上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期数学周末作业7

周末作业 No.07 高二第二学期数学周末作业 07 班级__________________ 姓名__________________ 1. 抛物线 2 4 x y  的准线方程为________. 2. 直线sin 2 0x y     的倾斜角的取值范围是__________. 3. 以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在 上的抛物线方程为________. 4. 曲线  24 1y x x    的长度是__________. 5. 直线 1 : 3 2 0xl y   与直线 2 : 2 2yl x  的夹角大小为________. 6. 曲线 2 2 3 0xy yx     与直线 y x  交于 ,A B 两点，则线段 AB 的长度为_________. 7. 椭圆   2 2 2 1 0 3 x y k k    的焦距为 2 ，则实数 k 的值为 . 8．已知点 ( , )P x y 在经过  3,0A ，  1,1B 两点的直线上，则2 4x y 的最小值为 . 9．已知点 (2,1)P 在圆  2 2 021x x yy        外，则实数的取值范围是 . 10. 已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，Q是抛物线与PF 的一个交点，若 4FP FQ ， 则 QF  ________. 11. 过点 (1,1)P 作抛物线 2 4y x 的弦MN ，使 | | 2 | |PM PN ，则弦MN 所在直线的斜率为____________. 12. 已知椭圆 2 216 16x y  和圆 2 2 16x y  ，从第一象限圆周上一点P 作PQ x 轴，垂足为Q，交椭圆第一 象限于点R ，则 ROP 的最大值为__________. 13. 抛物线 2 8x y 上一点P的纵坐标为 2 ，该抛物线焦点为F ，则 PF （ ） （A）8 （B）6 （C） 4 （D）2 14. 下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ） （A）动点M 到直线4 3 5 0x y   和直线4 3 10 0x y   的距离和为3 （B）动点M 到点  0,0 和点  2, 2 的距离和为2 2 （C）动点M 到点  0,3 和点  0,1 的距离差为 2 （D）动点M 到点  3,2 和到直线 3 3 0x y   的距离相等 15. 如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点M是棱 BC的中点，点 P是平面 DCC1D1内的动点，若直线 AP 与平面 DCC1D1 所成的角等于直线 MP与平面 DCC1D1所成的角，则点 P的轨迹是（ ）. （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 16. 设椭圆 2 2 2 : 1 ( 1) x y a a     的左右焦点分别为 1 2F F、 . 记 1 2,F F 到直线 l 的距离分别为 1 2,d d , 则 “ 1 2 1d d  ”是“直线 l 与椭圆相切”的（ ）条件. 0342  yx 周末作业 No.07 （A）充要 （B）充分非必要 （C）必要非充分 （D）既非充分也非必要 17. 已知圆   2 2: 3 4C x y  ， ,M N 为圆上的动点，且 2 3MN  . （1）当直线MN 的斜率为1时，求直线MN 的方程； （2）P 是弦MN 的中点，求P 的轨迹方程. 18. 如图是一个椭圆，试用尺规作图确定其中心. 周末作业 No.07 19. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，其准线方程为 1 0x  ，直线 l 过点 ( ,0)( 0)T t t  且与抛物线交于 A、B 两 点，O为坐标原点. （1）求抛物线方程； （2）证明：OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （3）若P 为抛物线上的动点，记 | |PT 的最小值为函数 ( )d t ，求 ( )d t 的解析式. 20. 已知椭圆C 的方程为 2 2 1 4 x y  ， y 轴上一点T 的坐标为  0, t ，其中 0t  . （1）求椭圆C 的离心率； （2）点M 是椭圆C 上的动点，将 MT 最大值记作  f t ，求  f t 的表达式； （3）当 2t  时，过点T 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 ,A B ，且 AOB 为锐角（其中O为坐标原点），求直 线 l 的斜率 k 的取值范围. 周末作业 No.07 21*. 设椭圆 2 24 : 1 9 9 x y C   上有一点 P ，过 P 作圆 2 2 2: y rx   的两条切线, 两条切线分别与椭圆C 交于 ,Q R 两点. 若无论P 在椭圆上何处, 直线QR 都与圆相切, 求 r 的值. 周末作业 No.07 高二第二学期数学周末作业 07 参考答案 班级__________________ 姓名__________________ 1. 抛物线 2 4 x y  的准线方程为________. 1y   2. 直线sin 2 0x y     的倾斜角的取值范围是__ _____. 3. 以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在 上的抛物线方程为_ _. 4. 曲线  24 1y x x    的长度是___ ____. 5. 直线 1 : 3 2 0xl y   与直线 2 : 2 2yl x  的夹角大小为________. 4  6. 曲线 2 2 3 0xy yx     与直线 y x  交于 ,A B 两点，则线段 AB 的长度为____. 14 7. 椭圆   2 2 2 1 0 3 x y k k    的焦距为 2 ，则实数 k 的值为 . 2 或 2 8．已知点 ( , )P x y 在经过  3,0A ，  1,1B 两点的直线上，则2 4x y 的最小值为 . 4 2 9．已知点 (2,1)P 在圆  2 2 021x x yy        外，则实数的取值范围是 .   3 1 1 5 5        ， ， 10. 已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，Q是抛物线与PF 的一个交点，若 4FP FQ ， 则 QF  ________. 3 11. 过点 (1,1)P 作抛物线 2 4y x 的弦MN ，使 | | 2 | |PM PN ，则弦MN 所在直线的斜率为___ 16 4 6 5  _. 12. 已知椭圆 2 216 16x y  和圆 2 2 16x y  ，从第一象限圆周上一点P 作PQ x 轴，垂足为Q，交椭圆第一 象限于点R ，则 ROP 的最大值为___ 3 arctan 4 __. 13. 抛物线 2 8x y 上一点P的纵坐标为 2 ，该抛物线焦点为F ，则 PF （ ） （A）8 （B）6 （C） 4 （D）2 【参考答案】C 准线为 : 2l y  ，则 4p lPF d   . 14. 下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ） 0342  yx 周末作业 No.07 （A）动点M 到直线4 3 5 0x y   和直线4 3 10 0x y   的距离和为3 （B）动点M 到点  0,0 和点  2, 2 的距离和为2 2 （C）动点M 到点  0,3 和点  0,1 的距离差为 2 （D）动点M 到点  3,2 和到直线 3 3 0x y   的距离相等 【参考答案】A 选项（A）中两平行直线间距离为3，所以满足条件的轨迹为两平行线及中间所夹区域；而 选项（B）（C）（D）中的轨迹分别为线段、两条共线的射线以及过点  3,2 的垂线. 15. 如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点M是棱 BC的中点，点 P是平面 DCC1D1内的动点，若直线 AP 与平面 DCC1D1 所成的角等于直线 MP与平面 DCC1D1所成的角，则点 P的轨迹是（ ）. （A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 【参考答案】A 根据立体几何知识容易得到 2DP CP . 16. 设椭圆 2 2 2 : 1 ( 2) x y a a     的左右焦点分别为 1 2F F、 . 记 1 2,F F 到直线 l 的距离分别为 1 2,d d , 则 “ 1 2 1d d  ”是“直线 l 与椭圆相切”的（ ）条件. （A）充要 （B）充分非必要 （C）必要非充分 （D）既非充分也非必要 【参考答案】C 必要性：设切线 0 02 1 0: x x l y y a   , 则 2 2 0 0 2 2 1 4 4 2 20 0 0 04 4 2 1 1 , 1 1x a x a a a d d x x y y a a          , 计算得 1 2 1d d  . 非充分性：令 2 1 : 2 l y x a   满足 1 2 1d d  但直线 l 与椭圆相交. 17. 已知圆   2 2: 3 4C x y  ， ,M N 为圆上的动点，且 2 3MN  . （1）当直线MN 的斜率为1时，求直线MN 的方程； （2）P 是弦MN 的中点，求P 的轨迹方程. 【参考答案】（1） 23y x   ；（2）   2 2 13x y  （1）设直线为 y x m  ，点  3,0C ，弦长 2 3MN  ， 2r  ，所以 1C ld   ， 3 0 2 1 1 m    ，解 得 23m    ，直线为 23y x   . （2）由（1）知， 1CP  ，因为P 的轨迹是   2 2 13x y  . 周末作业 No.07 19. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，其准线方程为 1 0x  ，直线 l 过点 ( ,0)( 0)T t t  且与抛物线交于 A、B 两 点，O为坐标原点. （1）求抛物线方程； （2）证明：OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （3）若P 为抛物线上的动点，记 | |PT 的最小值为函数 ( )d t ，求 ( )d t 的解析式. 【参考答案】（1）因为准线方程为 1 0x  ，故 1 2 p  ，故 2p  ，故抛物线方程为： 2 4y x . （2）设直线 l ： x my t  ，其中m R ， t 为常数，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 由 2 4y x x my t      可得 2 4 4 0y my t   ，所以 1 2 4y y t . 而   2 1 2 2 1 2 1 2 4 4 16 y y O y y x xA B t t tO        ，该值与斜率无关. （3）设  ,P x y ，则     2 2 2 22 4PT x t y x t x t       ，其中 0x  . 令    2 22 4 , 0S x x t x t x     ，对称轴为直线 2x t  若0 2t  ，则 2 0t   ，则   2min 0S S t  ，故 ( )d t t ； 若 2t  ，则 2 0t   ，则     22 min 2 2 4 4S S t t t t       ，故 ( ) 2 1d t t  ； 所以   2 1, 2 ,0 2 t t d t t t        . 18. 如图是一个椭圆，试用尺规作图确定其中心. 【提示】利用平行弦中点的轨迹过中心即可。取一对平行弦，取弦中点的连线 1l , 再取一对平行弦（与之前那对 不平行），取弦中点的连线 2l , 于是 1 2,l l 的交点即为中心. 19. 已知双曲线 2 2 1: 2 x C y  ，设直线 l 过点  3 2,0A  ，斜率为 k . （1）当直线 l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与m 的距离； （2）证明：当 2 2 k  时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使得点Q 到直线 l 的距离为 6 . 【参考答案】（1） 2 3 2 0yx    ， 6d  ；（2）略 周末作业 No.07 （1）双曲线C 的渐近线 0: 2 x m y  ，即 2 0x y  ，所以直线 l 的方程是 2 3 2 0yx    ，距 离 3 2 6 1 2 d    . （2）设过原点且平行于 l 的直线 :b y kx ，则 l 与b 的距离为 2 3 2 1 k d k   ，当 2 2 k  时， 6d  . 又双 曲线的右支在直线b 的下方，所以双曲线C 上的任一点到直线 l 的距离大于 6 ，得证. 20. 已知椭圆C 的方程为 2 2 1 4 x y  ， y 轴上一点T 的坐标为  0, t ，其中 0t  . （1）求椭圆C 的离心率； （2）点M 是椭圆C 上的动点，将 MT 最大值记作  f t ，求  f t 的表达式； （3）当 2t  时，过点T 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 ,A B ，且 AOB 为锐角（其中O为坐标原点）， 求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【参考答案】（1） 3 2 e  ；（2）   24 4 0 3 1 3 3 t t t t t f           ；（3） 3 3 2, ,2 2 2                 （1） 2 4a  ， 2 1b  ， 2 3c  ， 3 2 e  . （2）设  ,M x y ， 2 24 4x y  ，   2 22 2 22 43MT tt yy y tx        2 243 4 3 3 t y t           . 因为  1,1y  ，分情况讨论： ① 当 1 3 t    ，即0 3t  时，取 3 t y   ， 2 2 max 4 4 3 t MT   ，   24 4 3 t f t   ； ② 当 1 3 t    ，即 3t  时，取 1y   ，   2 2 max 1MT t  ，   1f t t  . （3）当直线斜率不存在时， AOB   ，不符合题意. 当直线斜率存在时，设为 k ，直线 : 2AB y kx  ，联立椭圆方程 2 24 4x y  ，得到  2 24 1 11 6 2 0k x kx   ，  2 2256 4 4 1 08k k    ，解得 2 3 4 k  . 周末作业 No.07 又 AOB 为锐角，则 1 2 1 2 0OA OB x x y y    ，而    21 2 1 2 1 2 1 21 2 4x y y k x x xx k x         2 2 2 1 11 6 42 12 0 4 4 1 kk kk k         ， 解得 2 4k  ，所以 23 4 4k  ， 3 3 2, ,2 2 2 k                  . 21*. 设椭圆 2 24 : 1 9 9 x y C   上有一点 P ，过 P 作圆 2 2 2: y rx   的两条切线, 两条切线分别与椭圆C 交于 ,Q R 两点. 若无论P 在椭圆上何处, 直线QR 都与圆相切, 求 r 的值. 答： 1r  , 下面证明 1r  是可行的. 设 0 0( ),P x y , 过 P 点的直线为 0 0( )y y k x x   ，由于原点到该直线的距离等于 1 ，我们得到 2 2 2 0 0 0 0( 1) 2 ( 1) 0yx k x k y     .这个方程的两个解就是 ,PQ PR 的斜率, 分别设为 1 2,k k . 将直线与椭圆方程 联立解得 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 1 1 (4 1) 8 (4 1) 2 ( , ) 1 4 1 4 k x k y k y k x Q k k        , 2 2 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 (4 1) 8 (4 1) 2 ( , ) 1 4 1 4 k x k y k y k x R k k        . 直线 QR 的斜率 0 02 x K y  . 接下来我们只需要验证原点到直线QR 的距离为 1 即可，即 2 1 1 Q QKx y K    , 上式等价于 0 02 1Q Qx y yx   , 又可化为 2 2 2 0 1 0 0 1 0( 1) 2 ( 1) 0yx k x k y     , 而这当然成立, 我们就完成了证明.