四川省泸县第五中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

泸县五中高2023级高二下期第三学月考试 数学参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B C C B BC ABD 题号 11 答案 ABD 二．填空题 12． 13．112 14． 三．解答题 15．解：（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）依题意组抽取人，组抽取人； ①依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ②记有一名学生的比赛成绩落在区间为事件，两名学生的比赛成绩都落在区间为事件， 则，，所以. 16．（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以，解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 17．解：（1） 回答正确 回答错误 合计 A人工智能大模型 91 9 100 B人工智能大模型 65 15 80 合计 156 24 180 零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关， ， 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关； （2）由题意，A人工智能大模型回答题目正确的概率为， 恰有 2 个问题回答错误的概率为 ， ， 所以，当时，，当时，，所以，， 所以 取得最大值时. 18．解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，，由题意可知，直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线、的方程得可得，所以，. 因此，点在定直线上. （3）如右图所示：   易知点，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得可得，故点，则， 且，， 所以， ， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，.因此，四边形面积的最小值为. 19．解：（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，所以． 所以当时，，所以， 由题意知即求方程在上的实根个数， 令，则， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以， 又，， 所以由函数零点存在定理知，，，使得，． 所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2． （2）由题知，即，其定义域为， 则，． 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示． 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以． （3）由（2）得，由， 令，则，，． ①若，则，所以单调递减， 因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 所以即解得． ②若，当时，，在上单调递增， 则即，解得； 当时，，在上单调递减， 则，即，解得． 当时，令得．当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即． 由题意知或，结合，解得或． 综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 则实数的取值范围为． 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中高2023级高二下期第三学月考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为 A．60 B．80 C．100 D．120 2．若直线与互相垂直，则 A．0 B． C． D． 3．若方程表示圆，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为 A． B． C． D． 5．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下尺，重斤；在细的一端截下尺，重斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端尺后，金杖剩余部分的重量为 A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 6．函数图象上一点到直线的最短距离为 A． B． C． D． 7．十一中学高三（1）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小伟与小豪两位好朋友在这九人中身高由低到高分别位居第1位与第5位，他们要求要站在同行且不相邻，则不同的排列方式共有（    ）种． A．200 B．180 C．120 D．100 8．已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知等比数列的前项和，则 A． B．等比数列的公比为2 C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是10题图 A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．点与平面的距离为 11．设抛物线的焦点为，过点作一直线交于，两点，过点作的准线的垂线，垂足为，则 A．以线段为直径的圆与有且只有一个公共点 B．若，则 C．若，直线的斜率为，则 D．若，则直线的斜率为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．圆与圆的公共弦长为 . 13．在二项式的展开式中常数项为 ． 14．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为.现将所有由，，，组成的4位（如：1233，3201）四进制数转化为十进制数，在这些非零十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动． ①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列； ②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率．15题图 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且.16题图 (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面 夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置； 若不存在，请说明理由. 17．（15分） 在科技飞速发展的今天， 人工智能领域迎来革命性的突破， 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠， 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答， 其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题， 有 65 个正确. (1)完成下列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 (2)将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目， 且各题回答正确与否， 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 18．（17分） 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 19．（17分） 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$