第1章 直角三角形的边角关系 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级下 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在△中，若，，，则的正弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正弦的定义，进行求解即可． 【解答】解：根据正弦的定义可得：； 故选：． 2．如图，为了测量河两岸、两地间的距离与河岸垂直），在与垂直的方向上取点，测得米，，则、两地间的距离为　　米． A． B．24 C． D． 【分析】易得，根据的长和的正切值可得、两地间的距离． 【解答】解：与河岸垂直， ， 米，， （米． 故选：． 3．如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点为支撑点，笔尖点可绕点旋转画出圆（弧．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， ，， ， 在△中，， ， 圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：． 4．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，得出杯中水的最大深度． 【解答】解：四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 杯中水的最大深度为． 故选：． 5．在中，，若，，则的值是　　 A． B．2 C． D． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【解答】解：如图所示：在中，，，， ． 故选：． 6．如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为　　 ，，，结果保留整数） A． B． C． D． 【分析】过点作于点，则，，，在△中，，设，则，，，在△中，，解得，进而可得出答案． 【解答】解：如图，过点作于点，设， 根据题意可得：，， ， 四边形是矩形， 从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为6， ，，， 在△中，， ， ， ， ， ， 在△中，， 即， ， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ． 故选：． 7．在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出，由锐角的正弦定义即可求出的值． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 8．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点，，在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】根据邻补角的定义求出，然后判断出△是直角三角形，再根据三角函数的知识解答． 【解答】解：， ， △是直角三角形， 开挖点离点的距离． 故选：． 9．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】由题意得，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意得，四边形是矩形， ，， 在△中， ，， ， ， 答：气球顶部离地面的高度是． 故选：． 10．如图，已知，两点的坐标分别为，，点，分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当△面积取得最小值时，的值是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，设直线交轴于．由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，推出当直线与相切时，△的面积最小，即可解决问题． 【解答】解：如图，设直线交轴于．由题意， 点的运动轨迹是以为圆心，7为半径的圆， 当直线与相切时，△的面积最小， 是切线，点是切点， ， ，， ． 故选：． 11．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长26米，则通讯塔的高度为　　（参考数据：，， A．米 B．米 C．56米 D．66米 【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，米，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于△是等腰直角三角形，可表示，在△中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出． 【解答】如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在△中，米，由勾股定理得， ， 即， 解得， （米，（米， 斜坡的坡度为， 设米，则米， ， 米， 米， 在△中，米，米， ， ， 解得， （米，（米， （米， （米， 答：基站塔的高为米． 故选：． 12．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【分析】作的外接圆，连接，，，取的中点，连接．证明，推出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大． 【解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，取的中点，连接． ，， 是等边三角形， ， ，，，， ，， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 当与相切时，的值最大，此时的值最大， 是等边三角形，， ， ， 是切线，是半径， ， ， 过点作于点，于点，于点． ， ， ， ， ， 设，，则有，， ①，， 解得，，， ， ． 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．在△中，，，，那么直角边长为 　4　 ． 【分析】根据余弦定义求解即可． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：4． 14．在△中，，，，则的值是 　　 ． 【分析】根据锐角的正弦值的定义解决此题． 【解答】解：在△中，，，， 则． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 　　． 【分析】过作于，交于，如图所示，设，，由直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质，在和构成的8字形中，由三角形内角和定理可知，从而由三角形全等判定得到，进而，最后由平行线分线段成比例确定是的中点，即可得到答案， 【解答】解：过作于，交于，如图所示： 设，， ，，， ，， ，， 在和中，由三角形内角和定理可知，即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，则，即， 是的中点， ， 故答案为：． 16．如图，在△中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 　　 ． 【分析】由题意可知，，过点作，交于，则，过点作，交于，则，可知△△，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【解答】解：，， 点为的中点， ， 过点作，交于，则 ， 过点作，交于，则， △△，， 则，， 则设，， ，， 则， ， ， 故答案为：． 17．在中，于点，点在上，，连接交于点，，，，则长为 　　． 【分析】利用“”构造全等形，利用“”得到，，之间的关系，从而得出，与它们之间的关系，最后在中利用勾股定理解出即可． 【解答】解：在上取一点，使，连接， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得． ， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在△中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【分析】（1）根据正切定义求解即可； （2）根据勾股定理求出，再根据正弦定义求解即可． 【解答】解：（1）在△中，，，， ， ； （2），， ， ， ． 19．如图某货船以20海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响．问： （1）处是否会受到台风的影响？请说明理由． （2）如果处受到台风影响，那么求出影响的时间． 【分析】（1）处是否会受到台风影响，其实就是到的垂直距离是否超过200海里，如果超过则不会影响，反之受影响，过点作交于点，求出即可求解； （2）结合题意可得在点右侧相同的距离内点也受影响，即可求出时间；将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角三角形是解题的关键． 【解答】解：（1）如图1，过点作交于点， 在中，， ， 海里， 海里， ， 会受台风影响； （2）如图2， 如图，海里， 在中，海里， 同时在点右侧相同的距离内点也受影响， 小时， 影响的时间为6小时． 20．爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚出发，沿走420米到达点，再沿到山顶点，已知山高为360米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【分析】（1）在中，根据，可得即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解． 【解答】解：（1）在中，， 米， 的长为210米； （2），， ， 四边形是矩形，，米，米， 在中，，， 米， 米． 黄老师从山脚点到达山顶点的路程为615米． 21．中国大地原点，是中国经纬度的基准点，也是国家大地坐标系统的起算点，位于陕西省境内．某数学学习小组把测量大地原点的主体建筑观测塔楼（如图的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量．如图2，甲同学在地面上竖立一根标杆，发现某一时刻塔楼和标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，乙同学在点处放置一个测角仪支架，调节支架高度，当测角仪位于点处时，测得塔楼的顶端的仰角为，经测量，米，米，米，米，、、、四点在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同平面内．请你帮助该小组计算塔楼的高度． 【参考数据：，，】 【分析】延长交于点，在中，根据三角函数的定义可得，即，再根据相似三角形的判定与性质，可得，列出方程并计算，求得米，从而可得答案． 【解答】解：如图，延长交于点，如图， ，，， 四边形为矩形， 米，， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得米， 米， 即塔楼的高度为26米． 22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据： 【分析】（1）过作于，求得，根据矩形的性质得到，得到，于是得到； （2）过作于，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）过作于，于， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）过作于， ，， ， ，， ， ， ， 小巴所用时间为：， 小蜀所用时间为：， ， 小巴先到达停车场地）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级下 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在△中，若，，，则的正弦值为　　 A． B． C． D． 2．如图，为了测量河两岸、两地间的距离与河岸垂直），在与垂直的方向上取点，测得米，，则、两地间的距离为　　米． A． B．24 C． D． 3．如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点为支撑点，笔尖点可绕点旋转画出圆（弧．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是　　 A． B． C． D． 4．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为　　 A． B． C． D． 5．在中，，若，，则的值是　　 A． B．2 C． D． 6．如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为　　 ，，，结果保留整数） A． B． C． D． 7．在△中，，，，则　　 A． B． C． D． 8．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点，，在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是　　 A． B． C． D． 9．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，已知，两点的坐标分别为，，点，分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当△面积取得最小值时，的值是　　 A． B． C． D． 11．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设基站．如图，某处斜坡的坡度（或坡比）为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长26米，则通讯塔的高度为　　（参考数据：，， A．米 B．米 C．56米 D．66米 12．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．在△中，，，，那么直角边长为 　　 ． 14．在△中，，，，则的值是 　　 ． 15．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 　　． 16．如图，在△中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 　　 ． 17．在中，于点，点在上，，连接交于点，，，，则长为 　　． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在△中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 19．如图某货船以20海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响．问： （1）处是否会受到台风的影响？请说明理由． （2）如果处受到台风影响，那么求出影响的时间． 20．爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚出发，沿走420米到达点，再沿到山顶点，已知山高为360米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）求黄老师从山脚点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，， 21．中国大地原点，是中国经纬度的基准点，也是国家大地坐标系统的起算点，位于陕西省境内．某数学学习小组把测量大地原点的主体建筑观测塔楼（如图的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量．如图2，甲同学在地面上竖立一根标杆，发现某一时刻塔楼和标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，乙同学在点处放置一个测角仪支架，调节支架高度，当测角仪位于点处时，测得塔楼的顶端的仰角为，经测量，米，米，米，米，、、、四点在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同平面内．请你帮助该小组计算塔楼的高度． 【参考数据：，，】 22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$