中点，，所以， 所以. 故选：D. 4. 若向量，则（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】先求出,再与相乘即可求出答案. 【详解】因为,所以. 故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 5. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 6. 设函数是上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算，根据函数单调性得到，再利用特殊值法排除其他选项即可. 【详解】，即，函数单调递减，故. 取，则，A错误；取得到，B错误； 故选：C. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性，结合时单调性，应用排除法确定答案. 【详解】由解析式知定义域为R，，是偶函数，排除A， 当时，是减函数，故排除B，C. 故选：D. 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可. 【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足 解得 当是上的单调递减函数时， 解得.综上，的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分. 9. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 10. 下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用幂函数的性质一一判定即可. 【详解】易知是奇函数，在上为增函数，即A错误； 易知是奇函数，在上为减函数，即B正确； 易知是非奇非偶函数，在上为增函数，即C错误； 易知是奇函数，在上为减函数，即D正确； 故选：BD 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在区间上单调递增 C. 的解集为 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义以及部分解析式可求得函数，画出函数图象即可求得其值域及单调性，结合图象进行不等式求解. 【详解】根据题意可知当时，，所以； 又因为是定义在上的偶函数，所以； 因此，易知选项D错误； 画出函数的图象如下图所示： 由图可知，的最大值为1，即A正确； 易知在区间上单调递减，即B错误； 结合图像可知的解集代表的是函数图象在轴上方部分对应的自变量的取值范围，即， 所以的解集为，即C正确. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据面积公式以及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 由已知可得，圆心角，面积， 所以有即 解得. 故答案为：4. 13. 若，，且，则与的夹角为______； 【答案】#### 【解析】 【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 又，所以. 故答案为：. 14. 函数的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】借助辅助角公式计算即可得. 【详解】，其中， 由，故的最大值为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共67分. 15. 在中，内角，，的对边为，，，满足，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用三角形面积公式进行求解； （2）使用余弦定理进行求解. 【小问1详解】 在中，由已知有，，， ∴， ∴的面积为. 【小问2详解】 在中，由已知有，，， 由余弦定理得 ∴， ∴边的长为. 16. 已知非零向量，不共线． （1）如果，，，求证：，，三点共线； （2）欲使和共线，试确定实数的值． 【答案】（1）证明：因为，， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线； （2）根据已知条件有，求得，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为与共线，所以存在实数，使， 则，又由于向量，不共线，只能有， 解得： 17. 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点. （1）写出税收（万元）与的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式； （Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围． 试题解析： （1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担, 收购总金额为万元. 依题意有 （2）原计划税收为万元 依题意有 化简得 . 的取范围是. 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 18. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递减区间 （3）求在的最值． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为 （2） （3）最大值为3，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正、余弦二倍角公式及辅助角公式化简，利用正弦周期公式及对称中心可得结果； （2）令，则，根据复合函数的单调性可得结果； （3）由时求出，根据正弦函数的性质可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为，令， 所以对称中心为. 【小问2详解】 令，则，因为函数u为增函数， 当时函数为减函数， 即，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 当时，所以当，即时，， 当即时，， 所以在的最大值为3，最小值为. 19. 若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． （1）若函数是优美的，求； （2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； （3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 【答案】（1） （2），理由如下： 设，此时，满足. 下面证明是“优美的”： 对于任意的和，，而. 所以，故是“优美的”. （3）证明如下： 证明对任意有理数，都有. 有理数包括整数和分数，分类讨论. 当为0时，显然. 当为正整数时： 设（为正整数），由可得： . 同理，以此类推可得.  当为负整数时： 设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即.  当为分数时： 设（为整数，），因为， 又由前面已证得当为整数时，所以， 则，即. 综上，对任意的有理数，都有. 【解析】 【分析】（1）通过对给定等式合理赋值来求解； （2）先根据条件确定一个满足的函数，再验证其是否满足“优美的”函数定义； （3）需要分情况讨论有理数为正整数、负整数、分数时，证明成立. 【小问1详解】 已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有. 令，则，即. 即，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义题，关键是读懂题意，将其联想到熟悉的知识点，解题即可.第三问关键是对有理数进行分类，然后按照分类讨论，证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期柳州市第三中学高一年级3月月考 科目：数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 命题人：曾蓓莉 审题人：龙高盘 注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，则（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 5. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分. 9. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 10. 下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（ ） A. 的最大值为1 B. 在区间上单调递增 C. 的解集为 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为__________. 13. 若，，且，则与的夹角为______； 14. 函数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共67分. 15. 在中，内角，，的对边为，，，满足，，. （1）求的面积； （2）求边的长. 16. 已知非零向量，不共线． （1）如果，，，求证：，，三点共线； （2）欲使和共线，试确定实数的值． 17. 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点. （1）写出税收（万元）与的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围 18. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递减区间 （3）求在的最值． 19. 若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”． （1）若函数是优美的，求； （2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的； （3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $