江苏省泰州中学等校2024-2025学年高一下学期5月学情调研测试数学试题

高一年级5月学情调研测试 数学试题 试卷满分(150分)考试时间(120分钟) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1.平面直角坐标系中，已知a=(-1,t),五=(2，)且/b,则t=() A.2 C.-2 2.cos45°cos15°+sin45"sin15°=() A月 B. 2 c D. 2 2 3.在AMBC中，已知角小B,C所对的边分别为a,6,c,a=25,b=6,A=年，则角B的大小为 () A君 B C.或 61 D.或2 4.已知△MBC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c,则“b=acosC”是“△4ABC为直角三角形”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知m,n是两条不同的直线，《是一个平面，则下列正确的是() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m⊥n,则n上c C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a D.若m⊥a,n∥a,则m⊥n 6.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为棱CC,的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为() 4 5 B. 2 C.2 0.2 7.设0是锐角， cos0+引-cor0-引m20,则m0=() A.√5+2 B.2-√3 C.2±V3 D.2-5 2 8.已知A4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若AMBC为锐角三角形，B=行，且c=1,则△MBC 面积的取值范围是() B(周 c(停， D(儒 第1页，共4页 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得 部分分，不选或有选错的得0分. 9若复数2=3-5 ,则() 1+i Az=-1+4i B.1z7 C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.复数0满足|0上1，则1@-z的最大值为√17+1 10.如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，M,N分别为棱CD,CC的中点，则以下四个结论中，正确 的有() A.直线AM与CC是相交直线 B.直线BN与MB是异面直线 C.AM与BN平行 D.直线A,M与BW共面 D B 1已知a6,c分别为AMBC的内角，么，C所对的，边os兰+号，则下列说法不正确 22 的是() A.tan Btan C=-2 B.tan A=tan B+tan C c4号 D.a>b,a>c 三、填空题：本大题共3小题，每小趣5分，共15分， 12.已知ā，万都是单位向量，夹角为120，则1a-b1的值为 13.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=60°，b=2,则△4BC 的面积是 14.如图，已知在△MBC中，AB=3,AC=2√互，BC=V5,D是线段AC上的动点，E,F是线段AB 上的动点(F在E的右侧)，且四边形DEFG是正方形，当EF=时，线段CG长度最小 G A E F B 签)而比A而 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 如图，在菱形ABCD中，B配=BC,C下=2FD, ()若EF=xAB+yAD,求3x+y的值： (②若A=4,∠BAD=60°，求AC.EF 16.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F,G分别是PB,CD的中点 )求证：GF/平面PAD: (2)设E为AB的中点，过E、F、G三点的截面与棱PC交于点Q,指出点Q的位置并证明. B 17.(本小题15分)】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且AC为∠DAB的角平分线，∠ABC=二 AB=3BC=3. I)求sin∠DAB: (2)若∠ADC=2 ，求四边形ABCD的面积。 3 第3页，共4页 18.(本小题17分) 已知向量m=(4sin2号-山，班( -x),i=(1,2) )求函数f(x)=m·i的最小正周期： 2已知a为锐角f@)=号，求cosa 卡》一月 间已知aB均为能角，e+月-号如a-)= 6 3， 求sin(2a-)的值. 19.(本小题17分) 如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,C,D中. (四求证：BD⊥AG: (2)若BD⌒平面ABC=E,求证：点E为△ABC的中心： (③)若点P是平面ABC内一个动点，且PD+PB=7+√13，求直线BP与平面ABC所成角正切值. D 第4页，共4页参考答案 单选题1-8 BCAA DCCA 多选题9.ABD10.BD 11.AC 填空题12.√3 133V6 > 146 15解：因为旺-8cC,G2Fn, 以Er=Bc+CF-T8C-DC-T4D4B,-3分 而EF=xAB+yAD, 所以r= 2, 故 3x+2y=3× 2 4-06分 (2).AC=AB+AD, :ABCD为菱形，∠BAD=60，AD=AB=4' 4CEF=s∠BD=x1616x}4 6 6 2 即AC.Ef=-4.…l3分 16.证明：(I)如图取PA中点H,连接FH,HD, 0 因为F为PB中点，所以HF1/AB,-1分 且HF=)AB,又因为四边形ABCD为平行四边形，且G为CD中点 所以DG1/AB,且DG=AB,所以HF1DG,且HF=DG,所以四边 形HDGF为平行四边形，所以GF/HD, .4分 因为GF丈平面PAD,HDC平面PAD, 所以GF//平面PAD;-7分 (2)Q为PC的中点， 因为CG11BE且CG=BE,故BCGE为平行四边形，故EG/BC, EG丈面PBC,BCc面PBC,故EG//面PBC,----l0分 又EGC面EFQG,面EFOG面PBC=FQ,所以EG/1FQ,----13分 又EG1/BC,所以故FQ/BC, 因为F为PB的中点，所以点Q为PC的中点.-15分 17解：0a1BC中，∠ABC=背，AB=3,BC=1, 由余弦定理可得AC2=BA+BC2-2 B.A.BC.cos∠ABC=7,所以AC=V7,-3分 sin∠1 BCsin∠BAC,可得、n∠BHC=BC·sin∠ABC_V2 再由正弦定理，4C BC ,3分 AC 14 又因为AC为∠D1B的角平分线，所以sin∠D4C=sin∠B1C=2; 14 s∠C=-mZA1C-snC=sm∠8Cas8C.50-8分 14 (2a4CD中，AC=V7,∠ADC=2π ，sinipAC 14 所t以cos∠DAC=-im'ZDAc_5v7, 14, 从而sin∠ACD=sin[r-(LADC+∠DAC]=sin(S-∠DAC) os DuC-inc 2 7 AD AC 由正弦定理， Sin∠ACDi,可得AD=2=2，,---13分 sin∠ADC 而SD=SD+Sca= 4B-ACsn∠CB+)4D-ACsin∠DC =2*3x7x21 +2×2xV7x2i5V5 ---15分 142 144 18解：()由f(x)=i·i知 =4sm芳1+2cuw行0=20-osW-1+2csos号+sm写sn刘 =1-cosx+3sinx 1+23 2 sincos)=2sin(x)+ 1 6 T=2n=2n 1 函数的最小正周期为2n-5分 5 、1--6分 (2f(a)=2sin(a-）)+1=3.sin(a-)= 6 3 623 因为0所以。-- 6 63 所以 =1-sin'(a= 2V2-8分 cos(a 6 3 所 以 cosa-cos(a cost")cossin(a)sin 66 6 6 6 66 6)f(a+=2sima+1=13: 4-11分 ∴.sina= 5 5 因为a0 ，所以cosa=V-sin2a=3 -13分 因为80写)，所以a-B=-( 因为n(a-)<0,所以。-8=(70 所以cos(a-A)=V-sin'(a-B=i3 --15分 sin(2a-B)=sin [(a-B)+a]=sin(a-B)cosa+cos(a-B)sin a =-12x3+5x416 13x5+13*565 -17分 D 19.解：(I)如图，连接DB,因为四边形ABCD为正 方形，则BD⊥AC,DD⊥平面ABCD, B E ACc平面ABCD,则AC1DD,-2分 B,DODD,=D,BDC平面BDD,DDC平面 BDD,∴.AC⊥平面BDD,-4分 BDC平面BDD,.BD1AC,-5分 (2)由)知：BD1AC,同理可证BD1AB,4B04C=A,ABc平面ABC, ACc平面ABC..BD1平面4BC,…7分 BE⊥平面ABC,AB,=BB,=BC, .Rt△B,EA=RIAB EC=R1△B,EB, .EA=EB=EC,E为△ABC的外心 AC=AB=BC,.△ABC是正三角形 .E为正△4BC的中心.----10分 (3)由(2)知E为正△4BC的中心，则 BE=AB =26 2sin 3 BE=BB:-BE2=2V3BD=6V3,DE=B.D-BE=43,- :B,E⊥平面ABC,PEc平面ABC,PE⊥BD,即BE1PE,DE⊥PE, PD+PB=7+V13,即√PE2+48+√PE2+12=7+N3,-15分 PE>0,解得PE=1,所以，点P的轨迹是以点E为圆心，半径为1的圆， :BE⊥平面ABC,.B,P与平面ABC所成的角为∠BPE, 而 n∠BPE=BE=25 -l7分 PE