串讲03 三角恒等变换（考点串讲）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

数学下学期期末考点大串讲 串讲03 三角恒等变换 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　两角和与差的正切公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　二倍角公式的简单应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　辅助角公式的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　三角恒等变化在实际问题中的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　利用半角公式化简求值问题 技巧点拨 举一反三 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型剖析 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　忽视角的范围致错 03易错易混 易错点2　对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负 03易错易混 易错点3　含参问题忽视对参数的讨论致错 针对训练 04押题预测 D D C B B 谢谢观看！ 【解析】因为，故， 故， 故，故， 由题设有，故，而为三角形内角，故， 故选：C. 【解析】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 【解析】，则，则， 整理得到.因此.故B错误，D正确. ，则，.则. 且.解得.同理得，则， 因此得，则.故AC错误. 故选：D. 公式的变形应予以灵活运用． 【变式】若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【解析】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A. 例3、已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线（）上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解析】在角的终边所在的射线上任意取一点， 所以，所以，解得， 所以. 故选： 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式】已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 故选：D. 例4、的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】原式. 故选：A 给角求值的解题策略 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式】已知，则（    ） A． B． C． D．5 【解析】因为， 所以. 故选：C. 例5、（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 . 故选：C. 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式】已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】，其中，且， 当时，，由， 则有，即， 由，且，，故，则，， 由在上单调递增，故， 又，，故. 故选：B. 例6、如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 【解析】解：设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形可得， 于是， 又，所以，. 故选：B. 解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用 表示，建立关于 的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【变式】如图所示，有一半径为米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为米，若水轮每分钟逆时针转圈，且水轮上 的点在时刚刚从水中浮现，则秒钟后点与水面的距离是（结果精确到米）（    ） （参考数据， ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解析】以点为坐标原点，所在直线作轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点在时的纵坐标为，设，当时，， 即，可得，因为，则， 函数的最小正周期为，则，故函数解析式为， 将代入函数解析式可得， 因此，秒钟后点与水面的距离是（米），故选：A. 例7、已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，且， 所以， 所以，所以． 故选：C． 1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【变式】（    ） A． B． C． D．2 【解析】解：由题得. 故选：C 例8、某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角；(2)取CD的中点M，记.（i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【解析】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，，解得或， 当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意，所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则，在中，，，于是， 所以，. （ii）由（i）知，当时，，则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质． 【变式】某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. 设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； 【解析】因为，所以， 当在点时，此时最小，又，所以，所以， 当在点时，此时最大，又，所以， 由上可知，；因为，所以， 又因为，且， 所以， 所以， 所以，定义域为； 1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cos α等于(　 ) A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D. eq \f(12,13) 【错解】选D，因为 ，又sin α＝eq \f(5,13)，∴cos α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(12,13). 【错因】没有注意条件α是第二象限角， 【正解】选A　∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13). 2．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cos 8＋2)＝(　 ) A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4 C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4 【错解】选D　原式＝2eq \r(1＋2sin 4cos 4)＋eq \r(4cos24)＝2eq \r(sin24＋cos24＋2sin 4cos 4)＋2cos 4 ＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4. 【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负， 【正解】选B　原式＝2eq \r(1＋2sin 4cos 4)＋eq \r(4cos24)＝2eq \r(sin24＋cos24＋2sin 4cos 4)＋2|cos 4| ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜eq \f(3π,2)，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. 3.已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 【错解】易知OP＝eq \r((－4m(2＋(3m(2)＝5m，则sin α＝ ，cos α＝ . 故2sin α＋cos α＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5) 【错因】没有对参数m分情况讨论， 【正解】易知OP＝eq \r((－4m(2＋(3m(2)＝5|m|，则sin α＝eq \f(3m,5|m|)，cos α＝eq \f(－4m,5|m|). 当m>0时，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5)，2sin α＋cos α＝eq \f(2,5)； 当m<0时，sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，∴2sin α＋cos α＝－eq \f(2,5). 故2sin α＋cos α＝±eq \f(2,5). 答案：±eq \f(2,5) 1．已知A＝eq \f(sin(kπ＋α(,sin α)＋eq \f(cos(kπ＋α(,cos α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________． 【错解】A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cos α,cos α)＝2. 答案：{2} 【错因】没有对k分情况讨论， 【正解】当k为奇数时：A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cos α,cos α)＝－2.当k为偶数时：A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cos α,cos α)＝2. 答案：{－2,2} 1．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南周口·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东广州·期末）已知函数的最小正周期为，且函数为奇函数，则当时，函数的零点个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． $$