第3章 圆 单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级下 第3章 圆 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图：是的直径，是的弦．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，是切点，点为上一点，若则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，点是中弦的中点，经过圆心交于点，若路面，净高，则此圆的半径的长为　　 A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点在上．，关于对称，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，在中，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．如图，在的内接△中，．射线与交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，，，顺次连接，，，所得图形是　　 A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 9．如图，是的直径，弦与相交于点，连接，，．若平分，，，则的长为　　 A． B． C． D． 10．如图，为△的外接圆，过点的切线与的延长线交于点．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 11．如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 12．如图，在中，将劣弧沿弦翻折恰好经过圆心，是劣弧上一点，分别延长，交圆于，两点，连接，．若，记的面积为，的面积为．则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．已知的半径是，是上一点，过作弦，，则弦所对的圆周角的度数为　　 ． 14．如图，的半径为6，为上一点，弦于点，，则线段的长为　　 ． 15．如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为　　 ． 16．如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 　　． 17．如图，，，以为圆心，为半径画弧交与点，设图中两块阴影部分面积分别为，，则　　． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 19．如图，为直径，，点，（异于，两点）在上，且平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长（结果保留． 20．如图，在中，以点为圆心画弧分别交，的延长线和于，，，连接并延长交于，． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由． 21．如图，在△中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，若，，求的值． 22．如图，是的直径，点，点在上，连接，，．连接，，，与交于点．点在的延长线上，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级下 第3章 圆 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图：是的直径，是的弦．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由，可求得的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：． 2．如图，，是的切线，，是切点，点为上一点，若则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，利用四边形内角和可求出，根据圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：连接、， ，是的切线， ，， ， ， 故选：． 3．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，点是中弦的中点，经过圆心交于点，若路面，净高，则此圆的半径的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由垂径定理得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ， 解得． 故选：． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据及圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，然后根据即可得出答案． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 是的直径， ， ． 故选：． 5．如图，是的直径，点在上．，关于对称，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用对称的性质求得，再由圆周角定理即可作答． 【解答】解：，关于对称， ， ， 故选：． 6．如图，在中，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由垂径定理得出，根据圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 7．如图，在的内接△中，．射线与交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆周角定理得到，进而求出，根据等腰三角形的性质得到，计算即可． 【解答】解：如图，连接， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， 故选：． 8．如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，，，顺次连接，，，所得图形是　　 A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【分析】根据正多边形的性质，多边形内角和的计算方法以及正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【解答】解：正五边形的每一个内角的度数为， 所以， 即正多边形的中心角为，所以这个正多边形的边数为， 所以这个正多边形是正十边形， 故选：． 9．如图，是的直径，弦与相交于点，连接，，．若平分，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由圆周角定理得，，故有，又平分，则，所以，然后用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， 的长为， 故选：． 10．如图，为△的外接圆，过点的切线与的延长线交于点．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，求出，的度数，继而求出的度数，利用正切可求出，再根据扇形和直角三角形的面积公式，即可解答． 【解答】解：连接，如图， 由条件可知，， ，， ， ． 故选：． 11．如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：． 12．如图，在中，将劣弧沿弦翻折恰好经过圆心，是劣弧上一点，分别延长，交圆于，两点，连接，．若，记的面积为，的面积为．则　　 A． B． C． D． 【分析】分别作点、点关于线段的对称点、，与交于点，连接、，过点作于点，根据轴对称的性质可得的度数为，则有，进而可得和都为等边三角形，然后根据三角函数可得，最后根据相似三角形的性质可求解． 【解答】解：分别作点、点关于线段的对称点、，与交于点，连接、，过点作于点，如图所示： 劣弧沿弦翻折恰好经过圆心， 由折叠的性质可得，，， ，， ， 的度数为， 的度数为，， ， ， 和都为等边三角形，且， ， ，， ， ， 设，，则， ，， ， ，， ， ， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．已知的半径是，是上一点，过作弦，，则弦所对的圆周角的度数为　或　 ． 【分析】先计算出的度数，根据圆周角定理即可求出的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得的度数，这两个角都是弦所对的圆周角． 【解答】解：如图， 的半径为2，， ， △为等边三角形， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 弦所对的圆周角的度数是或． 故答案为：或． 14．如图，的半径为6，为上一点，弦于点，，则线段的长为　　 ． 【分析】连接，先由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，，再解△即可求出，继而求解． 【解答】解：连接， 由题意可得：优弧所对的圆心角为， ， 弦，， ，， ， 故答案为：． 15．如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为　　 ． 【分析】连接，利用圆周角定理得到，则，然后利用同弧所对的圆周角相等求的度数． 【解答】如图，连接， 利用圆周角定理得到，， ， ． 故答案为：． 16．如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 　144　 ． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后利用圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，从而可得，最后利用角的和差关系可得，即可解答． 【解答】解：是的直径， ， ， ，， ， ， ， 弦， ， ， ， 的度数为， 故答案为：144． 17．如图，，，以为圆心，为半径画弧交与点，设图中两块阴影部分面积分别为，，则　　． 【分析】如图，过点作交的延长线于，交于．证明，推出，可得结论． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于，交于． ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）连接，，则，再证弧弧得，由此得，进而得，据此得，然后根据切线的判定可得出结论； （2）设的半径为，在中可得出，再根据可求出，然后再证为等边三角形即可得出的长． 【解答】（1）证明：连接，， ， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 即：， 又为的半径， 为的切线； （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 19．如图，为直径，，点，（异于，两点）在上，且平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长（结果保留． 【分析】（1）根据圆周角定理和外角的性质即可得到结论； （2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图： 平分， ， ， ， ，， ． （2）解：连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， 弧的长． 20．如图，在中，以点为圆心画弧分别交，的延长线和于，，，连接并延长交于，． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由，设，，再由得，据此可得，进而可得出结论； （2）连接，依题意得：为半圆的直径，则，即，再根据即可得出与的位置关系． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， 又， ， ， ； （2）解：与的位置关系是，理由如下： 连接，如图所示： 依题意得：为半圆的直径，， 即， 又， ． 21．如图，在△中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，若，，求的值． 【分析】（1）连接，．由为的直径，可得．再由，可推出是的中点，所以是△的一条中位线，所以．因为，所以，即可推出是的切线． （2）连接交于，由（1）可知，可证得△△，即可求出的长．由，可得．因为，，所以，所以，所以可得．因为，所以，可求出的长，再求出的长．因为，所以△△，即可求出的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，． 为的直径， ． ， 是的中点． 是的中点， 是△的一条中位线， ． ， ． 为的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接交于点． 由（1）可知， △△， ，即， 解得． ， ． ，， ， ， ． ， ． ， ． ， △△， ，即， 解得， 的值为2． 22．如图，是的直径，点，点在上，连接，，．连接，，，与交于点．点在的延长线上，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作于点，的半径为，则，，利用勾股定理列出求得半径，则，，，利用相似三角形的判定与性质求得，，利用直角三角形的边角关系定理求得，，进而求得；利用等腰三角形的判定与性质得到，则． 【解答】（1）证明：连接，如图， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：连接，过点作于点，如图， 设的半径为，则，， ， ， ， ， ，，， 是的直径， ， ， ， △△， ， ，， ，， ， ， △△， ，， ， 设，则， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ，， ， ． ． ，， 又，， ， ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$