第1章 特殊的平行四边形 单元测试2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的高为　　 A． B．6 C． D．8 【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等于底边乘高，也等于列式计算，从而可以求得菱形的高． 【解答】解：四边形为菱形， ，，， ，， ， 设菱形的高为， 则菱形的面积， 即， 解得， 即菱形的高为， 故选：． 2．如图，矩形的对角线交于点，若，，则矩形的对角线长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可证是等边三角形，可得即可求的长． 【解答】解四边形是矩形 ，， 且 是等边三角形 故选：． 3．如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A．， B．， C．， D． 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【解答】解：、，，得出四边形是平行四边形，无法判断四边形是矩形．故错误； 、，，得出四边形是平行四边形，无法判断四边形是矩形．故错误； 、，，无法判断四边形是矩形．故错误； 、可以判断四边形是矩形．正确； 故选：． 4．如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出△△，得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，过点作于，则△是等腰直角三角，则，则，据此可得答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， △△， ， ， ， ， ， ， 如图所示，过点作于，则△是等腰直角三角， ， ， ， 正方形的长为， 故选：． 5．笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点与点被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则，之间的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【解答】解：，互相垂直， ， 的长为，的长为， ， 为的中点， ， 故选：． 6．如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，证明，，得出，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， 平分交于点，且点为中点． ，， ， 又，， 在，中， ， ， ． 故选：． 7．菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若，，则　　 A．10 B．5 C． D． 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长，即可． 【解答】解：四边形是菱形，对角线，相交于点， ， ， 是的中点， ； 故选：． 8．如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A．4 B．4.8 C．5 D．6 【分析】如图所示：连接，在菱形中，，，得，，由，，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出． 【解答】解：如图所示：连接， 在菱形中，，， ， ， 四边形是矩形， ， 的最小值， 即最小值， 当时，最小， ， ， ， 最小为4.8， 即的最小值为4.8， 故选：． 9．如图，在正方形中，是对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得，，，又证四边形是矩形，得，，再证△△，得，从而利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可得解． 【解答】解：过点作于点，射线交于点， 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 故选：． 10．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为　　 A． B． C．2 D． 【分析】根据条件得出正方形边长为5，由勾股定理求出线段长，利用三角形中位线定理得到长即可． 【解答】解：连接，， 四边形为正方形， ，，， 点，分别是，的中点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形， 是的中点， 在正方形中，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，是的中点，是的中点， 是的中位线， ． 故选：． 11．如图，面积为24的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为　　 A．6 B．3 C．2 D．1 【分析】由菱形的性质得出，，，，再证四边形是矩形，则，，得、都是△的中位线，则，，然后由矩形面积即可得出答案． 【解答】解：四边形是菱形， ，，，， ， 于，于， 四边形是矩形，，， 点是线段的中点， 、都是△的中位线， ，， 矩形的面积； 故选：． 12．如图，正方形，为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接、、、，与交于点，若且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】本题过作交点，过作交于点，通过证明△△和导角得出，并设，，设，，利用勾股定理得出，以及运用锐角三角函数得出，进一步证明△△，从而得出以及，最终即可求出的值． 【解答】解：为中点， ， 为正方形， ，， △△， ， ， ， ， ， ， 过作于点，过作交于点， ， 设，， ，， 设，， 在△中，由勾股定理得：得， ， 解得：或， ，， ，， ， （舍去），即，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ，即， ，， ， ； 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，△中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为　9　． 【分析】过点作于，根据面积求得，由△△和△△分别求出，，即可求求解周长． 【解答】解：过点作于， ，，， ， 矩形， ，，，， △△， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， 矩形的周长为， 故答案为：9． 14．如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为 　　． 【分析】如图，过点作于，连接，，证明四边形是矩形得到，要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，利用三角形的等面积法求得即可求解． 【解答】解：如图，过点作于，连接，， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长， ， ， 故的最小值为， 故答案为：． 15．如图，矩形中，，，点、分别为、边上的动点，且，为的中点，直线分别交边、于点、．连接、，则的最小值为 　9　． 【分析】先推导出点是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，得到当，，，共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【解答】解：连接， 矩形，直线， ， 四边形是矩形， ， ，为的中点， ， 点是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ， 当，，，共线时，的值最小， ，， ， ， ， 的最小值为9， 故答案为：9． 16．如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则的长度为　　 ． 【分析】先证明△△，得到，设，则，证明△△，△△，得到，，，，根据平行线的判定和性质得到，根据等角对等边得到，进而得到，，再由平行线分线段成比例得到，可求，的长，即可求解． 【解答】解：连接，过作交于， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， 设，则， 是的角平分线， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， △△， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， △△， ， ， 整理得， 解得：，， 由图可知，不符合题意， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 　　 ． 【分析】连接，过点作，的延长线交于，设，，则，，则，，，证明△和△全等得，，则，进而得，证明是线段的垂直平分线，则，在△中，由勾股定理得，整理得，解这个关于的方程得，则，由此得正方形的面积，正方形的面积，据此即可得出的值． 【解答】解：连接，过点作，的延长线交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，， 点，是，的中点， ，， 四边形，四边形都是矩形， ，， ， 四边形，四边形都是矩形， 设，，则，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， 是线段的垂直平分线， ， 在△中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解这个关于的方程得：，（不合题意，舍去）， ， 在△中，由勾股定理得：， 正方形的面积， ， 正方形的面积， ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．在矩形中，连接，的垂直平分线交于点，分别交、于点、，连接和． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线得出，，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出△△，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【解答】（1）证明：是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ， ， 在△和△中 ， △△， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形， ， 设， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 菱形的面积． 19．如图，的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 20．已知：如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线交对角线的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：四边形是正方形． 【分析】（1）先证，得到，，根据，得到，从而得到，所以可得四边形是平行四边形，进而得到其为菱形； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出，由正方形的判定可得出答案． 【解答】（1）证明：菱形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形是正方形． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 22．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过作于点，连，则的值． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长至，且使，连接，则，由证明，得出，证出为的中位线，得出，得出，即可得出； （3）过点作交于，由证明，得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案； 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ； （2）证明：延长至，且使，连接，如图1所示： 则， 四边形是矩形， ，，， 在和中，， ， ， ，， 为的中点， 为的中位线， ， ； （3）解：过点作交于，如图2所示： 则， ， ， ， ， ，， 由角的互余关系得：， ， 在和中，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的高为　　 A． B．6 C． D．8 2．如图，矩形的对角线交于点，若，，则矩形的对角线长为　　 A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件中，能判定四边形是矩形的是　　 A．， B．， C．， D． 4．如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为　　 A． B． C． D． 5．笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点与点被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则，之间的距离为　　 A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若，，则　　 A．10 B．5 C． D． 8．如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为　　 A．4 B．4.8 C．5 D．6 9．如图，在正方形中，是对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为　　 A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为　　 A． B． C．2 D． 11．如图，面积为24的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为　　 A．6 B．3 C．2 D．1 12．如图，正方形，为中点，为对角线上一点，在延长线上，连接、、、，与交于点，若且，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，△中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为　　． 14．如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为 　　． 15．如图，矩形中，，，点、分别为、边上的动点，且，为的中点，直线分别交边、于点、．连接、，则的最小值为 　　． 16．如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则的长度为　　 ． 17．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 　　 ． 三．解答题（共5小题） 18．在矩形中，连接，的垂直平分线交于点，分别交、于点、，连接和． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 19．如图，的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20．已知：如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且，过点作的平行线交对角线的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：四边形是正方形． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过作于点，连，则的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$