精品解析：2025年山西省吕梁市临县中考二模数学试题

2025年初中学业水平考试——模拟测评 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形不是中心对称图形 B. 是中心对称图形不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境．如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各选项的图形中与不一定相等的是（ ） A. B. 四边形平行四边形 C. 四边形为矩形，对角线交于点 D. 在中，是边上的中线 6. 晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游地标．晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元．若设晋祠旺季每张门票的价格是元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，点都在⊙O上，且四边形为菱形，连接并延长，交⊙O于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 最大发电功率和最小发电功率相差 B. 8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C. 从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D. 当天发电功率超过的时长为 10. 如图，在正六边形的边处放置一块平面镜，一束光线从点发出，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过边上的点．若正六边形的边长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 化简的结果为______． 12. 七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在延长线上，则旋转角的度数是_____． 14. 山西四大梆子是指蒲剧、晋剧、北路梆子和上党梆子．这四大梆子是山西省传统戏曲剧种中的代表，具有深厚的群众基础和独特的艺术风格．四张正面印有四大梆子剧目人物的卡片如图所示，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为______． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点是线段上一点，且，连接并延长，交于点．若为的中点，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办． 18. 如图，四边形为菱形． （1）过点作直线的垂线为垂足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 19. 2025年2月22日，太原地铁1号线一期工程正式开通运营，与太原地铁2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，方便了市民的出行．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录并整理了16个工作日上班路上所用的时间，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理： 张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析： 张老师对不同出行方式上班路上所用时间数据进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 40 50.75 请根据上述信息回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ． （2）请你帮助张老师选择其中一种上班出行方式，并利用以上至少2个统计量说明理由． 20. 阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： （1）上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．转化思想 （2）请根据论文中思路方法解分式不等式． 21. 某校园内的假山上刻着学校的校训，四周喷泉环绕，九年级“综合与实践”活动小组的同学想要测量此假山的高度，活动报告整理如下： 活动目的 测量校园内假山的高度 测量工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 说明：小旭站在水平地面上的点处测出假山顶端的仰角的度数，小华在教学楼某一层的窗口处测出假山顶端的俯角的度数，图中各点均在同一竖直平面内，三点在同一直线上 测量数据 参考数据 计算结果 … 请根据报告内容计算假山的高度．（结果精确到） 22. 综合与实践 问题背景： 如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分． 数据收集： 车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐． 问题解决： 以所在直线轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求点到地面的距离． （2）若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试——模拟测评 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共10页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意； B. 是无理数，不符合题意； C. 是无理数，不符合题意； D. 是有理数，符合题意； 故选：D． 2. 2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形不是中心对称图形 B. 是中心对称图形不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义判断即可得． 【详解】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境．如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：空心六角砖的左视图为 故选：B． 5. 下列各选项的图形中与不一定相等的是（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 四边形为矩形，对角线交于点 D. 在中，是边上的中线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，根据知识点对个选项判断即可． 【详解】解：A、根据两直线平行，同位角相等，可得，故不符合题意； B、四边形为平行四边形，则， ∴， ∴，故不符合题意； C、四边形为矩形，则， ∴，故不符合题意； D、在中，是边上的中线，则，不一定相等，故符合题意； 故选：D． 6. 晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游地标．晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元．若设晋祠旺季每张门票的价格是元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，且设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，进行列方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意：， 故选：B． 7. 如图，点都在⊙O上，且四边形为菱形，连接并延长，交⊙O于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．证明是等边三角形，得，再根据同弧所对圆周角等于圆心角得一半即可得出结论. 【详解】解：∵在四边形菱形中， ∴， 又∵， ∴等边三角形， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：A． 9. 太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 最大发电功率和最小发电功率相差 B. 8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C. 从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D. 当天发电功率超过的时长为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，最大发电功率和最小发电功率相差，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在正六边形的边处放置一块平面镜，一束光线从点发出，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过边上的点．若正六边形的边长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，连接，交于点，交于点，交于点，延长交于点，则，证明，则有，由六边形是正六边形，所以，正六边形内角和为，垂直平分，所以，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，故有，，然后证明，，所以，，然后代入数值即可． 【详解】解：如图，过作于点，连接，交于点，交于点，交于点，延长交于点，则， 由反射可知， ∵， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，正六边形内角和为，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式加法．根据运算法则计算再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个已知点的坐标，确定坐标系，后写出坐标即可． 本题考查了已知坐标间坐标系写坐标，正确建立起坐标系是解题的关键． 【详解】解：由点的坐标为，点的坐标为， 建立坐标系如下： 则点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由旋转性质可知：， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故答案为：． 14. 山西四大梆子是指蒲剧、晋剧、北路梆子和上党梆子．这四大梆子是山西省传统戏曲剧种中的代表，具有深厚的群众基础和独特的艺术风格．四张正面印有四大梆子剧目人物的卡片如图所示，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：把四张卡片分别记为、、、， 画出树状图如下： 共有种等可能出现的结果，其中次抽取的卡片正面图案相同的情况有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点是线段上一点，且，连接并延长，交于点．若为的中点，则四边形的面积为______． 【答案】192 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，先证明，推出，再证明，推出，结合，易证，推出，进而得到，易证，求出，利用四边形的面积为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，即为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算，零指数幂，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先计算零指数幂和乘方，再计算绝对值和乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后把方程左边分解因式后得到两个一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵ ∴． ∴． ∴． ∴，或． 解得． 17. 2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办． 【答案】该商店购进了20个哪吒手办 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系列出分式方程是解题的关键． 设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办，根据题意得，解方程进而得到答案． 【详解】解：设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （个）， ∴该商店购进了20个哪吒手办． 18. 如图，四边形为菱形． （1）过点作直线的垂线为垂足．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图解答即可． （2）根据菱形的性质，直角三角形的性质，等量代换思想解答即可． 【小问1详解】 解：如解图所示， 则直线即为所求． 【小问2详解】 解：． 理由：四边形为菱形， ，， 又， ， ，垂足为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等量代换的应用，熟练掌握基本作图，直角三角形的性质是解题的关键． 19. 2025年2月22日，太原地铁1号线一期工程正式开通运营，与太原地铁2号线横向穿行构成“力”字型地铁线网骨架，方便了市民的出行．家住地铁站附近的张老师早上到学校上班除了开私家车以外，又有了新的选择．为了解不同出行方式上班路上所用时间，张老师记录并整理了16个工作日上班路上所用的时间，其中8个工作日选择乘坐地铁，另外8个工作日选择开私家车． 数据整理： 张老师将记录的数据绘制成如下统计图： 数据分析： 张老师对不同出行方式上班路上所用时间数据进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 乘坐地铁 32 32 开私家车 40 50.75 请根据上述信息回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ． （2）请你帮助张老师选择其中一种上班出行方式，并利用以上至少2个统计量说明理由． 【答案】（1）34，35.5，32或33，1 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键． （1）直接利用折线图数据结合中位数，众数，方差求法得出答案； （2）比较平均数，众数，中位数，方差分别分析即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 把开私家车的时间的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是33，38，故中位数 ， 乘坐地铁的时间中，32和33出现的次数最多，都为3次，故众数或33； 乘坐地铁的方差； 【小问2详解】 解：答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如： ①从平均数看，乘坐地铁平均用时32分低于开私家车平均用时34分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ②从中位数看，乘坐地铁用时的中位数32分低于开私家车用时的中位数35.5分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ③从众数看，乘坐地铁用时的众数32或33分低于开私家车用时的众数40分，即乘坐地铁用时更短，所以选择乘坐地铁； ④从方差看，乘坐地铁用时的方差1低于开私家车用时的方差50.75，乘坐地铁所用时间更稳定，所以选择乘坐地铁． 20. 阅读与思考 下面是小飞同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 类比分式方程的解法求解简单的分式不等式 我们知道，求解分式方程的关键是根据等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解，并检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解．那么，能不能类比求解分式方程的思路，对分式不等式进行求解呢？可以进行如下尝试： 当时，不等式两边都乘，得，即 解得． 当时，不等式两边都乘，得，即 该不等式组无解． 综上所述，分式不等式的解集为． 总结：求解分式不等式的关键，是将分式不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解这两个一元一次不等式组，所得两组解集共同组成了原分式不等式的解集． 任务： （1）上面小论文中的尝试过程，主要运用的数学思想是 ．（从下列选项中选出两个即可） A．类比思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．转化思想 （2）请根据论文中的思路方法解分式不等式． 【答案】（1）（或或） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想，任意选择两个，得到答案为（或或），解答即可． （2）仿照文例方法解答即可． 本题考查了数学思想的应用，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，问题解决中用到了类比思想，分类思想，转化思想把分式不等式转化为不等式组解答， 故任意选择两个，得到答案为（或或）， 故答案为：（或或）． 【小问2详解】 解：， 当时，不等式两边都乘，得， 即 该不等式组无解． 当时，不等式两边都乘，得， 即． 解得． 综上所述，分式不等式的解集为． 21. 某校园内的假山上刻着学校的校训，四周喷泉环绕，九年级“综合与实践”活动小组的同学想要测量此假山的高度，活动报告整理如下： 活动目的 测量校园内假山的高度 测量工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 说明：小旭站在水平地面上的点处测出假山顶端的仰角的度数，小华在教学楼某一层的窗口处测出假山顶端的俯角的度数，图中各点均在同一竖直平面内，三点在同一直线上 测量数据 参考数据 计算结果 … 请根据报告内容计算假山的高度．（结果精确到） 【答案】假山的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，过点作于点，作直线交于点，交于点则四边形，四边形和四边形均为矩形．设，则，解得到，解得到，据此根据线段的和差关系可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作直线交于点，交于点 由题意，得四边形，四边形和四边形均为矩形． ． 设，则． 在中，， ∴． ． 在中，， ∴． 又， ． 解得． ． ． 答：假山的高度约为． 22. 综合与实践 问题背景： 如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分． 数据收集： 车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐． 问题解决： 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求点到地面的距离． （2）若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）该货车能完全停到车棚内，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得点的坐标为，可设横截面所在抛物线的表达式为．把代入计算，得，故，因为棚顶右端点距离支柱的水平距离是，所以把，即可作答． （2）依题意，把，得．此时．因为，所以该货车能完全停到车棚内，即可作答． 【小问1详解】 解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是， 点的坐标为． 可设横截面所在抛物线的表达式为． 车棚与支柱的交点到地面的距离为， 点的坐标为． 把，得． 解得． 横截面所在抛物线的表达式为． 棚顶右端点距离支柱的水平距离是， 点的横坐标为6， 把， 得． 点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：该货车能完全停到车棚内． 理由：． 把， 得． ∴． ， 该货车能完全停到车棚内． 23. 综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 【答案】（1）矩形；（2），详见解析；（3）面积的最大值是6，的长是3 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质及二次函数的应用； （1）证明即可证明结论； （2）先证明，再证明，从而证明结论； （3）先证明，设，则，根据相似三角形性质得出，进而求出面积，再根据二次函数性质求出最值． 【详解】解：（1）由折叠得：， ， 四边形矩形； （2）． 理由：如解图，连接． 由（1）知四边形是矩形，则． ∵F为的中点， ∴． ∴． ∴． 由折叠的性质，得． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）面积的最大值为6，此时． 设，则． ， 则． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最大值，最大值为6．此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $