2026年高二数学秋季开学学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修三、四】

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ ____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷01 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题4分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CD] 10[A][B][C]D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 之 豪 12. 14 15 ! 剂 请在各题目磨毯内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(13分) R 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) P D ----- B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (道9并)道S患索谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 (女SI)0z :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019必修第三、四册 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知，，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在中，若，则的形状描述最符合的是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．________； 12．半径为2的圆中，圆心角所对的弧的长度_____，该扇形面积是_____. 13．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 14．在中，. ①若，则角的大小为___________； ②若符合条件的有两个，则的取值范围是___________. 15．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则下列的说法正确的是 ①． ②． ③．面积的最小值是 ④．点到的距离为定值 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知平面向量 . (1)若 ，求 ； (2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 17．（13分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 18．（14分）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 19．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． (1)求证：； (2)若为的中点，求三棱锥的体积； (3)若平面，求的长． 20．（15分）在中，. (1)求； (2)已知，于.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的长. 条件①：的周长为； 条件②：的面积为； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21．（15分）“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019必修第三、四册 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知，，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在中，若，则的形状描述最符合的是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．________； 12．半径为2的圆中，圆心角所对的弧的长度_____，该扇形面积是_____. 13．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 14．在中，. ①若，则角的大小为___________； ②若符合条件的有两个，则的取值范围是___________. 15．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则下列的说法正确的是 ①． ②． ③．面积的最小值是 ④．点到的距离为定值 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知平面向量 . (1)若 ，求 ； (2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 17．（13分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 18．（14分）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 19．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． (1)求证：； (2)若为的中点，求三棱锥的体积； (3)若平面，求的长． 20．（15分）在中，. (1)求； (2)已知，于.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的长. 条件①：的周长为； 条件②：的面积为； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21．（15分）“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $·● 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 : : : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教B版2019必修第三、四册 第一部分（选择题共40分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.己知向量ā=(1,1)，b=（2,),若a16,则2=() A.-2 2 C. D.2 2.已知复数==1+2i,则=() O A.1 B.2 C.5 D.5 3.己知tana=2,则tan2ax=() : 4 : A.- 3 C. D. 照 4.下列函数中，周期为π且在区间 上单调递增的是() : A.y=sinx B.y=sin2x C.y=cos D.y=tanx : 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=√6，B=45°，C=60°，则c=() : A.3 B.3 c.25 D.6 6.己知l,m,为三条不同直线，a,B,Y为三个不同平面，则下列判断正确的是() A.若l⊥a,n⊥，则I⊥n B.若⊥B,y⊥B,则y11 C.若m/l,1⊥，则⊥a D.若m⊥a,m/1B,则a/1B 7.己知a,B∈R,则“存在k∈Z使得a=T+B+2"是"sia=cosB"的(） : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在△ABC中，若AB.BC=AC.CB,则△ABC的形状描述最符合的是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 9.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马P-ABCD 中，若PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2CD=2,则异面直线PC与BD所成角的余弦值为() A 8.10 C.5 D. 2W5 5 5 10. 已知函数=sin(+宁，若实数a,B满足：xeR,不等式闭-f+f)-f0≥恒成立， 则a-l的最小值为() A.4 B. C. 0.3 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.sin15°sin75°= 12.半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度，该扇形面积是 13.如图，直角梯形O'AB'C满足O'A⊥O'C,O'A'=A'B'=2,OC=3,它是水平放置的平面图形的直 观图，则该平面图形的周长是 B C产拉 4.在aiBC中，b-10A-若 ①若a=5,则角B的大小为 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 ②若符合条件的△ABC有两个，则a的取值范围是」 15.如图，己知直线1%，点A是4,2之间的一个定点，点A到4,2的距离分别为1和2，点B是直线马 上一个动点，过点A作AC⊥AB,交直线于点C,且G函+GB+GC=0,则下列的说法正确的是 B ①.4c-(B+4c) ②.AG≥1 ③.△GAB面积的最小值是} ④.点G到4的距离为定值 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)已知平面向量=(x,1),b=(2,-1),x∈R (1)若a16,求2a-: (2)若a与万的夹角为钝角，求x的取值范围. 试题第3页（共6页） 17.(13分)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，CC1⊥底面ABC,AC=9,BC=12,AB=15,点D是AB 的中点 C A B 年 D B (1)求证：AC⊥B,C: 帐 (2)求证：AC1/平面CDB. 江 游 mmmum/MWWI￥N"☑I"度w"MwwI"I 为 的 性 试题第4页（共6页） 外 装 线 学校 姓名： 班级： 考号： 装 18.(14)(x)=2sinaxcos ax+2cos an,>0. 可学科网·上好课 19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=√3，PA=AC=2, N为PC上一点. D C (1)求证：BD⊥PC; (2)若N为PC的中点，求三棱锥N-PBD的体积； (3)若BN/平面PAD,求PN的长. 试题第6页（共6页） 6学科网·上好课 20.(15分)在△ABC中，atan B=2 bsinA. (1)求∠B; (2)已知b=4W5,AD⊥BC于D.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求AD的长 条件①：△ABC的周长为12√3； 条件②：△ACD的面积为6√3： 条件③：△ABC的面积为12√5， 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 试题第7页（共6页） 21.(15分)“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以 从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩 天轮的座舱开始计时.开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周 大约需要18分钟.开始转动t分钟后距离地面的高度为H(t)米 年 张 (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(at+p)+B(其 中4>0，®>0，例5号。求摩天轮转动一周的解折式： (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能 擗 有多长时间有最佳视觉效果？ 习 的 性 试题第8页（共6页）学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教B版2019必修第三、四册 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知向量a=(1,1),b=←2，)，若ā16，则2=() A.-2 B月 C. D.2 2.已知复数==1+2i,则日=() A.1 B.2 C.5 D.5 3.已知tan=2,则tan2ax=（) 4 A一3 4 B.-5 c.2 D. 5 4.下列函数中，周期为π且在区间 2π上单调递增的是() A.y=sinx B.y=sin2x C.y=cosx D.y=tanx 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知b=√6，B=45°，C=60°，则C=() A.3 B.3 C.23 D.6 6.已知l,m,n为三条不同直线，a,B,Y为三个不同平面，则下列判断正确的是() A.若l⊥a,n⊥，则l⊥n B.若a⊥B,y⊥B,则y/1 C.若m/l,1⊥a,则⊥ D.若⊥a,mIIB,则a1IB 7.已知a,B∈R,则存在k∈Z使得au=元+B+2km是“sina=cosB的（） 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在△ABC中，若AB.BC=AC.CB,则△ABC的形状描述最符合的是() 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 9.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马P-ABCD 中，若PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2CD=2,则异面直线PC与BD所成角的余弦值为() Q D A. B.Vio 5 C.vi5 5 D.25 5 5 10.己知函数)=sin(x+孕，若实数a,B满足：xeR,不等式f-f+fy-f(≥l恒成立， 则-的最小值为() B. 3 c. D. 3 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.sinl5°sin75°= 12.半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度，该扇形面积是 13.如图，直角梯形OABC'满足OA'⊥O'C',O'A'=A'B'=2,OC=3,它是水平放置的平面图形的直观 图，则该平面图形的周长是 C拉 14.在aMBC中，6=10A-君 ①若a=5,则角B的大小为 ②若符合条件的△ABC有两个，则a的取值范围是 15.如图，己知直线儿，点A是1,12之间的一个定点，点A到，12的距离分别为1和2，点B是直线l2 上一个动点，过点A作AC⊥AB,交直线于点C,且GA+G+GC=0,则下列的说法正确的是 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B2 ①.】 6-亚+ac) ②.AG≥1 ③. 6G1B面积的录小伯是号 ④.点G到{的距离为定值 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)己知平面向量a=(x,1),b=(2,-1),x∈R· (①)若a16,求2a-: (2)若a与五的夹角为钝角，求x的取值范围， 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(13分)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，CC1⊥底面ABC,AC=9,BC=12,AB=15,点D是AB的 中点 C A B B D (1)求证：AC⊥B,C: (2)求证：AC1/平面CDB. 18.(14分)已知f(x)=2 sin @cos ax+2cos2x,o>0. 元3π (1)若⊙=1，求函数y=f(x)在 44 上的值域： (2)若函数y=f(x)在 02 上恰有2个点，求实数0的取值范围. 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=√5，PA=AC=2, N为PC上一点. (I)求证：BDL PC; (2)若N为PC的中点，求三棱锥N-PBD的体积； (3)若BN/I平面PAD,求PN的长. 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(15分)在△ABC中，atan B=2 bsin A. (I)求∠B: (2)已知b=4V5,AD⊥BC于D.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存 在且唯一，求AD的长， 条件①：△ABC的周长为12W3; 条件②：△ACD的面积为6√3： 条件③：△ABC的面积为12√5 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 6/7 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(15分)“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从 高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮 的座舱开始计时.开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约 需要18分钟.开始转动t分钟后距离地面的高度为H(t)米. 21 Q (I)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(at+p)+B(其 中A>0,®>0，网≤)。求摩天轮转动一周的解析式H(0: (2)若游客在距离地面至少8米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有 多长时间有最佳视觉效果？ 7/7 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，则，解得. 2．已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数的模长公式即可求解 【详解】因为，所以. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正切公式计算. 【详解】已知，则. 4．下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数周期公式或周期定义判断各选项函数的周期，再结合正、余弦函数以及正切函数的图象与性质判断其在指定区间上的单调性． 【详解】对于A，，周期为，在上单调递减且大于0， 所以在上单调递减，A错误； 对于B，，周期为， 当时，，因为在上先递减再递增， 所以在上先递减再递增，B错误； 对于C，其最小正周期，不是的周期，C错误； 对于D，的最小正周期为，且正切函数在开区间内单调递增，取得区间，是该区间的子集，故在上单调递增，所以D正确. 5．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得. 6．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，A错误. 对于B，若，，则或与相交，B错误. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则，D错误. 7．已知，，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将方程化为，利用正弦相等的一般解集，判断给定条件是否覆盖所有情况. 【详解】充分性：若满足题设，即， 则故充分性成立. 必要性：若，可能满足或， 此时并不一定满足题设情形，因此必要性不成立. 所以题设条件是结论的充分不必要条件，故选A. 8．在中，若，则的形状描述最符合的是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】考查向量的减法法则，将已知等式移项后转化为三角形边长模的关系式即可. 【详解】由条件， 可得， 即，即，故为等腰三角形. 9．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 10．已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的几何意义，将恒成立条件转化为；通过换元简化函数，借助和差化积公式建立不等式，结合三角函数的性质确定下界；最后验证等号能够成立，求得的最小值. 【详解】函数的值域为， 设，， 则不等式对任意恒成立， 根据绝对值几何意义，的最小值为，故需. 令，，则， 且，需求的最小值. 由和差化积公式可知， 因为，所以， 得，解得（取最小正解），即. 验证最小值：当时，， ，且，满足条件. 故的最小值为. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．________； 【答案】/ 【详解】. 12．半径为2的圆中，圆心角所对的弧的长度_____，该扇形面积是_____. 【答案】 / / 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，进行计算，即可求解. 【详解】由题意知，圆的半径，圆心角， 则所对的弧的长度为，扇形的面积为. 故答案为：；. 13．如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 【答案】/ 【分析】根据直观图还原平面图形，根据长度关系和角度关系计算周长． 【详解】 如图所示，为还原的平面图形，其中， 在直观图中，，，， 故，则， 则在中，，则 在中，，，则； 故周长为． 14．在中，. ①若，则角的大小为___________； ②若符合条件的有两个，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由正弦定理得到方程，求出角，并由得到的取值范围 【详解】①，，故由正弦定理得， 即，解得， 因为，所以； ②若符合条件的有两个， 则，即. 15．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则下列的说法正确的是 ①． ②． ③．面积的最小值是 ④．点到的距离为定值 【答案】①②④ 【分析】先由向量关系判断为的重心，建立平面直角坐标系，利用推导坐标关系，再逐一验证各选项. 【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，由题意得平行线，， 设，，由得，即， 由可知为的重心，得, 对于① ：由，整理得，即， 得，①正确； 对于②：，因为， 所以，因此，②正确； 对于③：重心性质得， ， 因此，最小值为，不是，③错误； 对于④：的纵坐标恒为，，因此点到的距离为，是定值，④正确. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知平面向量 . (1)若 ，求 ； (2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列出方程得到x，再得到的坐标，即可利用模长公式求解； （2）两个向量的数量积小于零且两向量不共线，求出范围即可． 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 故. （2） 与 的夹角为钝角等价于且夹角不为. 由，解得， 若与的夹角为，则，即， 故x的取值范围是. 17．（13分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：因为，，满足，所以， 又因底面，在平面内，所以， 又，且都在平面内，所以平面. 因为在平面内，所以. (2)证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点．又因点为的中点，故． 因为平面，平面，所以平面． 18．（14分）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 19．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． (1)求证：； (2)若为的中点，求三棱锥的体积； (3)若平面，求的长． 【答案】(1)证明：因为底面，底面，所以． 设，因为，，， 所以．且． 所以，即． 又因为，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以 （2）因为为的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的2倍． 故． 在中，易得，于是． 由三棱锥的高，得; （3）如图，取中点，连接，． 在中，由，，得． 于是，则． 在中，因为，，，所以．故． 又因为平面，平面.故平面． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因平面平面，平面平面， 所以．因为为的中点，所以为的中点． 因为底面，底面，所以． 因为，所以． 所以. 20．（15分）在中，. (1)求； (2)已知，于.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的长. 条件①：的周长为； 条件②：的面积为； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①，；条件③ 【分析】（1）根据正弦定理边角转化和三角形内角的性质，求出角的大小； （2）根据余弦定理得到的关系式，结合所选的条件判断是否有唯一解，进而求出的长度. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 在中，因为，所以， 因为，所以. （2）选条件①： 因为，， 所以， 由余弦定理可得，所以， 即，解得， 联立可得，解得，此时为正三角形，存在且唯一， 所以； 选条件②： ，，， ，化简可得， 由余弦定理可得，所以， 则，解得或， 当时，解得， 当时，解得，， 故不唯一，所以条件②不可选； 选条件③： 由余弦定理可得， 所以， 因为， 所以， 因为，当且仅当时，， 所以解得，此时为正三角形，存在且唯一， 所以. 21．（15分）“兰州黄河之眼”摩天轮是兰州的新型地标建筑．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为88米，转盘直径为80米，当游客坐上“兰州之眼”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米． (1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少68米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1)， (2)6分钟 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出A与B，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）根据，求解出的范围，由此可知结果. 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面88，最低点距离地面， 则，解得， 因转一周大约需要，则，故， 又因，解得，因，则， 故，； （2）由，可得， 因，根据余弦函数的图象性质可得，解得， 则，即摩天轮在运行一周的过程中，游客能有6分钟最佳视觉效 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A D B C A B A B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11． / 12． / / （第一空3分，第二空2分） 13. / 14． （第一空3分，第二空2分） 15. ①②④(写对1个给3分，写对2个给4分，全对5分） 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 故..................................6分 （2） 与 的夹角为钝角等价于且夹角不为. 由，解得， 若与的夹角为，则，即， 故x的取值范围是.............................13分 17．（13分） 【答案】(1)证明：因为，，满足，所以， 又因底面，在平面内，所以， 又，且都在平面内，所以平面. 因为在平面内，所以.............................6分 (2)证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点．又因点为的中点，故． 因为平面，平面，所以平面．............................13分 18．（14分） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为．............................6分 （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是．............................14分 19．（15分） 【答案】(1)证明：因为底面，底面，所以． 设，因为，，， 所以．且． 所以，即． 又因为，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以............................4分 （2）因为为的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的2倍． 故． 在中，易得，于是． 由三棱锥的高，得;............................9分 （3）如图，取中点，连接，． 在中，由，，得． 于是，则． 在中，因为，，，所以．故． 又因为平面，平面.故平面． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因平面平面，平面平面， 所以．因为为的中点，所以为的中点． 因为底面，底面，所以． 因为，所以． 所以.............................15分 20．（15分） 【答案】(1) (2)条件①，；条件③ 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 在中，因为，所以， 因为，所以.............................7分 （2）选条件①： 因为，， 所以， 由余弦定理可得，所以， 即，解得， 联立可得，解得，此时为正三角形，存在且唯一， 所以；............................15分 选条件②： ，，， ，化简可得， 由余弦定理可得，所以， 则，解得或， 当时，解得， 当时，解得，， 故不唯一，所以条件②不可选； 选条件③： 由余弦定理可得， 所以， 因为， 所以， 因为，当且仅当时，， 所以解得，此时为正三角形，存在且唯一， 所以.............................15分 21．（15分） 【答案】(1)， (2)6分钟 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面88，最低点距离地面， 则，解得， 因转一周大约需要，则，故， 又因，解得，因，则， 故，；............................8分 （2）由，可得， 因，根据余弦函数的图象性质可得，解得， 则，即摩天轮在运行一周的过程中，游客能有6分钟最佳视觉效............................15分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $